6.5正态分布（课件）-高二数学（北师大版2019选择性）

6.5正态分布

二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).若X~B(n,p)，则有二项分布的均值与方差：二点分布是特殊的二项分布.

E(X)=

,D(X)=

.npnp(1-p)温故知新

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为超几何分布：X01…mP…称分布列为超几何分布知识回顾问题1：离散型随机变量是什么？离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量。问题2：下列随机变量哪个是离散型随机变量：(1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；(2)白炽灯的使用时间．现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量。温故知新

思考

怎样描述这样的随机变量的分布情况呢？问题提出问题引入问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素，任意取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X的观测值如下：

频率直方图最大值最小值1.求极差2.确定组距和组数（6组）3.将数据分组4.列频率分布表5.画频率分布直方图

问题引入问题引入第四步：列出频率分布表区间号区间频数频率累积频率1[-6,-4)30.030.030.0152[-4,-2)160.160.190.083[-2,0)340.340.530.174[0,2)310.310.840.1555[2,4）130.130.970.0656[4,6)30.0310.015问题引入频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.0-6-420-2频率/组距0.050.100.150.20X46中间高、两边低

左右大致对称

观测误差有正有负;并大致对称地分布在X=0的两侧;小误差比大误差出现得更频繁.（1）问题引入

随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图(2)所示.频率组距（2）PX-60-4-200.150.05（3）0.100.20426X根据频率与概率的关系，可用图(3)中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布.例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示.产品尺寸(mm)总体密度曲线总体密度曲线:

样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．高斯实际生活中许多类似的随机现象：德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线.,,.,,.14.2?的某一球槽内最后掉入高尔顿板下方与层层小木块碰撞程中小球在下落过通道口落下上方的让一个小球从高尔顿板前面挡有一块玻璃隙作为通道空小木块之间留有适当的木块形小柱互平行但相互错开的圆排相在一块木板上钉上若干图板示意所示的就是一块高尔顿图你见过高尔顿板吗-高尔顿板试验高尔顿板模型与试验高尔顿板模型与试验高尔顿板实验.swf11频率组距以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出“频率分布直方图”。随着重复次数的增加，直方图的形状会越来越像一条“钟形”曲线。总体密度曲线0YXxyO分布密度函数图像

,这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数),简称正态分布,对应的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线.定义抽象概括分布密度函数解析式正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型.正态总体的函数表示式当μ=0，σ=1时标准正态总体的函数表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线（1）当=时,函数值为最大.(3)的图象关于对称.（2）的值域为

（4）当∈时为增函数.当∈时为减函数.012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线μ（－∞，μ]（μ，+∞）正态总体的函数表示式=μ练习、下列函数是正态密度函数的是（）

A.B.C.

D.B

显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).

特别地，当μ=0,σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.f(x)xμaA图(4)BxbO

若X~N(μ,σ2)，则如图(4)所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.正态分布的定义在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；

在测量中，测量结果；

在生物学中，同一群体的某一特征；……；

在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；

总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。

经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。问：什么样的随机变量服从正态分布呢？正态曲线的性质012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有两头低、中间高、左右对称的基本特征012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.

正态曲线的性质（4）曲线与x轴之间的面积为1（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)方差相等、均数不等的正态分布图示

3

1

2σ=0.5μ=

-1μ=0

μ=

1若固定,随值的变化而沿x轴平移,故称为位置参数；均数相等、方差不等的正态分布图示

=0.5=1=2μ=0

若固定,大时,曲线矮而胖；小时,曲线瘦而高,故称为形状参数。σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.（5）当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.正态曲线的性质动画(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；(3)曲线与x轴之间的面积为1；(4)当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.正态曲线的性质：(5)参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.在实际问题中，参数μ,σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有(2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且在x=μ处取得最大值；正态曲线的性质总结~1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(

)(2)正态曲线可以关于y轴对称．(

)(3)在正态分布中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．(

)(4)正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形状由σ确定．(

)×√√√

解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1<μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，总体分布越集中，曲线越“瘦高”，则σ1＝σ2<σ3.故选D.答案：D3．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为(

)A．1B．－1C．0D．不确定解析：由正态曲线性质知EX＝0.故选C.答案：C4．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝________．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称的特点可知c＝μ.答案：μ012-1-2xy-334μ=10.51-aa1-a1-2a5.若X～N(2,32)，则E(X)=______，D(X)=_______.

29326.X～N(μ,σ2)，若E(X)=3，σ(X)=2，则μ=______，σ=______.

7.若X～N(1,σ2)，且P(X<0)=a，则(1)P(X>1)=_______；(2)P(X>0)=______；(3)P(X>2)=______；(4)P(X<2)=______；(5)P(0<X<2)=______；(6)P(0<X<1)=______.0.5-a正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x2,x1)=S(-x1,-x2)

4、特殊区间的概率:m-am+ax=μ若X~N,则对于任何实数a>0,概率

为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小,落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。特别地有

我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。

由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况发生为小概率事件。1.设随机变量X~N(0,1)，则X的密度函数为________________，P(X≤0)=_____，P(|X|≤1)=_______，P(X≤1)=________，P(X>1)=________.0.50.68270.841350.15865O1-1xyμ=0

2.设随机变量X~N(0,22),随机变量Y~N(0,32),画出分布密度曲线草图,并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系,以及P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系.O1-1xyσ=3σ=22-2解：作出分布密度曲线如图示，由图可知巩固提升3.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若P(ξ<2)=P(ξ>6)=0.15,则P(2≤ξ<4)等于

.

答案:0.354.一次考试中,某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,102),则该班数学成绩的及格率可估计为

(成绩达到90分为及格)(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68).

答案:84%5.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(ξ<2)=0.6,则P(0<ξ<1)=

.

解析:因为随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),所以曲线关于直线x=1对称.因为P(ξ<2)=0.6,所以P(0<ξ<1)=0.6-0.5=0.1.答案:0.16.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为

.

答案:10

例2某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ=500g，σ=lg.为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量.当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504g时，他立即要求停止生产，检査设备，他的决定是否有道理？解

检查员的决定是有道理的，理由如下：

当该设备正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为；z=500g,σ=1g,所以根据正态分布的性质可知产品质量在区间(μ-3σ,μ+3σ],即(497,503］之间的概率约为99.7%,而产品的质量超出这个范围的概率只有0.3%,这是一个几乎不可能发生的事件.但是，检查员随机抽取的产品为504g,这说明设备的运行可能不正常，因此检查员的决定是有道理的.例3.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100).(1)求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少?(2)若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?解:依题意,X～N(90,100),即考试成绩在(80,100)间的概率为0.6826.考试成绩在(80,100)间的考生大约有课堂练习1.已知随机变量X服从正态分布N（m，4），且P（X＞2）=0.5，则实数m的值为（）.A.1B.2C.3D.4B2.随机变量ξ服从正态分布N（1,5），P（ξ≥2）=0.3，则P（0＜ξ＜1）=（）.A.0.7B.0.4C.0.2D.0.15C3:若X～N(1,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545,已知X～N(1,32),则P(4<X≤7)等于(

)A.0.4077 B.0.2718C.0.1359 D.0.04534.填一填：(1)已知正态分布密度函数为f(x)=,x∈(-∞,+∞),则该正态分布的均值为

,标准差为

.(2)设两个正态分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有μ1

μ2,σ1

σ2.0<<(3)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为

.

ξ在(2,+∞)内取值的概率为

。0.80.1课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU5.做一做：（1）已知随机变量X～N(2,σ2),若P(X<a)=0.32,则P(a≤x<4-a)