山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第21章共边比例定理共角比例定理

第21章 共边比例定理 共角比例定理共边比例定理假设两个共边的三角形，的对应顶点，所在直线与交于，那么．①张景中．几何新方法和新体系．北京：科学出版社，2023：5．①张景中．几何新方法和新体系．北京：科学出版社，2023：5．证法1由同底三角形的面积关系式，有，．由上述两式相加即证得图21-1中〔1〕、〔2〕，上述两式相减即证得图21-1中〔3〕、〔4〕情形．证法2不妨设与不同，那么．证法3在直线上取一点，使，那么，．所以，．共角比例定理假设与相等或互补，那么有〔或〕证明把两个三角形拼在一起，让的两边所在直线与的两边所在直线重合，如图21-2所示，其中图〔1〕是两角相等的情形，图〔2〕是两角互补的情形，两情形下都有共角比例定理的推广与相等或互补，点在直线上且不同于，点在直线上且不同于，那么证明不妨设，，，共线如图21-3，那么共角比例不等式如果，而且两角之和小于，那么〔或〕．证明记，．如图21-4，作一个顶角为的等腰，延长至，使，那么．由共角比例定理，有共角比例逆定理在和中，假设，那么与相等或互补．证明用反证法．假设，不相等也不互补，不妨设．这时有两种情形：．假设，由共角比例不等式，得这与题给条件矛盾．假设，如图21-5，延长至，使，延长至使．这时，，而且由共角比例不等式，得但由共边比例定理，知，且，故上述不等式，即为这也与题给条件矛盾．从而假设，不相等也不互补不成立．故与相等或互补．下面给出应用上述定理证明问题的例子．例1〔1999年全国高中联赛题〕在四边形中，对角线平分．在上取一点，与相交于点，延长交于．求证：．证法1如图21-6，在中，对割线应用梅涅劳斯定理，并注意到共边比例定理，有．于是，证法2如图21-6，对及点应用塞瓦定理〔令交于点〕，并注意到共边比例定理，有〔以下同证法，略〕例2〔2003年全国高中联赛题〕过圆外一点作圆的两条切线和一条割线，切点为，，所作割线交圆于、两点，在、之间，在弦上取一点，使么．求证：．证明如图21-7，设，．在中，由正弦定理，有．过、分别作于，作于，注意到共边比例定理，有．又，那么．于是，．故．例3〔2023年国家集训队测试题〕如图21-8，在凸五边形中，与相交于，与相交于，与相交于，与相交于，与相交于．设、、、、分别为与、与、与、与、与的交点．求证：．证明由共边比例定理，有．其他的线段比例用同样的方法〔共边比例定理〕转化，即只需证明①由于．用同样方法转化面积比，并消去上下相同的线段．因而只需证明有或． ②利用正弦定理，②式等价于：． ③而③式显然成立，故结论获证．例4〔2023年北方数学邀请赛题〕是的内切圆，、、分别为、、上的切点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．求证：是的中点．证明如图21-9，联结，，由、、、及、、、分别四点共圆有，．由共边比例定理，有，及．于是，．故是的中点．例5〔2023年国家队选拔赛题〕在锐角中，，是的中点，是内一点，使得．设、、的外心分别是、、．证明：直线平分线段．证明如图21-10，联结、、、、，设直线与线段交于点．由共边比例定理，有．又，，即．于是．故直线平分线段．例6在完全四边形中，假设直线与直线交于点，直线分别交，于，．那么，，．证明如图21-11，由共边比例定理，有．．．注：〔1〕对于等的证明，也可由．〔2〕上述〔1〕的证明是对凸四边形而言的，对下述的凹四边形，折四边形，按上述表达那么证得了上图中的，．〔3〕上述证明是由出发，也可从下述等式出发：，，．例7〔梅涅劳斯定理〕设，，分别为的三边、、所在直线上的点，假设、、三点共线，那么．证法1如图21-13，联结，．由共边比例定理，有，，．上述三式相乘即证得结论．证法2如图21-13．在直线上任取不重合两点、，由共边比例定理，有，即证．例8〔塞瓦定理〕在的三边、、所在直线上取点，和，那么，，三直线共点的充要条件．证明必要性．如图21-14．由共边比例定理，有．充分性．假设有，如图21-15，设和交于点，和交于点，要证明的是和重合，也就是有．由共边比例定理，有，即证．例9〔牛顿线定理〕完全四边形的三条对角线的中点共线．证法1如图21-16，在完全四边形中，、、分别为对角线，，的中点．设直线交于，下证与重合即可，即证为的中点即可．由共边比例定理有即证注：〔*〕．〔**〕．证法2如图21-17，同证法1，证为的中点即可．过，，，分别作直线的平行线交于点，，，．由共角比例定理及平行线的性质，有，，，．注意到为的中点，也为的中点，知，．以上四式相乘并化简得，即．亦即，亦即．于是，．从而．又，故为的中点，由此即证得结论．证法3〔张景中证法〕．即知，故直线过的中点．例10圆弦的中点是，延长的两端使，过，分别向圆作割线，，联结，分别交于，，那么，如图21-18所示．证明注意到共角比例定理，由，有． ①设，，，，那么，，，，，，，．于是①改写为．化简，整理得．②在②式中，〔因〕．故．例11圆弦中点为，延长的两端，使得，过，分别向圆作割线，切线，联结，分别交于，，那么，如图21-19所示．证明注意到共角比例定理，由，，有．eq\o\ac(○,*)设，，．那么，，，．于是eq\o\ac(○,*)改写成．化简，整理得．故．练习题二十一1．〔帕斯卡定理〕设内接于圆〔与顶点次序无关，即无需为凸六边形〕，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点．那么、、三点共线．2．〔帕普斯定理〕，，三点共线，，，三点共线．直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，那么，，三点在一直线上．3．〔笛萨格定理〕直线，，交于点，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，那么，，三点共线．4．〔《数学通报》数学问题1836号〕是外一点，过点的直线分别交、于、，交的延长线于点．求证：．5．〔《数学通报》数学问题1816号〕设是内任一点，、、分别交、、于、、．、、分别交、、于、