中职数学拓展模块上册第四章立体几何教学设计课件

第四章立体几何知识内容水平等级主题知识点等级性4.立体几何4.1

平面的基本性质B4.2

直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质C4.3

直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角B4.4

直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质B1.了解平面的概念,能描述平面的基本性质(及生活中应用实例).2.了解空间四边形;理解异面直线的定义,能描述平行线传递性公理.3.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系;会描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理.会描述直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理.4.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角;会在正方体内求异面直线所成的角.会求长方体的体对角线长.4.1平面的基本性质1.平面的概念(1)数学中的平面是指平坦、光滑、可以无限延展的图形(它没有厚度,且具有无限延展性).平面的表示:通常用平行四边形表示平面,并用小写的希腊字母α,β,γ,…来表示不同的平面.如图所示,记作平面α,也可以记作平面ABCD,或平面AC,或平面BD.直线与平面都可以看作点的集合,点A,B在直线l上,记作A∈l,B∈l;点A,B在平面α内,记作A∈α,B∈α.【说明】根据具体情况,有时也用其他的平面图形表示平面,如圆、三角形、矩形、多边形等.2.平面的性质性质1:如果直线l上的两个点都在平面α内,那么直线l上的所有点都在平面α内.此时称直线l在平面α内或平面α经过直线l.记作l⊆α.性质2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线.此时称这两个平面相交,并把所有公共点组成的直线l叫做两个平面的交线.平面α与平面β相交,交线为l,记作α∩β=l.性质3:不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面.【说明】这里“确定一个平面”指的是“有且只有一个平面”.根据上述性质,可以得出下面的三个结论:(1)直线与这条直线外的一点可以确定一个平面.(2)两条相交直线可以确定一个平面.(3)两条平行直线可以确定一个平面.(1)在下列条件中,可以确定一个平面的是 (

)

A.空间中任意的两点 B.直线与这条直线外的一点

C.空间中的三点 D.空间中任意的两条直线(2)营业员常用彩带交叉捆扎礼品盒(如图),其基本原理是

.

(3)下列说法中,正确的是 (

)

A.若线段AB在平面α内,则直线AB在平面α内.

B.两平面相交,可以只有一个公共点.

C.平面α外一点A与平面α内一直线a不共面.

D.若三条直线两两相交,则这三条直线共面.4.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质1.直线与直线(1)空间两条直线的位置关系:在同一个平面内的直线,叫做共面直线,平行或相交的两条直线都是共面直线.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.因此,空间两条直线的位置关系有三种:平行、相交、异面.异面直线的通常画法(利用平面做衬托)如图:

(2)平行直线的性质:平行于同一条直线的两条直线平行.我们也常利用这个性质来判断两条直线平行.(1)已知直线a与直线b是异面直线,直线c∥直线a,则直线b与c的位置关系是(

) A.平行 B.相交

C.异面 D.相交或异面(2)空间中垂直于同一直线的两条直线的位置关系是 (

)

A.平行 B.相交

C.异面 D.平行或相交或异面(3)如图,把一张矩形的纸对折两次,然后打开,这些折痕是互相平行的,其原理是

.2.直线与平面(1)直线与平面的位置关系:如果直线l与平面α有无穷多个公共点时,则直线l在平面α内;如果一条直线与一个平面只有一个公共点,那么就称这条直线与这个平面相交;如果一条直线与一个平面没有公共点,那么就称这条直线与这个平面平行.直线l与平面α平行,记作l∥α.直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外.(2)直线与平面平行的判定方法:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.(3)直线与平面平行的性质:如果一条直线与一个平面平行,并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线与交线平行.(1)直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a与b的位置关系是(

) A.平行 B.相交

C.异面 D.平行或相交或异面(2)下列命题正确的是 (

)

A.若直线a在平面α外,则a∥α.

B.直线a在平面α外,直线b在平面α内,若a∥b,则a∥α.

C.直线b在平面α内,若直线a∥平面α,则a∥b.

D.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a∥b.3.平面与平面(1)平面与平面的位置关系:如果两个平面没有公共点,那么称这两个平面互相平行.平面α与平面β平行,记作α∥β.空间两个平面的位置关系有两种:平行与相交.(2)平面与平面平行的判定方法:如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行.(3)平面与平面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行.(1)若直线a∥平面α,直线a∥平面β,则平面α与β的位置关系是(

) A.平行

B.相交 C.平行或相交 D.无法判断(2)下列命题中正确的是

(填写序号).①平行于同一条直线的两个平面平行.②平行于同一个平面的两个平面平行.③如果一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行.④如果一个平面与两个平行的平面相交,那么它们的交线平行.4.3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角1.直线与直线所成的角(1)异面直线所成的角:经过空间任意一点分别作与这两条异面直线平行的直线,这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.如图(1)所示,m'∥m、n'∥n,则m'与n'的夹角θ就是异面直线m与n所成的角.如图(2),为了简便,经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O. (1) (2)(2)两条异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ≤90°.当两条异面直线所成的角θ=90°时,称两条异面直线垂直.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求下列各对直线所成的角的度数.

(1)AA1与BC1;(2)DD1与BC;(3)A1B与AD1;(4)A1D与BC1.2.直线与平面所成的角(1)直线l与平面α垂直如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直,那么就称直线l与平面α垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,垂线l与平面α的交点A叫做垂足(如图).【说明】定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词,与“无数条直线”不是同义词.也即:当一条直线与平面内无数条直线都垂直时,该直线不一定与此平面垂直.(2)斜线、斜线段、斜线在平面的射影、点P到平面α的距离如图,PA⊥平面α,线段PA叫做垂线段,垂足A叫做点P在平面α内的射影.直线PB与平面α相交但不垂直,称直线PB与平面α斜交,直线PB叫做平面α的斜线,斜线和平面的交点B叫做斜足.点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段.过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段,垂线段最短.因此,将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离.(3)直线l与平面α所成的角斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角,叫做直线l与平面α所成的角.(如图,∠PBA就是直线PB与平面α所成的角).直线与平面所成角的取值范围是[0°,90°]【说明】直线与平面垂直时,所成的角是直角;当直线与平面平行或直线在平面内时,所成的角是零角.(1)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长为1,则对角线BD‘的长为

.(2)如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,A'A=A'D'=1,A'B'=2,则对角线AC‘的长为

.

(3)已知斜线段PM在平面α上的射影长是它的一半,则斜线PM与平面α所成的角为

.2.平面与平面所成的角(1)二面角平面内的一条直线把平面分成两部分,每一部分叫做一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.如图(1),以直线l(或CD)为棱,两个半平面分别为α,β的二面角,记作二面角α-l-β(或α-CD-β).(2)二面角的平面角过棱上的一点,分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线,以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角.如图(2)所示,在二面角α-l-β的棱l上任意选取一点O,以点O为垂足,在平面α与平面β内分别作OM⊥l,ON⊥l,则∠MON就是这个二面角的平面角.二面角的平面角的取值范围是[0°,180°]平面角是直角的二面角叫做直二面角.此时称两个平面垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)二面角B-DD1-C的平面角的大小为 (

) A.30° B.45° C.60° D.90°(2)二面角A-DD1-B的平面角的大小为 (

)

A.30° B.45° C.60° D.90°4.4直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质1.直线与直线垂直的判定与性质当空间的两条直线所成的角为90°时,称两条直线互相垂直,直线a与直线b互相垂直,记作:a⊥b.2.直线与平面垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直的判定方法:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.(2)直线和平面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线互相平行.如图,设m⊥α,n⊥α,则m∥n.【说明】与线面垂直几个有关的结论:①如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于平面内任意一条直线.②过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直.③如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.④两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行.3.平面与平面垂直的判定与性质(1)两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么称这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.表示两个互相垂直平面的图形时,一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置,可以把直立的平面画成矩形(图(1)),也可以把直立的平面画成平行四边形(图(2)). (1) (2)(2)平面与平面垂直的判定方法:一个平面经过另一个平面的垂线,则两个平面垂直.如图,如果AB⊥β,AB在α内,那么α⊥β.(3)平面和平面垂直的性质:如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(1)下列说法正确的有

个.

(

)①一直线平行于平面,则该直线平行于平面内的任意一条直线②一直线垂直于平面,则该直线垂直于平面内的任意一条直线③一条直线与一个平面内的两条直线都垂直,则该直线与这个平面垂直④两个平面垂直,其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

A.1

B.2

C.3

D.4(2)下列命题中,正确的个数有

个.

(

)①平行于同一个平面的两条直线平行.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③平行于同一个平面的两个平面平行.④垂直于同一个平面的两个平面平行.

A.1

B.2

C.3

D.4【例1】选择题(1)下列命题中,正确的是 (

)

A.每个平面都有确定的面积.

B.三点确定一个平面.

C.一条直线和一个点确定一个平面.

D.两条平行的直线确定一个平面.(2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线与直线B1C是异面直线的是 (

) A.BC B.A1B1

C.AB D.A1D(3)空间中的两条直线没有公共点,则这两条直线的位置关系是 (

)

A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面(4)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AD与CC1所成的角的度数为 (

) A.30°

B.45°

C.60°

D.90°(5)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC与平面BB1D1D的位置关系是 (

) A.平行 B.线在平面内 C.相交且垂直 D.相交但不垂直(6)下列说法中,错误的一项是 (

)

A.平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.

B.平面外一条直线与平面内一条直线垂直,那么这条直线与这个平面垂直.

C.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的无数条直线平行.

D.若直线l与平面α垂直,则l与平面α内的所有直线都垂直.(7)在空间中,下列说法正确的是 (

)①平行于同一条直线的两直线平行.

②垂直于同一条直线的两直线平行.③平行于同一个平面的两直线平行.

④垂直于同一个平面的两直线平行.

A.①②③④ B.①②③ C.①④ D.②③(8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1B1B与平面AA1D1D的位置关系是 (

) A.平行

B.相交且垂直

C.相交但不垂直 D.不能确定【例2】填空题(1)为了使自行车能够平稳地停放在地面上,需在自行车的后轮安装一个撑起脚,这里所依据的数学原理是

,能确定一个平面.(2)空间两条异面直线所成的角的取值范围是

.(3)如图(1),在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与CD所成角的大小为

.(4)如图(2),在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C=

.(5)直线l与平面α垂直,则直线l与平面α所成的角的大小为

.【例3】如图,已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.判断四边形EFGH是否为平行四边形?【例4】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求直线B1C与底面ABCD所成的角;(2)连接AD1与BC1,求平面D1ABC1与底面ABCD所成的二面角的大小.【例4】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求直线B1C与底面ABCD所成的角;【例4】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中.(2)连接AD1与BC1,求平面D1ABC1与底面ABCD所成的二面角的大小.一、选择题1.下列条件中,可以确定一个平面的条件是 (

)

A.空间中任意两条直线

B.空间中一条直线和直线外一点

C.空间中任意两点

D.空间中任意三点2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线与直线BC1是异面直线的是 (

) A.BC

B.A1B1

C.C1D1

D.AD13.若直线m∥平面α,直线n⊂平面α,则直线m与n的位置关系是(

)

A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面4.已知直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a与b的位置关系是(

)

A.平行 B.相交

C.异面 D.平行或相交或异面5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线B1D1与平面ABCD的位置关系是 (

) A.平行 B.直线在平面内

C.相交且垂直 D.相交但不垂直6.空间中两条直线a和b,若a⊥b,则它们的位置关系为 (

)

A.平行 B.相交

C.相交或异面 D.异面7.直线a和直线b是异面直线,若直线c∥直线a,则直线c和直线b的位置关系是 (

)

A.平行 B.相交

C.异面

D.相交或异面8.下列命题正确的是 (

)

A.不相交的两条直线一定是异面直线.

B.直线a∥b,则直线a与过直线b的任何平面平行.

C.直线a∥平面α,则直线a与平面α内所有直线都平行.

D.直线a∥平面α,则直线a与平面