新教材2024版高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

3．3.1抛物线及其标准方程A级——基础过关练1．(2023年沈阳月考)抛物线x2＝16y的准线方程为 ()A．y＝－4 B．y＝－8C．x＝－4 D．x＝－8【答案】A【解析】由已知2p＝16，所以p＝8，所以准线方程为y＝－4.2．(2023年大连月考)点M(5，3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，则抛物线的方程是 ()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝eq\f(1,12)x2或y＝－eq\f(1,36)x2【答案】D【解析】分两类a>0，a<0可得y＝eq\f(1,12)x2，y＝－eq\f(1,36)x2.3．已知抛物线的方程为x＝eq\f(1,36)y2，则该抛物线的准线方程是 ()A．x＝－6 B．x＝－9C．y＝－9 D．y＝－6【答案】B【解析】x＝eq\f(1,36)y2，焦点在x轴上，且eq\f(p,2)＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9.4．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为 ()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,2) C．eq\f(1,4) D．4【答案】C【解析】根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝eq\f(1,2)y，其中p＝eq\f(1,4)，则抛物线的焦点到准线的距离p＝eq\f(1,4).5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为 ()A．2 B．2eq\r(2) C．2eq\r(3) D．4【答案】C【解析】抛物线C的准线方程为x＝－eq\r(2)，焦点F(eq\r(2)，0)，由|PF|＝4eq\r(2)及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3eq\r(2)，从而yP＝±2eq\r(6)，所以S△POF＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3).6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|＝ ()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】如图，∠AFE＝60°，因为点F(2，0)，所以点E(－2，0)，则eq\f(|AE|,|EF|)＝tan60°，即|AE|＝4eq\r(3)，所以点P的坐标为(6，4eq\r(3))，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.7．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则以下结论中正确的是 ()A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1C．|FP|＝4 D．|FR|＝4【答案】AC【解析】如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ.因为PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线的定义知|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，因为四边形FRMQ为平行四边形，所以|FR|＝|QM|＝2.故选AC.8．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4，5)，|PA|＋d的最小值为________．【答案】eq\r(34)－1【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1.由题意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝eq\r((4－1)2＋52)－1＝eq\r(34)－1，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|＋d取得最小值eq\r(34)－1.9．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M的横坐标为3，且|MF|＝2p，则抛物线的方程为________．【答案】y2＝4x【解析】抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，所以|MF|＝3＋eq\f(p,2)＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.10．如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．(1)求抛物线C的方程；(2)若点A，B都在抛物线C上，且eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，求点A的坐标．解：(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－eq\f(p,2).因为准线l与圆x2＋y2＝1相切，所以圆心(0，0)到准线l的距离d＝0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)))＝1，解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x12＝4y1①，,x22＝4y2②，))由题意得F(0，1)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(x2，y2－1)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1).因为eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，所以(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1，2y1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2x1，,y2＝2y1＋1，))代入②得4x12＝8y1＋4，即x12＝2y1＋1.又因为x12＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，解得y1＝eq\f(1,2)，x1＝±eq\r(2)，故点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(1,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(1,2))).B级——能力提升练11．(多选)已知抛物线y2＝10x，则下列对于该抛物线的说法中正确的是 ()A．焦点在y轴上B．准线方程为x＝－eq\f(5,2)C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可以为(2，1)【答案】BD【解析】抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，准线方程为x＝－eq\f(5,2)，A错误，B正确；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋eq\f(p,2)＝1＋eq\f(5,2)＝eq\f(7,2)≠6，C错误；由于抛物线y2＝10x的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，过该焦点的直线方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，D正确．故选BD.12．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为 ()A．eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3) C．±eq\f(4,3) D．－eq\f(16,9)【答案】B【解析】将y＝1代入y2＝4x，可得x＝eq\f(1,4)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率k＝eq\f(1－0,\f(1,4)－1)＝－eq\f(4,3).13．以椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．【答案】y2＝16x【解析】因为椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，所以右顶点为(4，0).设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则eq\f(p,2)＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.14．(2023年武汉月考)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则eq\f(b,a)＝________．【答案】1＋eq\r(2)【解析】结合题意和抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，|AD|＝p＝a，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋b，b))，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋b))＝a2＋2ab，变形得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－eq\f(2b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝1＋eq\r(2)或eq\f(b,a)＝1－eq\r(2)(舍去).所以eq\f(b,a)＝1＋eq\r(2).15．已