初中数学24.1.2垂直于弦的直径 课件(共17张PPT)2022-2023学年人教版数学九年级上册

第二十四章圆

24.1圆的有关性质第2课时

24.1.2垂直于弦的直径有一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．新课导入折一折你能证明你的结论吗？1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂径定理及其推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标推进新课·OCD探究求证圆是轴对称图形

过点A作AA'⊥CD于M，交⊙O于点A'，已知：如图，在⊙O中，CD是直径。求证：直线CD是⊙O的对称轴证明：在⊙O上任取一点A(与C、D不重合)，AA'M连接OA，OA'。∵OA=OA'，AA'⊥CD∴AM=A'M∴CD是AA'的垂直平分线∴⊙O上任意一点A，在⊙O上都有

关于CD的对称点A'即直线CD是⊙O的对称轴·OABCDM垂径定理及其推论一如图,AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于M.

则:AM与BM重合，

AC与BC、AD与BD重合⌒⌒⌒⌒垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。运用格式：∵CD是直径，CD⊥AB∴AM=BM

AC=BC、AD=BD⌒⌒⌒⌒垂径定理的常见基本图形：ABOCDEABOEDABOEABO

EC上述五个条件中的任何两个条件作题设都可以推出其他三个结论吗？思考探索垂径定理的条件与结论，即一条直线若满足：①过圆心(CD是直径)②垂直于弦(CD⊥AB)则可推出：③平分弦(AM=BM)④平分弦所对的优弧(AC=BC)⑤平分弦所对的劣弧(AD=BD)·OCDMAB⌒⌒⌒⌒

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的推论运用格式：·OCDABM∵CD是直径，AM=BM∴CD⊥AB

AC=BC、AD=BD⌒⌒⌒⌒思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。垂径定理的实际应用二例

赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥的主桥拱的半径（结果保留到小数点后一位）。解：如图，用AB表示主桥拱，弦AB表示跨度，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，⌒⌒ABODC⌒R∴AB=37m，CD=7.23m.

根据垂径定理知：D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高，连接OA。⌒解得R≈27.3答：赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.ABODCR18.5R-7.23

OD=OC-CD=R-7.23.在Rt∆OAD中，由勾股定理得：

1.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=

cm.·OABE解：连接OA∴AB=2AE=1616∴练习∵OE⊥AB变形：书83页练习1

在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r

OABC·

D归纳hdr

2.已知：⊙O中弦AB∥CD

求证：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒证明：作直径MN⊥AB.又∵

AB∥CD∴

AM＝BM∴

MN⊥CD∴

CM＝DM∴

AM－CM＝BM－DM∴

AC＝BD练习3.如图，你能作出一张圆形纸片的圆心吗？O解：图中点O就是所求圆心。练习垂径定理内容推论辅助线一条直线满足：①过圆心；