江苏省丹阳2022年高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线》+>=［与圆％2+9=2/72。6周有公共点，则［4T）的最大值为（）

283232

A.4B.—C.—D.—

997

nIT

2.“e=-g”是“函数/（x）=sin（3x+0）的图象关于直线x=对称”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.复数z满足z—l=（z+l）i（i为虚数单位），则z的值是（）

A.1+iB.l-iC.iD.-i

4.已知〃>0,b>0,a+b=L若a=tz+—,/3=b+—,则a+〃的最小值是（）

ab

A.3B.4C.5D.6

22

5.已知K、工分别是双曲线C：=-4=l（a>0力>（））的左、右焦点，过死作双曲线c的一条渐近线的垂线，分

a"b~

别交两条渐近线于点A、B,过点3作了轴的垂线，垂足恰为A,则双曲线。的离心率为（）

A.2B.6C.273D.V5

6.半正多面体（semiregMarsRW）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学

的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正

多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）

81620

A.B.4C.

333

7.设耳，工分别是双线=-y2=ig>o）的左、右焦点，。为坐标原点，以大居为直径的圆与该双曲线的两条渐近

a

线分别交于A8两点（A8位于）'轴右侧），且四边形。4外8为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x±y=QB.71r±y=（）C.x±VJy=（）D.3x±y=0

8.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋

味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混

合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）

A.20B.24C.25D.26

9.过圆V+y2=4外一点”（4,-1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）.

A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0C.4x+y+4=0D.4x-y+4=0

10.如图，已知直线/：y=Z（x+l）仅>0）与抛物线C：V=4%相交于A,8两点，且4、8两点在抛物线准线上的

投影分别是M,N,若I=2忸M,则攵的值是（）

272

D.2夜

亍

U.根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（）

A.1B.ec.e-|D.e-2

12.数列｛痴｝是等差数列，at=l,公差dG[L2],且时&(IO+Q16=15,则实数9的最大值为()

753231

A.-B.—C.-------D.----

219192

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数,y=/(x)的图象在点例(3,7(3))处的切线方程是y=；x+2,则/(3)+/'(3)的值等于.

14.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：

不喜欢喜欢

男性青年观众4010

女性青年观众3080

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取，?个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取

了8人，则"的值为.

22

15.已知6,入分别是椭圆c：=+==1(。＞8＞0)的左、右焦点，过左焦点£的直线与椭圆C交于A、B两

ab“

点，且|Af；|=3|明|,|/3卜忸用，则椭圆的离心率为.

16.已知/(X)是定义在R上的奇函数，当》＞()时，f(x)=x2-2x,则不等式/(x)＞x的解集用区间表示为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在三棱锥产一ABC中，平面Q4C_L平面ABC,AB=BC,PASCOE,F,。分别为线

段Q4,PB,AC的中点，点G是线段CO的中点.

B

(1)求证：PA_L平面后3。.

(2)判断R5与平面所。的位置关系，并证明.

22

18.(12分)已知ZXABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,a-ab-2b=0.

(1)若C=。，证明：＞/3sinB=sinC.

（2）若。=——，c=7,求AA6C的面积.

3

/、X2V2

19.（12分）已知点B（0,-2）和椭圆M：玄+'=1.直线/:丁=依+1与椭圆/交于不同的两点p,Q.

（1）当攵=2时，求△PBQ的面积；

2

（2）设直线PB与椭圆M的另一个交点为C,当C为PB中点时，求Z的值.

20.（12分）如图，在四棱锥P-A38中，底面ABC。，底面ABC。是直角梯形，M为侧棱PO上一点,

（I）证明:平面PBCJ_平面PQ；

（H）求二面角A-BM-C的余弦值.

21.（12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”

活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名

学生的竞赛成绩均在［50,100］内，并得到如下的频数分布表：

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数51515123

（1）将竞赛成绩在170,100］内定义为“合格”，竞赛成绩在［50,70）内定义为，，不合格”.请将下面的2x2列联表补充完

整，并判断是否有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？

合格不合格合计

高一新生12

非高一新生6

合计

（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随

机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率.

n(ad-bc)2

参考公式及数据：K-=，其中〃=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K』°)().1(X)0.05()0.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

22.(10分)已知函数/(x)=x+a«+lnx(。为常数)

(I)当a=—5时，求/(x)的单调区间;

(H)若/(x)为增函数，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据/+9=2-产〃€©表示圆和直线x+>=r与圆x2+y2=2/T2«wH)有公共点，得到owg,再利用

二次函数的性质求解.

【详解】

因为4+〉2=2£-，(£€用表示圆,

所以2-—>o,解得0<，<2,

因为直线x+>=f与圆£+>2=27—/2«€/?)有公共点,

所以圆心到直线的距离dWr,

即4L4极-产,

V2

4

解得0</<—,

4

此时0<%<一，

3

04

因为〃f)=M4T)=T2+4f=-(r—2)-+4,在0,-递增,

故选：C

【点睛】

本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2.A

【解析】

717

先求解函数f(x)的图象关于直线彳=-G对称的等价条件，得到。=后7+6肛左eZ,分析即得解.

OO

【详解】

7T

若函数/(X)的图象关于直线x=对称，

8

mIOII1冗1r-f

贝(J3x1——I+^9=k九4--,GZ,

7

解得%》肛攵£Z,

8

7T7T

故“°=-g”是“函数/(x)=sin(3%+(P)的图象关于直线x=-g对称”的充分不必要条件.

88

故选：A

【点睛】

本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

3.C

【解析】

直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.

【详解】

由z-l=(z+l)/.得：z=¥==i

1-z(l+zj(l-zj

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力.

4.C

【解析】

根据题意，将。、〜代入a+尸，利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】

V«>0,Z»0,a+b=l,

C1,1,1、，1u

a+P=aH—=1H-----21H------------T-=5

二abab+J,

当且仅当a=b=-时取“=”号.

2

答案：C

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”

的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是

最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.

5.B

【解析】

bh-

设点3位于第二象限，可求得点5的坐标，再由直线8g与直线>=-X垂直，转化为两直线斜率之积为-1可得出一

aa-

的值，进而可求得双曲线C的离心率.

【详解】

纵坐标为为=幺，即点

设点8位于第二象限，由于轴，则点8的横坐标为与=~C,

aakaJ

h,b2c

由题意可知，直线B居与直线丁=一8垂直，1

a—=a2

aBF「2c-2ab

因此，双曲线的离心率为e=£=F^=JiI^=g.

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出。、b.<二的等量关系，考查计算能力，属于中等题.

6.D

【解析】

根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中

点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.

【详解】

如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为血，它是由

棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，

该几何体的体积为V=2x2x2-8x』xklxlxl=型，

323

故选：D.

本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.

7.B

【解析】

由于四边形。4KB为菱形，且|06卜所以A4。鸟为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.

【详解】

如图，因为四边形。何鸟6为菱形，|。6|=|。川=|。即，所以△"＞鸟为等边三角形，NAO用=60°,两渐近线的斜

率分别为G和-

【点睛】

此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.

8.D

【解析】

利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为+C；+C：,再利用组合数的计算公式可得所求的种数.

【详解】

混合后可以组成的所有不同的滋味种数为+C；++C；=20+5+1=26(种)，

故选：D.

【点睛】

本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.

9.A

【解析】

过圆x2+y2=r外一点(m,ri),

引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为“y-，=o,故选A.

10.C

【解析】

直线y=Mx+l)(Z>0)恒过定点P(-1,0),由此推导出=由此能求出点3的坐标，从而能求出左的值.

【详解】

设抛物线C：V=4x的准线为/:x=—1,

直线y=攵(》+1)化>0)恒过定点P(—l,0),

如图过A、5分别作AM_L/于M,BN工I于N,

由|AMk2忸N|,贝!||E4|=2|/回，

点5为AP的中点、连接。3,则可，

：.\OB\=\BF\,点3的横坐标为;，

.•.点8的坐标为唱，及,把呜，回代入直线尸Z(x+l)(Z>0),

解得k=述,

3

故选：c.

【点睛】

本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属

于中档题.

11.C

【解析】

根据程序图，当x<0时结束对X的计算，可得y值.

【详解】

由题x=3,x=x-2=3-L此时x>0继续运行，x=l-2=-l<0,程序运行结束，得y=故选C.

【点睛】

本题考查程序框图，是基础题.

12.D

【解析】

利用等差数列通项公式推导出入=母'由2］，能求出实数?.取最大值.

【详解】

,数列｛@n｝是等差数列,«1=1>公差dG[l,2],且a4+Xaio+ai6=15,

Al+3d+X(l+9d)+l+15d=15,解得入=於一陶,

l+9d

13-18d15

Vd£[l,2],-----------2-H--是---减---函-数,

l+9dl+9d

1Q_1Q1

时'实数入取最大值为入=工厂一5

故选D.

【点睛】

本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

利用导数的几何意义即可解决.

【详解】

由已知，f(3)=；，/(3)=；x3+2=3,故/(3)+/'(3)=号.

故答案为：—.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，本题属于基础题.

14.32

【解析】

由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.

【详解】

81

由题可知，抽取的比例为F==，被调查的总人数为40+10+3()+80=16()人，

405

则分层抽样的样本容量是gx160=32人.

故答案为：32

【点睛】

本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.

15.亚

5

【解析】

设忸制=3则|A6|=331ABl=忸闾=必,由忸制+忸闾=|A周+|A闾=2a知，5左=2a,|A闾=23作

BC1AF2，垂足为C,则C为AF2的中点，在用AABC和AA6K中分别求出cosZBAF2，进而求出c,k的关系式，即可

求出椭圆的离心率.

【详解】

如图，设忸用=仙则|然|=3%,|AB|=怛周=奴，

由椭圆定义知，忸制+忸玛|=|A4|+|A闾=2。，

因为忸耳|+|明|=5左，所以5Z=2a,|A用=2人，

作BCLAF?,垂足为C,则C为AF2的中点,

在RtMBC中，因为NBCA=90°，

所以3/%。=生=工=K=>

ABAB4k4

在A4片心中，由余弦定理可得,

|A用RA研一恒楼j

cosZFAF=

i221MH整|一4,

即"『+(20、4c2

解得c4

2x3kx2k

呵r-

所以椭圆的离心率为2

e5k~5

T

故答案为:典

5

【点睛】

本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于

中档题、常考题型.

16.(-3,0)U(3,4W)

【解析】

设％<0,贝II—xX),由题意可得/(-x)=—/(x)=(-x)2-2(—x)=/+2x,.•./(£)=—/一2为故当x<0时,

x>0x<0

f(x)=-x2-2x.由不等式/(x)>x,可得*

-'叫—x2-2x>x

求得x>3,或—3VxV0,故答案为(一3,0)。(3,+8).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)FG//平面EBO.见解析

【解析】

(1)要证P4_L平面EBO,只需证明OE1PA,即可求得答案；

(2)连接AE交防于点Q,连接Q。，根据已知条件求证PG〃QO,即可判断FG与平面E6。的位置关系，进

而求得答案.

【详解】

(1)

VAB^BC,。为边AC的中点，

BO1AC,

••・平面Q4C_L平面ABC,平面PAC。平面ABC=AC,80u平面ABC,

50,平面P4C,

B01PA,

•.•在△/%(?内，。，£为所在边的中点，

•••OEHPC,

又.PALPC,OE1PA,

Q4_L平面仍0.

(2)判断可知，FG”平面EB0,

证明如下：

连接AF交于点。，连接Q。.

;E、F、。分别为边外、PB、AC的中点，

.*=2.

0G

又：。是的重心,

.箜=2=也

"QF0G'

FGHQO,

•••FGcz平面EBO,QOu平面EBO,

FG//平面EBO.

【点睛】

本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力

和空间想象能力，属于中档题.

18.(1)见解析(2)毡

2

【解析】

(1)由余弦定理及已知等式得出c,b关系，再由正弦定理可得结论；

(2)由余弦定理和已知条件解得“力，然后由面积公式计算.

【详解】

解：(1)由余弦定理得C?="-2a〃cosC=a2+/一人―2〃+3必，

由a2-ab-2b2=0得到c2=3b2，由正弦定理得sin2C=3sin2B.

因为8,。€(0,%)，所以百sin8=sinC.

(2)由题意及余弦定理可知/+〃+,出=49,①

由一〃一2b2=0得(。+匕)(。一3)=。即。=2人，②

联立①@解得b=a=2币.所以述.

【点睛】

本题考查利用正余弦定理解三角形.考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边.解题时要注

意对条件的分析，确定选用的公式.

19.(1)S/B°=4；(2)后=一1^1或左=2^1

1414

【解析】

(1)联立直线/的方程和椭圆方程，求得交点的横坐标，由此求得三角形PBQ的面积.

（2）法一：根据P,5的坐标求得C的坐标，将P,C的坐标都代入椭圆方程，化简后求得户的坐标，进而求得Z的值.

法二：设出直线心的方程，联立直线心的方程和椭圆的方程,化简后写出根与系数关系，结合当=2%求得P点

的坐标，进而求得攵的值.

【详解】

⑴设2（百，％）,。（工2，%），

若％=g,则直线/的方程为y=；x+l,

I/V2

由＜4]2,得3/+4工一4=0,

V=—X+1

12

2

解得玉=-2,x2=-,

设直线/与）,轴交于点A（O,1）,贝ij|43|=3且

S.PB2=g|明x（,|+k2|）=gx3x[：+2）=4.

（2）法一：设点。（毛，%）

x-五

因为P（冷yj,B（0,-2）,所以/

"2

又点P（N，X）,。（毛,％）都在椭圆上，

-1

42

所以仔

142

-V14V14

玉二下一X'=~~T~

解得《2或2

11

卜=-5

所以人一血或小正.

1414

法二：设。(七,%)

显然直线心有斜率，设直线总的方程为y=^x-2

22

工+匕=1

由,42得（2攵;+11-84x+4=0

y=k{x-2

A=16（2^2-l）＞0

所以《%1+工

2k；+1

4

X/326+1

1

V14V14

玉

22

解得或

3V14

&=一

14114

V14Vu

所以《2或“2

11

X

22

3V14t,3V14

所以左=或女=-------

1414

【点睛】

本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

2。.⑴证明见解析；(II).等.

【解析】

(I)先证明BCLPD,再证明平面P/犯，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；

(11)根据题意以八4,。。,小为工轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，求出平面43M和平面BMC的向量，利用公式

即可求解.

【详解】

(I)证：由已知得+

又PD_L平面A5CO,-.-BCczYffiABCD,BCLPD,

而PDcBD=D故,BC，平面

:BCu平面P8C,，平面P8CJ-平面PBD

(II)由(I)知推理知梯形中A3//CD,AD±AB,ADIDC,

有NADB+ZBr>C=90°,又NBCD+NBDC=9。，故NADB=4BCD

b,、,5，,-ABBDAB2._,

所以AABZ）相似ABDC）故有--=----，即----=—=AB=1

BDDC24

：.AD=4BCr-AB1=722-12=百

所以，以万4,觉，而为X轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-pz,

则0(0,0,0),A(6,0,()),B(A1.0),C(0,4,0),M(0,(),3)

^5=(0,1,0),BC=(->/3,3,()),丽=(一百1,3),设平面ABM的法向量为片=(%,%,4),则

n,■AB=0X=°

<_L____n〈

%-BM-0［一J?%-y+3ZI=0

令斗=3,则.••1=3,0,6)是平面408的一个法向量

设平面BMC的一个法向量为后=（马,%，Z2），

n^BC=Q卜氏+3%=0

n,-BM=0_百々_必+3z?=0

令々=3,则%=G

4用

叼=3,73,是平面8MC的一个法向量

37

»r»2_

胴E

又二面角A-BM-C为钝二面角，其余弦值为一曲.