导数的基本公式与运算法则

用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而使得初等函数的求导问题系统化，简单化。第三节导数的基本公式与运算法则一、和、差、积、商的求导法则定理推论:二、例题分析例1解：

例2．y=e

x

(sinx+cos

x)，求y

.=2e

x

cos

x.

解：y

=(e

x

)

(sinx+cos

x)+e

x

(sinx+cos

x)

=e

x

(sinx+cos

x)

+e

x

(cos

x

-sinx)同理可得例4解同理可得例3解三、反函数的导数定理即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.么例5解同理可得常数和基本初等函数的导数公式注基本初等函数的导数公式和求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握.四、复合函数的求导法则前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经有限次四则运算的结果的导数，等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数。但是像定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)例6解注1.链式法则——“由外向里，逐层求导”2.注意中间变量推广例7.

设求解:练习.

设解:例8.

求解:先化简后求导例9.

求解:关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导注复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱.要深刻理解,熟练应用——注意不要漏层。显函数：形如y

sinx

，y

ln

x的函数。这种由方程确定的函数称为隐函数。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。五、隐函数的导数问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?如,如何求求隐函数的导数的方法：把方程两边分别对x求导数,方程中把隐函数的导数解出.然后从所得的新的

例10.

求由方程ey

xy

e

0所确定的隐函数

y的导数.

解：方程两边分别对x求导得e

y

y

y+xy

0

从而yexyy+-=¢

解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得所求的切线方程为

将x=2，323=y，代入上式得所求切线的斜率

例

11．求椭圆191622=+yx在)323

,2(处的切线方程。

k43-=.

从而

yxy169-=¢.

观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。--------对数求导法适用范围:六、对数求导法有时会遇到这样的情形，虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦.例12解等式两边取对数得一般地两边取对数得

解：先在两边取对数，得上式两边对x求导，得

例13．求函数)4)(3()2)(1(----=xxxxy的导数。

ln

y21=[ln|x-1|+ln|x-2|-ln|x-3|-ln|x-4|]，

练习解等式两边加绝对值后再取对数得说明两边取对数两边对

x求导有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,七、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:

消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例14解解思考与练习2.设其中在因故正确解法:时,下列做法是否正确?