菱形的性质与判定（3个知识点10种题型2个易错点3种考法）

专题01菱形的性质与判定（3个知识点10种题型2个易错点

3种考法）

❶【目录】

倍速学习五种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1：菱形的定义

知识点2：菱形的性质（重难点）

知识点3：菱形的判定（重难点）

【方法二】实例探索法

题型1：利用菱形的性质计算

题型2：利用菱形的性质进行证明

题型3：求菱形的面积

题型4：利用菱形的轴对称性解决最小值问题

题型5：证明四边形为菱形

题型6：菱形的判定与性质的综合应用

题型7：与菱形有关的探究性问题

题型8：菱形中的动点问题

题型9：一题多解-菱形证明

题型10：菱形中的翻折与旋转

【方法三】差异对比法

易错点1菱形的面积公式应用出错

易错点2不理解菱形的几种判定方法而导致错误

【方法四】仿真实战法

考法1：菱形的性质

考法2：菱形的判定

考法3：菱形的判定、性质的综合

【方法五】成果评定法

【知识导图】

【倍速学习五种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1:菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

知识点2：菱形的性质（重难点）

菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质:

⑴菱形的四条边都相等;

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

（3）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.

注意：

（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等

的两部分；

（2）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心;

⑶菱形的面积有两种计算方法：

一种是平行四边形的面积公式：底x高；

另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.

实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

知识点3：菱形的判定（重难点）

菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形

菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一

个条件来判定菱形，

例1.下列命题中，真命题是（）

A.一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形

B.等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

【答案】C

【解析】C答案中对角线互相平分则可判定四边形为平行四边形，而在此基础上加上对角线

互相垂直，四边形变为菱形.

【总结】菱形的判定

【方法二】实例探索法

题型1:利用菱形的性质计算

例2(1)菱形的两条对角线长的比是3:4,边长为10厘米，菱形的面积是；

(2)菱形的两条对角线长的比是2:3,面积是12c,R则它的两条对角线的长分别是cm,cm,该

菱形的周长是cm.

【答案】(1)96平方厘米；(2)4,6,4万.

【解析】(1),••菱形的两条对角线长的比是3:4,

菱形的两条对角线长的一半之比是3:4.

设两条对角线长的一半分别为3x、4x,则由勾股定理可得：菱形的边长为5x

所以5x=10,解得：x=2

11

菱形的面积为「出用金犷=96平方厘米；

2

(2)•.•菱形的两条对角线长的比是2:3,

•••菱形的两条对角线长的一半之比是2:3

设两条对角线长的一半分别为2x,3x,则由勾股定理可得：菱形的边长为底

•••菱形的面积是12cmz,所以、4X-6X=12X2=12,解得：x=l

2

菱形的边长为厘米，两条对角线的长为4厘米或6厘米.

【总结】考察菱形的对角线的性质和面积的求法，注意对性质的运用.

例3.(1)菱形有一个内角为60,一条较短的对角线长为6,则菱形的边长为；

(2)如图，在菱形AfiCD中，ZABC=6O,AC=4,则皮＞=.

【答案】⑴6；(2)4百.

【解析】(1):菱形有一个内角为60,

菱形的两条边和较短的对角线构成了一个等边三角形,

•••菱形的边长为6；

(2)设对角线相交于点O,则AC_LBD,OA=2,

ZABC=60°,Z4BO=30°.

由勾股定理可得：80=2行，则8£>=46

【总结】考察菱形的性质的综合运用.

例4.如图所示，在菱形ABCC中，NB4O=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点尸，E为垂足，连接

DF,求尸的度数.

A

【解析】联结阳

••SB的垂直平分线交对角线AC于点F,£为垂足，

：.AF=FB

'：AD=AB,AF^AF,ZDAF=ZBAF，ADAF/AS4F

/.DF=FB,：,AF=DF,"：ZBAD=S0°,ZDAF=-ABAD=40°,ZADC=1(X)0

2

，ZADF=ZDAF=40P,：.ZCDF=100°-40°=60°.

【总结】考察菱形的性质的应用.

题型2：利用菱形的性质进行证明

例5.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E.求证：ZAFD=ZCBE.

答案：证明：•••四边形ABCD是菱形，

:.CB=CD,CA^ZBCD.

：.NBCE=NDCE.又CE=CE,

：.ABCE^ACOB(SAS).

，ZCBE=ZCDE.

在菱形ABCD中，AB〃CD,/.ZAFD=ZFDC

，ZAFD=ZCBE.

题型3：求菱形的面积

例6.如图所示，在菱形ABCD中，AC=8,BD=10.

求：（l）AB的长.（2）菱形ABCD的面积.

【答案与解析】

解：（1）；四边形ABCD是菱形.

1I

，AC±BD,AO=-AC,OB=-BD.

22

又；AC=8,BD=10.

11

A0=一义8=4,0B=-X10=5.

22

在RtAABO中，AB'=OA2+OB2

：.AB2=42+52=41,AB=a.

（2）由菱形的性质可知：

S菱形ABCD=；4c•8O=gx8xl0=40・

【总结升华】（1）由菱形的性质及勾股定理求出AB的长.（2）根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”

来计算.

题型4：利用菱形的轴对称性解决最小值问题

例7.如图，菱形A8CZ）的边长为4c7”，且NABC=60。，E是BC的中点，P点在3。上，贝UPE+PC的最小

值为________

【答案】2百.

【解析】联结至与中的交点即为所求作的点P.

ZABC=60°,

...△43C为等边三角形

是8c的中点，

，AEA.BC

"：AB=4,BE=2

：.AE=^AB2-BE2=2石

【总结】考察菱形的性质和轴对称最短路程问题，注意对方法的归纳总结.

题型5：证明四边形为菱形

例8.如图，A3C中，ZACB=90,CDLAB,他平分NB4C交CD于F,EGVAB

交A5于G.求证：四边形CEG尸是菱形.

【解析】；越平分"AC,EGA.AB,4cB=90

，CE=EG,ZAEG=ZAEC

VCE=EG,ZAEG=ZAEC,EF=EF

ACEF94GEF,，FG=FC,NCFE=NGFE

VCDLAB,EGA.AB

：.CD//EG./.ZCFE=Z.GEF

■:NCFE=ZGFE,ZCFE=ZCEF,CF=CE

VFG=FC,CE=EG

：.CF=CE=EG=FG，

四边形CEG尸是菱形

【总结】考察菱形的判定定理的综合运用.

题型6：菱形的判定与性质的综合应用

例9.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,D是AB的中点，AE〃CD,CE〃AB,连接DE交AC于点0.

(1)证明：四边形ADCE是菱形；

(2)证明：DE=BC；

若NB=60°,BC=6,求菱形ADCE的高(计算结果保留根号).

【答案】

(1)证明：VAEZ/CD,CE/7AB,

...四边形ADCE是平行四边形，

VZACB=90°,D是AB的中点,

.*.CD=AD,

二四边形ADCE是菱形；

(2)证明：二•四边形ADCE是菱形，

.\ACXDE.

VZACB=90°,

/.AC1BC,

，DE〃BC,

VCE/7AB,

四边形BCED是平行四边形，

.•.DE=BC；

(3)解：过点D作I)EJ_CE,如图所示,

，DF是菱形ADCE的高,

VZB=60°,CD=BD,

...△BCD是等边三角形,.".ZBDC=ZBCD=60"，CD=BC=6,

VCE/7AB,r.NDCE=60°,/.DE373.

题型7：与菱形有关的探究性问题

例10.已知AABC是等边三角形，点£>是射线BC上的一个动点(点。不与点8、C重合)，△AQE是以A。

为边的等边三角形，过点E作8c的平行线，分别交射线A3、AC于点AG,连接8E.

(1)如图1所示，当点。在线段8c上时，

①试说明：△AEBGAADC

②探究四边形8CGE是怎样特殊的四边形，并说明理由.

(2)如图2所示，当点。在BC的延长线上时，探究四边形8CGE是怎样特殊的四边

形，并说明理由.

(3)在(2)的情况下，当点。运动到什么位置时，四边形8CGE是菱形？并说明理

•.*AB=AC,ADAC=ZBAE,AE^AD,：./\ABE^/\ADC■.G

②四边形BCGE是平行四边形.

AABC和△£)£?!都是等边三角形，，ZACB=ZS4C=60°

,?zMBE且AADC，：.ZABE=ZACD=60°

ZABE=ABAC,：.BE//AC

,：EG〃8C,...四边形3CGE是平行四边形.

(2)四边形BCGE是平行四边形.方法同(1)

(3)当点。运动到。C=8C时，四边形8CGE是菱形.

与(1)一样可证：/XABE^AADC,则3E=C£)

与(1)一样可证：四边形3CGE是平行四边形

二当=时，四边形8CGE是菱形，此时BC=C。

即当点。运动到OC=8C时，四边形3CGE是菱形.

【总结】本题综合性较强，主要考察特殊的平行四边形的判定的综合运用.

题型8：菱形中的动点问题

例11.如图，菱形4BCD的边长为2,BD=2,E,尸分别是边A。，CO上的两个动点且满足AE+CF=2.

(1)判断aBEF的形状，并说明理由；

(2)设aBEF的面积为S,求S的取值范围.

【答案】(1)等边三角形，证明见解析；(2)-V3<S<V3.

【解析】（l）；菱形ABCD的边长为2,BD=2,

：.△AB。和均。/）都为等边三角形.

二ZBDE=ZBCF=60°,BD=BC.

VAE+DE^AD=^2,又AE+CR=2,

:.DE=CF.

,:DE=CF,ABDE=ABCF,BD=BC,

：.ABDE迫ABCF，

:.ADBE=Z.CBF,BE=BF

'：ADBC=ZDBF+NCBF=60°,

/DBF+ZDBE=60°,即NEBF=60°,

二△班尸是正三角形；

（2）设BE=BF=EF=x,则S='.公理》=祖一

224

当5E_L4）时，x取最小值为百时，S=-V3；

4

当BE与AB重合时，x取最大值为2,S=V3；

-V3<5<V3.

4

【总结】考察菱形的性质的具体应用，注意动点的运动轨迹.

题型9：一题多解-菱形证明

例12.如图：在aABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于D,CE平分NACB,交AD于G,交AB于E,EF_LBC于

F.求证：四边形AEFG是菱形.

解题思路:证法一、•••ADJ_BC,

ZADB=90°,

；/BAC=90°,.•.NB+NBAD=90°,NBAD+/CAD=90°,

NB=/CAD,

：CE平分NACB,EF±BC,ZBAC=90°（EA±CA）,

...AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），

：CE=CE,...由勾股定理得：AC=CF,

AACG和△FCG中

'ACXF

-NACG=/FCG

CGXG,

/.△ACG^AFCG,AZCAD=ZCFG,

VZB=ZCAD,，NB=NCFG,；.GF〃AB,

VAD1BC,EF±BC,，AD〃EF,

即AG〃EF,AE〃GF,

...四边形AEFG是平行四边形，

：AE=EF,.•.平行四边形AEFG是菱形.

证法二、VAD1BC,NCAB=90°,EF1BC,CE平方/ACB,

；.AD〃EF,Z4=Z5,AE=EF,

VZ1=180°-90°-Z4,,2=180°-90°-Z5,

/.Z1=Z2,

VAD/7EF,/.Z2=Z3,/.Z1=Z3,，AG=AE,

VAE=EF,/.AG=EF,

•••AG〃EF,.•.四边形AGFE是平行四边形，

•.•AE=EF,...平行四边形AGFE是菱形.

题型10:菱形中的翻折与旋转

例13.（2022秋・江苏扬州•九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,A3=6.折叠该菱形，

使点A落在边3c上的点“处，折痕分别与边AB、AD交于点E、F.当点M在BC上时，OF长的最大值

为.

【答案】6-33-3肉6

【分析】连接A"交EF于点O,过点。作QK_L49于点K,交BC干点、T,过点A作AG，CB交C8的延

长线于点G,取AD的中点R,连接OR.根据垂线段最短，求出"的最小值，可得结论.

【详解】解：连接AM交所于点O,过点。作OK_LAD于点K,交BC于点T,过点A作AGLCB交CB

的延长线于点G,取AD的中点心连接OR，如图：

^AD//CG,OKYAD,

S1OKLCG,

ElZG=ZAKT=ZGTK=90°,

团四边形AGTK是矩形，

I3ZBAD=60°,AB=6,

在RtZiAGB中，

BAG=TK=—AB=3y/3，

2

团折叠该菱形，使点A落在边3c上的点M处，

团OA=OM,ZAOK=NMOT,ZAKO=ZMTO=90°,

0AOK会上MOT(AAS),

^OK=OT=—,

2

SOK1AD,

SOR>OK=—,

2

^ZAOF=90°,AR=RF,

^AF=2OR>3y/3.

团"的最小值为36，

©OF的最大值为6-36.

故答案为：6-36.

【点睛】本题考查菱形中的翻折问题，涉及矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添

加辅助线，构造直角三角形斜边上的中线解决问题.

例14.(2023•广东东莞•东莞市厚街海月学校校考模拟预测)如图，OE是菱形ABCD边BC上的高，将

一。EC绕着点。顺时针旋转120。到。弘的位置，若五边形ABED尸面积为506，则OE的长度为()

A.5B.5退C.10D.105/3

【答案】B

【分析】由旋转得4£>C=120。，,DEC^DFA,从而得出菱形ABCD的面积=五边形AB的面积

=506,再根据菱形的性质，和直角三角形的性质，求得。E=^CE,再证△38是等边三角形，根据

等边三角形的性质得8C=2CE,然后根据菱形的面积求出CE=5,根据DE=6CE求解即可.

【详解】解：连接80，

由旋转可得NA£>C=12()。，DEC当DFA,

团菱形ABC。的面积=五边形ABEDF面积=506，

团菱形ABC。，OE是菱形A8C。边BC上的高，

^ZDEC=ZADE=90°,

fflZC£>E=30°,ZC=60°,

团CE=—CO,

2

®DE=y/iCE,

E）菱形ABCD.

0CD=CB.

13△BCD是等边三角形，

©BC=2CE,

2

0Ss）fMflCD=HC-DE=2CE-0CE=2^3CE=50G,

0C£=5

®DE=&E=5有，

故选:B.

【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性

质，旋转的性质，直角三角形的性质掌握是银题的关键.

【方法三】差异对比法

易错点1菱形的面积公式应用出错

例15.一个菱形的边长为5,一条对角线长是6,则该菱形的面积为（）

A.8B.12C.16D.24

【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半

求得菱形的面积.

【解答】解:如图，当8。=6时,

•.•四边形A8CZ）是菱形，

C.ACLBD,AO=CO,80=00=3,

•.'AB=5,

22

•­A0=VAB-B0=425-9=4,

AC=8>

...菱形的面积是：6X8+2=24,

故选：D.

【点评】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的

积的一半.

易错点2不理解菱形的几种判定方法而导致错误

例16.下列命题中，真命题是（）

A.一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形

B.等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

【答案】C

【解析】C答案中对角线互相平分则可判定四边形为平行四边形，而在此基础上加上对角线

互相垂直，四边形变为菱形.

【总结】菱形的判定

【方法四】仿真实战法

考法1：菱形的性质

1.（2022•温州）如图，在菱形ABCD中，AB=\,NBAD=60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形AEN”

和菱形CGMF,使点E,F,G,，分别在边AB,BC,CD,D4上，点M,N在对角线AC上.若AE=

3BE,则MN的长为恒.

2

【分析】方法一：根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得AC、AM和MN的长，然后即可计算出MN

的长.

方法二：根据相似三角形的判定和性质可以得到E尸和A/N的关系，然后解直角三角形可以求得OA的

长，从而可以得到的长.

【解答】解：方法一：连接。B交4C于点O,作于点/,作E/LAB交4B的延长线于点J,如

图1所示，

•..四边形ABCQ是菱形，NBAD=60：AB=1,

：.AB=BC=CD=DA^1,NBAC=30°,AC1BD,

'''/\ABD是等边三角形，

2

•■•AO=VAD2-DO2=^l2-（y）2=^

AC=2.AO==y]"3<

"：AE=3BE,

；.AE=3,BE=工,

44

菱形AENH和菱形CGMF大小相同,

：.BE=BF=L,ZFBJ=60°,

4

，E/=B尸sin60°=上义叵=叵,

428

：.M1=FJ=^3_,

8

V3_

・••A”.巫。=4~=逅,

sin30工4

2

同理可得，CN=1,

4

:.MN=AC-AM-CN=M-亘_2^_=近_,

_442

故答案为：YZ.

2

方法二：连接力8交AC于点0,连接EF,

由题意可得，四边形AMFE是平行四边形，四边形EFCN是平行四边形,

：.EF=AM=CN,

,JEF//AC,

:.△BEFs^BAC,

.EFBE

ACBA

'：AE=3BE,AB=1,

：.AB=4BE,

•EFBE_1

,■AC=BA了

：.AM=CN=—AC,

4

：.MN=^AC=0A,

2

'：ZBAD=60°.AB=AZ)=1,AO垂直平分BQ,

0£>=工，

2

。4=痛)2-0口2={F-g)2=冬

；.MN=四,

2

故答案为：JI.

2

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出

AC、AM和MV的长.

考法2：菱形的判定

2.（2022•嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABC。中，对角线AC,BO交于点O,ACLBD,OB=

0D.求证：四边形ABCO是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流.

小惠：小洁：

证明：OB=OD,这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能

...AC垂直平分BD证明.

：.AB=AD,CB=CD,

.•.四边形ABC。是菱形.

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“J”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明.

【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理.

【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA=OC,证明如下：

"：OA=OC,OB=OD,

：.四边形ABCD是平行四边形，

又•.,ACLBD,

•••平行四边形A8CQ是菱形.

【点评】本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）对

角线互相平分的四边形是平行四边形以及菱形的判定方法：（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角

线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形，是解题关键.

考法3：菱形的判定、性质的综合

3.（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得

到更多的菱形.如图2,用2个相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是（）

A.用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形

B.用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形

C.用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形

D.用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可.

【解答】解：如图所示,

用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形;

用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形,

用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形,

用5个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形,

用6个相同的菱形放置，最多能得到47个菱形.

故选：B.

【点评】本题主要考查菱形在实际生活中的应用，解题的关键是根据题意画出图形并熟练掌握菱形的判

定.

【方法五】成果评定法

一、单选题

1.（2023・浙江绍兴•统考一模）如图，某学校门口的伸缩门在伸缩的过程中，四边形A3C。始终是菱形,

则下列结论不一定正确的是（）

A.ZA=NCB.ZA=ZBC.AB=ADD.AB=CD

【答案】B

【分析】根据菱形的性质：对角相等，邻边相等，对边相等，可知A、C、D正确，B中只要当四边形

A8C。是正方形时才能成立.

【详解】解：A、菱形对角相等，正确，不符合题意；

B、菱形的邻角互补，只有当四边形A3C3为正方形时这两角才相等，错误.符合题意；

C、菱形的邻边相等，正确，不符合题意；

D、菱形的对边相等.正确，不符合题意.

故选：B

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握其性质是解决此题的关键.

2.（2023•浙江嘉兴・统考一模）如图，在菱形A3。中，ZC=80°,则—ABD的度数为（）

A.80°8.70°C.60°D.50°

【答案】D

【分析】根据菱形的性质，平行线的性质计算判断即可.

【详解】回菱形A8C。，

CD,ZABD=ZCBD,

I3ZC+ZABD+NCBA180°,

0ZC=8O°,

回3国*

=50°,

2

故选D.

【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键.

3.（2023・天津西青・统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上，且菱

形边长为2,ZBAD=60°,则点8的坐标为（）

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-73,0)D.(V3,0)

【答案】A

【分析】由菱形的性质，30。所对的直角边等于斜边的一半可知==进而可得B点坐标.

【详解】解：由菱形的性质可知，AB=2,ZBAO=^ZBAD=30°,ZAO8=90。，

^OB=-AB=l,

2

0B(-LO),

故选：A.

【点睛】本题考查了菱形的性质，30。所对的直角边等于斜边的一半等知识.解题的关键在于对性质的熟

练掌握.

4.(2023春・河南南阳•九年级统考阶段练习)如图，在菱形A3CD中，对角线AC=6,菱形ABC。的面积

为24,则菱形ABC。的周长为()

A.5B.10C.20D.30

【答案】C

【分析】连接3。交AC于。，根据菱形的面积公式可求得30,从而可求出04、OB,进而可求出48,

即可求解.

【详解】解：连接50交AC于。，

四边形人88是菱形，

AC±BD,OA=-AC=3,

2

:.—x6xBD=24,

2

BD=8,

・•.OB=-BD=4,

2

=5,

C菱形BACO=4x5=20.

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，菱形的面积公式，掌握性质、定理、公式进行正确的求解是

解题的关键.

5.（2023・广东东莞•东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，DE是菱形4BCD边8c上的高，将DEC

绕着点。顺时针旋转120。到的位置，若五边形A8EDF面积为506，则OE的长度为（）

A.5B.5x/3C.10D.10也

【答案】B

【分析】由旋转得NADC=120。，DEgDFA,从而得出菱形ABC。的面积=五边形ABEDF面积

=50百，再根据菱形的性质，和直角三角形的性质，求得OE=GCE,再证△BCD是等边三角形，根据

等边三角形的性质得3c=2CE,然后根据菱形的面积求出CE=5,根据。E=求解即可.

【详解】解：连接8。，

由旋转可得ZADC=120。，_DEC"DFA,

田菱形ABC。的面积=五边形面积=50G,

回菱形ABC。，OE是菱形ABC。边BC上的高，

回NOEC=/4T>E=90°,

0ZCDE=30°,NC=60。，

S\CE=-CD,

2

回。E=GCE,

回菱形ABCD,

S1CD=CB,

回△BC£>是等边三角形，

0BC=2CE,

（3SSKABCD=BC-DE=2CE-&CE=2辰E。=50G,

E1CE=5

®DE=gCE=5有，

故选：B.

【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性

质，旋转的性质，直角三角形的性质掌握是银题的关键.

6.（2023•河南郑州•郑州外国语中学校考一模）如图所示，边长为4的菱形ABC。中NABC=60。，对角线

AC与BD交于点O,P为A3中点，Q为0。中点，连接PQ,则PQ的长为（）

A.26B.3&C.V13D.V15

【答案】C

【分析【过点尸作PMJL08,垂足为根据NABC=60。得到为等边三角形，从而得到

ZABD=30°,计算出M0=：08=G=0Q,再计算出MQ=0M+0Q=20M=26,最后根据勾股定理

计算出PQ.

【详解】解：如图所示，过点P作尸03,垂足为M,

回四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,

回ABC为等边三角形.

E1AB=AC=4,ZABO=30°,AC1BD,BO=DO,

AO=^AB=2,OB=-j?>AO=2>/3>MO=goB=6=OQ,

&MQ=0M+OQ=2OM,

EIP为A3中点

0PM」A0=l,

2

”2=JPW+MQ?=在+（2后）=屈,

故选c.

【点睛】本题考查菱形、等边三角形和含30。角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识.

7.（2023•天津河西•统考模拟预测）如图，菱形ABCO中的顶点O,A的坐标分别为（0,0）,（1,6）,点C

在x轴的正半轴上，则点8的坐标为（）

A.（2,6）B.（3,石）C.（2瓜⑻D.（3"&）

【答案】B

【分析】菱形A8C。中的顶点O,A的坐标分别为（0,0）,（1,6）,勾股定理求得A8=Q4=2,点C在x

轴的正半轴上，得A5〃x轴可求解.

【详解】解：菱形A8C0中的顶点。，A的坐标分别为（0,0）,（1,6）,

点C在x轴的正半轴上,

A3〃x轴，

.«3词，

故选B.

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理及坐标与图形；解题的关键是求出菱形的边长.

二、填空题

8.（2022秋•江苏扬州•九年级统考期末）如图，在菱形ABCQ中，ZA=60°,AB^6.折叠该菱形，使点

A落在边BC上的点何处，折痕分别与边A&AD交于点E、F.当点M在8C上时，。厂长的最大值为

【答案】6-3-\/3/—3y/3+6

【分析】连接A/W交EF于点O,过点。作QK_LAD于点K,交BC于点、T,过点A作AGLCB交CB的延

长线于点G,取A。的中点R,连接OR.根据垂线段最短，求出AF的最小值，可得结论.

【详解】解：连接A"交E尸于点O,过点。作。K_L4）于点K,交BC于点T,过点A作AGLC3交C8

的延长线于点G,取A。的中点R,连接OR,如图：

S1AD//CG,OK1AD,

&OKLCG,

回NG=NAKT=NG77C=90°,

团四边形AG7X是矩形，

回NB4£）=60°,48=6,

在RtZXAGB中，

n

SiAG=TK=—AB=3y/3,

2

团折叠该菱形，使点A落在边SC上的点M处，

回。4=QW,NAOK=ZMOT,ZAKO=ZMTO=90°,

0AOKAAS）,

00^=07'=—,

2

SOKXAD,

SOR>OK=­,

2

^ZAOF=9Q°,AR=RF,

^AF=2OR>3>/3,

团"的最小值为3档，

团。产的最大值为6-3J5.

故答案为：6-3石.

【点睛】本题考查菱形中的翻折问题，涉及矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添

加辅助线，构造直角三角形斜边上的中线解决问题.

9.(2023•山西晋中•统考模拟预测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与8。相交于点。，OA=1,

OB=3,则菱形ABCZ)的面积为.

【答案】42

【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案.

【详解】解：在菱形46co中，对角线AC,BD交于点O,OA=7,OB=3,

..AC=2AO=\4,BD=2OB=6,

，菱形A8C£＞的面积为gxl4x6=42.

故答案为：42.

【点睛】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积的求法.

10.(2023•广西梧州•统考一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCO的顶点0(3⑵，点P是对角线

OC上的一个动点，已知则AP+8P的最小值是

【答案】2石

【分析】点B的对称点是点连接仞，交OC于点P,再得出AO即为AP+"最小值，解答即可.

【详解】解：连接80,如图，

团四边形OBCO是菱形，

国AC垂直平分8。，

目点B的对称点是点D,

连接A£＞交OC于点P,连接8尸，

⑦DP=BP,

团AO即为AP+8P的最小值，

回点A的坐标为(—L0),点0(3,2),

13Ao=J(-l-3)，+(0-2『=2石

故答案为2石

【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离.

11.（2023•山东德州•校考一模）如图，在菱形A8C。中，ZABC=60°,M=4,E,尸分别是边BC和

对角线8。上的动点，且=尸，则AE+AF的最小值为.

【答案】40

【分析】在8c的下方作NCBT=30°,截取"，使得BT=AD,连接ET,AT.证明AWF丝△7BE（SAS）,

推出AF=ET,AE+AF=AE+ET,根据AE+ETZAT求解即可.

【详解】解：如图，8C的下方作/询=30°,截取BT,使得"=45,连接£T,AT.

.四边形是菱形，ZABC=60°,

：.ZADC=ZABC=M°,ZADF=-ZADC=30°,

2

AD=BT,ZADF=ZTBE=3O09DF=BE,

「.△AOF0△TBE（SAS）,

AF=ET，

ZABT=ZABC+ZCBT=60o+3（）°=9（F,AB=AD=BT=2,

:.AT=VAB2+BT2=V42+42=4及，

:.AE-\-AF=AE-\-ET,

AE+ET>AT,

:.AE+AF>4y/2,

AE+AF的最小值为4垃，

故答案为40.

【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

12.（2023春•广东茂名•九年级校联考阶段练习）以菱形A8CD的对角线交点。为原点，对角线AC、BD

所在直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系，的中点E的坐标为（-1,2）,则8c的中点F的坐标

为一

【答案】（1,-2）

【分析】过E作EGJ_AC于G,过尸作FHLAC于H,根据已知条件得到A（-2,0）,仇0,4）,根据菱形的

性质得到O8=OD,OA=OC,于是得到6（0,-4）,C（2,0）,即可得到结论.

【详解】解：过E作EGLAC于G,过F作尸H_L4C于H,

团AO的中点E的坐标为(-1,2),

回A(-2,0),0(0,4),

团四边形ABCO是菱形，

0OB=OD,OA=OC,

OB(OI),C(2,0),

回8c的中点F的坐标为(1,-2).

故答案为：(L-2).

【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题

的关键.

13.(2023•江苏常州•校考二模)如图，在菱形A8C。中，AB=4,ZD=60°.点P为边CO上一点，且不

与点C,。重合，连接8P,过点A作EF〃然，且EF=BP,连接BE,PF,则四边形BEEP的面积为

【答案】86

【分析】连接4CAP,由菱形的性质可知一MC是等边三角形，过点C作CGL他于点G,过点P作

PHLAB于点、H,可得CG=PH,继而得出5从研=5小旌，根据勾股定理求出CG长度，再证明四边形

BEFP是平行四边形，依据S平行四边幅EW=S箜叫sc。进行求解即可.

【详解】如图，连接AC,AP,

团四边形A5c。是菱形中，Z£>=6()°,

回A8=BC=4,"=ZABC=60。，AB//CD,

团—4?C是等边三角形，

过点C作CGL45于点G,过点尸作P〃_LAB于点H,

则CG=P”,

SSABP=^ABPH,S^ABC=^ABCG,

EICGJ_A3,

&BG=AG=-AB=2,

2

回CG=\IBC2-BG2=V42-22=2>/3

®EF〃BP,EF=BP,

团四边形BEFP是平行四边形，

团S平行四边形=2sAIIP,

团S菱形ABC。=2sABC,

团S平行四边形BEFP=S菱形.0=ABCG=4x2V3=8K,

故答案为：8石.

【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定与性质以及三角形面积公

式等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键.

14.（2023•浙江台州•统考一模）关于某个四边形的三个特征描述：①对角线互相垂直；②对角线互相平

分；③一组邻边相等.选择其中两个作为条件，另一个作为结论.若该命题是假命题，则选择的条件是

.（填序号）

【答案】①③

【分析】根据平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质逐一判定即可.

【详解】①②为条件，③为结论时为真命题：

对角线互相垂直且对角线互相平分的四边形是菱形，菱形的邻边相等；

②③为条件，①为结论时为真命题：

对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组邻边相等的平行四边形为菱形，菱形的对角线互相垂直；

①③为条件，②为结论时为假命题：

由对角线互相垂直及一组邻边相等不能推出对角线互相平分；

故答案为：①③.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

三、解答题

15.（2023•山东滨州•统考一模）如图，四边形438是菱形，点”为对角线AC的中点，点E在AB的延

长线上，CEJ.AB,垂足为E,点F在的延长线上，CF1AD,垂足为尸,

（1）若/84。=60。，求证：四边形CE//F是菱形；

（2）若CE=6,AMCE的面积为24,求菱形A88的面积.

【答案】⑴见解析

【分析】（1）证明出庭=。/=£；”=切,即可得到结论.

（2）由三角形的面积求出AE=16,设8E=x,则AB=3C=16-x,在Rf/XBCE中利用勾股定理得出方程，求

出BE=6,再求出A3=10,即可解决问题.

【详解】（1）证明：团四边形AB8是菱形，/胡。=60。，

0ZE4C=ZMC=3O°,

又S1CEJ.AB,CF1AD,

SCE=CF=-AC,

2

团点//为对角线AC的中点，

gEH=FH=、AC,

2

OCE=CF=EH=FH,

回四边形CE4F是菱形：

（2）解：CE=6,丛比的面积为24,

B1AE=8,

^AC=>/CE2+AE2=10,

如图，连接肛则双MAC,AH=^AC=5,

回点H为对角线AC的中点，

回。、H、8在同一直线上，

0ZA//B=Z4£C=9O°,ZBAH=ZEAC,

回菱形ABCD的面积=；AC.8D=gxl0x¥吟.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及

勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

16.（2023•云南临沧•统考一模）如图，在Rt/VIBC中，ZABC=9O°,D、E分别为AC、BC的中点，连

接DE并延长DE至点F，且，点P为直线BC上的一个动点.

⑴求证：四边形BFCO为菱形.

（2）若48=6,菱形3FC3的面积为24,求OP+AP的最小值.

【答案】⑴见解析

⑵质

【分析】(1)先证明是平行四边形，再利用三角形的中位线证明对角线互相垂直，得出是菱形;

(2)根据菱形的性质求出8C,再利用勾股定理求解.

【详解】(1)解：证明：E是BC的中点，

CE=BE9

DE=EF,

二•四边形BPS是平行四边形，

D、E分别为AC、8c的中点，

:.DE//AB,DE=-AB,

2

ZABC=90°,

ZCED=90°,

••・四边形BFCD为菱形；

(2)四边形BFCD为菱形，

;.D、F关于BC轴对称,

・・.当P为4尸与BC的交点时，OP+"最小，最小值为AF的长，

过尸作尸。，A8交A8的延长线于点Q,

SDE=EF,DE=-AB,DF//AB,

2

回四边形ABFD是平行四边形，

团DF=AB=6,

团菱形3FC。的面积为24,

；.FQ=BE=4,BQ=EF=3,

/.AQ=9,

AF=JA02+FC=屈.

【点睛】本题考查J'菱形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，最短路径问题，找到DP+AP最小时的

情形是解题的关键.

17.(2023•北京•模拟预测)如图：在菱形ABCO中，对角线AC、BD交于点O,过点A作AEL8C于点

E,延长BC至点尸，使CF=BE,连接。尸.

⑴求证：四边形是矩形；

⑵若3F=16,DF=8,求CO的长.

【答案】(1)见解析

(2)CD=10

【分析】(1)根据菱形的性质得到AO〃BC且AO=8C,等量代换得到8C=EF,推出四边形4EFD是平

行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

(2)^BC=CD=x,则CF=16-x根据勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)证明：团在菱形4BCO中，

^\AD//BC,AD=BC,

®CF=BE,

0BC=EF,

⑦AD