转本高数积分学小结

定积分自测题答2.2π4.一.1π662.4.x2dx二211.原式(x)dx.定积分自测题答2.2π4.一.1π662.4.x2dx二211.原式(x)dx.π2dcos2cosπ1414原式 24cos22cos00πsec2tπ3π4π3π41233.xtant,原式sin2tdt2tan2t43ππ2π2 1cosxdtan2π00π20x2xπx dx |2031四f(x2)df1731e01(1π2π2 1cosxdtan2π00π20x2xπx dx |2031四f(x2)df1731e01(1)dx dxx2x0.五xxuxtf(xt)dt(xu)f00xxfx1cos00π2π2xx,00x2xf(t)dt1,六证设Fx)0则Fxx2xf(t)dt1,六证设Fx)0则Fx)在[0,1]上连续且F(011111dt1f00由零点存在定理,至少存在ξ0,1使F(ξ)0,即方程在(0,1)内至少有一实根综上可知方x2xf(t)dt在(0,1)内有且仅有一实根02141)dx1A2x0π301112V2141)dx1A2x0π301112V(2x11)dx222(.π01V0π(1222π2或.30)dx31晓薇在线课晓薇在线课一、定积分应用的常用公平面图形的面1yy=f2(yyf一、定积分应用的常用公平面图形的面1yy=f2(yyf(AAy=f1(ooaaxxbbbbA=∫a[f2(x)−f1(A=f(x)adA=∫c[ϕ2(y)−ϕ1(⎧x=φ(t⎨y=ψ(t⎩tA2ψ(t)φ⎧x=φ(t⎨y=ψ(t⎩tA2ψ(t)φ(4βρ=βρ=ρ(ϕρ=ρ1(ϕoxox121ββAϕ)ρ22A2[ρϕ)]ϕϕϕ212αα体二b=VA(xybπ[f(x)]体二b=VA(xybπ[f(x)]2=oxx+xydd=2π[φ(y)]x=φ(cox平面曲线的弧三yyf(bs=1+y′2a}⎧x=φ(平面曲线的弧三yyf(bs=1+y′2a}⎧x=φ(t⎨y=ψ(t⎩(α≤t≤β)xx+dxβφ′2(t)+ψ′2(ts=αρ(αϕββsα例1xy26y80和直线x-y+4=0x例1xy26y80和直线x-y+4=0xy26y80解交3,1),B(0,xy46y80(yyxy21924y6y8)(y24)]dy.1x0例y在曲线y=解y−a2=2a(例y在曲线y=解y−a2=2a(x−ya{x2(2a(xa)0y==(a>(a,a20{x2(2a(xa)aox=(a<y=3ax2+2bx+例x1y=0所围的平面图形的面积为1a,b,c平面图形绕y=3ax2y=3ax2+2bx+例x1y=0所围的平面图形的面积为1a,b,c平面图形绕y=3ax22bxcc=0解与直线x1y=0所围的平面图形的面积为1，1b=1−∫1ax2+2bx)dx=a+即(301(3ax2+2(1−a)x)2V(a)=0=π[9a2+3a(1−a)+4(1−a)2=[2(a+5)2+9]5a=−54348b=94c=φ⎛(a>ρ=a⎜sin3⎝⎠(0φ≤3π)1φ2=a⎛φρ 解⎜33⎝⎠3φ⎛(a>ρ=a⎜sin3⎝⎠(0φ≤3π)1φ2=a⎛φρ 解⎜33⎝⎠3β∴s=ρ2(φ)+ρ′2(φα642⎛⎞⎛⎞⎞φφφ=22+ ⎜3⎜3⎟30⎝⎠⎝⎠⎠φ3π3= =2⎜sin3⎠⎝例x=a(t−sinty=a(1cost摆线第一拱(0≤t≤2π)13解例x=a(t−sinty=a(1cost摆线第一拱(0≤t≤2π)13解则ta2(1−cost)2+a2sin20=a2(1−cost)2+a2sin2t12a(1−cost)=4a(cost+即22cos2=122t=2π333 π3)a, 2x4五y=设切点分别为P,QOP,OQ2x4五y=设切点分别为P,QOP,OQ解2ay(a22a4)(2a2)(x(a22a4)a(2ay=2x，y=−6a得0S=∫[(x2−2x+4)−(−6–2x+4)−2x]dx=2∫+[30法 k解：由已知：设切线方程。y'2x法 k解：由已知：设切线方程。y'2x2则kx2xx12,x2y2x,yk16,例Rx为积分区间，对[0R任意o为–例Rx为积分区间，对[0R任意o为–S(x)–x2–RV=8∫(R2−x2)dx30物理应五细棒的质ρ(l物理应五细棒的质ρ(lm=∫0(ρx为线密度xoxx+ll求曲线xy=4y1x>0例的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积⎧xy=y⎨求曲线xy=4y1x>0例的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积⎧xy=y⎨y=⎩y=x∫ =oxy1=116⎤+∞⎡==π⎣−y1变力所作的bW=∫a=aF(F(变力所作的bW=∫a=aF(F(x+xoxbb水压box+by∫Pf(ab=∫ρxf(xa(ρ为比重引y 3AllF=yyθ(a2+x2–lxG为引力系数 =o引y 3AllF=yyθ(a2+x2–lxG为引力系数 =oxx+x1b函数的平均∫yf(b−a1均方b∫y2f(b−a旋转体的侧面四yf(x)≥旋转体的侧面四yf(x)≥a≤x≤b=∫2πf(1+f′2(ySayf(oxx+ylnx,y=0.在区间[1e]内求一点x0使y1及x=teSylnx,y=0.在区间[1e]内求一点x0使y1及x=teS(t)=lnxdx+∫t(1lnx解S′(t)=S′(t)=1lnt−1t=1S′(e4)>1ttln1t=e例1⎧x=acos3(a例1⎧x=acos3(a>⎨y=asin3⎩求体积及表面积解设面积为aA= 0=4∫πat⋅3acos2t(−解设面积为aA= 0=4∫πat⋅3acos2t(−sint2π238∫=a[sint−sint]dt246πa20π2π2 (x′)2+(y′)2dt∫∫=L==00设旋转体的表面积S,体积为VaS=2∫1+y′2x0π∫设旋转体的表面积S,体积为VaS=2∫1+y′2x0π∫= 2asin3t⋅3acostsintdtπa250a0V=2∫=2∫ππa2sin6t⋅3acos2t(−sint02π2∫33=πsint(1−sin2t=πaa70例以每秒a的流量往半径R的半球形水内注水1)例以每秒a的流量往半径R的半球形水内注水1)h(0<h<R)面上升的速度若再将满池水全部抽出y至少需作功多少解半圆的方程Rhox+(y−R)2=(0≤y≤=R2−(y−R)2=2Ry−y2(0≤y≤(1y的立体,故半球内高为hhhV(h(1y的立体,故半球内高为hhhV(h)=∫∫2xdyπ(2Ry−y200又设水深h时已注水的时间为t,则有V(h)=ath0π(2Ryy2dyπ(2Rh−h2)dh=两边对t求导,dha.π(2Rh−h2将满池dha.π(2Rh−h2将满池的水全部抽出所需的最小功即将池水全部提升到池沿高度所需的功抽水时使水位从y(0≤y≤R)降到ydy的功约(ρ=1水的比重ρπx2dy(R−x2=2Ry−y2dWρπ(2Ry−y2R−RW=∫ρπ(2Ry−RW=∫ρπ(2Ry−y2)(R−0R=π∫(2R2y−3Ry2+y30=πR44例