量子力学课件

绪论Thebirthofquantummechanism基本内容*

1.1

经典物理学的困难

Thedifficultinclassicalphysics

1.2

光的波粒二象性

Thedualityoflightbetweenwaveandparticle1.3微粒的波粒二象性

Thedualityofsmallparticlesbetweenwaveandparticle

小结

Review基本内容学习提要

*学习提要

1光的波粒二象性的实验事实及其解释2原子结构的玻尔理论和索末菲的量子化条件3德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设4德布罗意波的实验验证：戴维孙-革末实验

从戴维孙-革末的电子衍射实验和电子的单缝、双缝衍射实验认识物质粒子（如电子和分子）在具有粒子性一面外，还具有波动性的一面，即粒子具有波粒二象性。

返回学习要求*学习要求1.了解光的波粒二象性的主要实验事实；掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设和索末菲的量子化条件。

2.掌握德布罗意公式和德布罗意波德布罗意关系：

德布罗意波：

引言*

近几十年来，在不同领域相继发现了宏观量子效应（如超导现象，超流现象，乃至一些天体现象），表明宏观世界的物质运动也遵循量子力学规律，人们所熟知的经典力学规律只是量子力学规律在特定条件下的一个近似。

量子力学是将物质的波动性与粒子性统一起来的动力学理论，是20世纪初研究微观世界中粒子的运动规律建立起来的。引言量子力学的学术地位*

量子力学这门学科的性质决定了它在近代物理学与科学技术乃至国民经济发展中的地位。目前，它已广泛地应用到基本粒子、原子核、原子、分子、凝聚态物理直到中子星、黑洞各个层次的研究，并且现代技术―从集成电路、电子计算机到量子计算机，从原子弹、氢弹到核电站，从激光技术、超导技术到固体材料、纳米技术，无不以量子力学为其理论基础。可以毫不夸张地说，没有量子力学就没有现代的科学技术。

量子力学与相对论被称为当今物理学与现代科学技术的两大支柱。

§1.1经典物理学的困难*十九世纪末叶，物理学理论在当时看来己发展到相当完善的阶段，其各个分支已经建立起系统的理论：

在经典物理学的辉煌成就面前，有的科学家认为物理学已大功告成。绝对温标的创始人开尔文在1889年新年贺词中说：“19世纪已将物理大厦全部建成，今后物理学家的任务就是修饰、完美这所大厦了”。经典力学从牛顿三大定律发展为分析力学

电磁学与光学发展成为麦克斯韦理论

热学在建立了以热力学定律为基础的宏观理论的同时，玻尔兹曼和吉布斯建立了称之为统计物理学的微观理论。一.经典物理学的成功*

下面介绍经典物理学遇到的困难，以及如何解决这些困难并导致量子力学的诞生。二.经典物理学遇到的困难

但是这些信念，在进入20世纪以后，受到了冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。

（1）黑体辐射问题（2）光电效应（3）原子光谱的线状结构§1.1经典物理学的困难(续1)1．黑体辐射*黑体:物体对于外来的辐射有反射和吸收作用。如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，这种物体称为黑体。

黑体辐射问题所研究的是辐射（电磁波）与周围物体处于平衡状态时能量按波长（频率）的分布。

一个开有小孔的封闭空腔可看作是黑体。§1.1经典物理学的困难(续2)*黑体辐射实验事实：§1.1经典物理学的困难(续3)

辐射热平衡状态:

处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。实验曲线热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度

T

有关,而与黑体的形状和材料无关。*

结论:

在短波（高频）部分与实验符合得很好，但长波（低频）部分与实验则明显不一致。

1896年,维恩根据经典热力学得出：短波吻合好,长波段不一致实验瑞利-琼斯维恩T=1646k（1）维恩（Wein—德国物理学家）的解释获得1911年诺贝尔物理学奖§1.1经典物理学的困难(续4)*（2）瑞利—金斯（Raileigh-Jeans英国物理学家）的解释

结论:在长波（低频）部分与实验符合，短波部分不符合。

1900年,瑞利和琼斯用能量均分定理和电磁理论(驻波法)得出：T=1646k实验瑞利-琼斯维恩§1.1经典物理学的困难(续5)此外存在“紫外光的灾难”2．光电效应*

光照射到金属上，使金属中的电子逸出的现象，这种现象称为光电效应,逸出的电子称为“光电子”。光电效应的实验规律赫兹：1886—1887勒纳德：1889UGAK实验装置G：测量光电流U：测量AK电压*

I随着UAK增加而增加直至某一饱和电流Is。Is与光照强度成正比。**截至电压Ua<0.UAKIs2Is1Ua§1.1经典物理学的困难(续6)*§1.1经典物理学的困难(续7)试验发现光电效应有两个突出的特点：1.临界频率

只有当光的频率大于某一定值时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的这一频率称为临界频率。2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度而与频率无关。

此外，光电效应具有瞬时性，其响应速度很快10-9

秒。经典认为光能量分布在波面上，吸收能量需要时间。3.原子光谱与原子结构*§1.1经典物理学的困难(续8)

氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。1885年瑞士巴尔末(Balmer)发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式,即著名的巴尔末公式：后来又发现了一系列线系，它们可用下面公式表示：*人们自然会提出如下三个问题：1.原子线状光谱产生的机制是什么？2.怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写?3.光谱线的频率为什么有这样简单的规律？§1.1经典物理学的困难(续9)*这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。除上述黑体辐射、光电效应、原子光谱与原子结构三种情况之外，还有一些其它实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在这场物理学的危机中诞生。§1.1经典物理学的困难(续10)§1.2.光的波粒二象性1.普朗克（1900年）对黑体辐射的解释*Planckassumption:

黑体可看作一组连续振动的带电谐振子，这些谐振子的能量应取分立值，这些分立值都是最小能量

的整数倍，这些分立的能量称为谐振子的能级。

Planck-德国物理学家，可见：黑体与辐射场交换能量只能以为单位进行，亦即黑体吸收或发射电磁辐射能量的方式是不连续的，只能量子地进行，每个“能量子”的能量为*

基于能量子假设，Planck利用统计物理推导出与实验符合得很好的黑体辐射公式——Planck公式：其中（称为Planck常数）§1.2光的波粒二象性(续1)*注：Planck的“能量子”假说与经典物理中振子的能量是连续的相抵触。可见，Planck理论突破了经典物理学在微观领域的束缚，打开了认识光的粒子性的大门。Planck公式讨论维恩公式瑞利-琼斯公式1918年Planck由此获得诺贝尔物理学奖§1.2光的波粒二象性(续2)2.爱因斯坦（1905年）对光电效应的解释*光子的能量

光子的动量

Planck-Einstein公式Einsteinassumption：

在Planck能量子假设的启发下，爱因斯坦提出了“光量子”的概念，他认为，不仅黑体与辐射场的能量交换是量子化的，而且辐射（光）是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子流，这些粒子称为光子（光量子）（

——波矢量）§1.2光的波粒二象性(续3)*光电效应的解释

（光电效应方程）

当or无电子逸出当or有电子逸出§1.2光的波粒二象性(续4)电子的逸出功（

——

临界频率）

在的条件下,当越大，即光强越强，光子密度大，产生电子数越多*

1916年，密立根实验证实了光子论的正确性，并测得

h=6.57

10-34

焦耳•秒。

光的波动性和粒子性是通过普朗克常数联系在一起的。Einstein因发现光电效应定律获得了1923年的诺贝尔物理学奖。§1.2光的波粒二象性(续5)注：利用光子的概念可解释光电效应，可见光电效应体现了光的粒子性。3．康普顿散射(1922—1923)*

1923年，美国物理学家Compten用X射线入射到碳、石墨等原子质量很轻的靶上，进行光散射实验。准直系统入射光

0散射光

探测器石墨散射体

§1.2光的波粒二象性(续6)Compton散射是对光的粒子性的进一步证实。*康普顿散射实验§1.2光的波粒二象性(续7)*散射实验结果

1散射的射线中有与入射波长相同的射线,也有波长的射线.

2散射线中波长的改变量随散射角的增大而增大，即散射后的光其波长随散射角的增加而增大.称为电子的康普顿波长

3同一散射角下相同,与散射物质无关；原子量较小的物质，康普顿散射效应强。§1.2光的波粒二象性(续8)*（2）康普顿的解释：

X射线光子与“静止”的“自由电子”弹性碰撞:碰撞过程中能量与动量守恒（1）经典电磁理论的困难：碰撞前X射线光子的能量（104～105eV）电子的能量反冲电子§1.2光的波粒二象性(续9)*能量守恒：动量守恒：

消除

与

散射波的波长随散射角的增加而增大，与实验结果完全符合。§1.2光的波粒二象性(续10)*

1923年威尔逊云室实验观测到了反冲电子轨迹；验证了康普顿解释康普顿和威尔逊合得1927年诺贝尔物理学奖康普顿散射实验的意义:

康普顿散射进一步证实了光子论(光的量子性），证明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具有波粒二象性。另外证明在光电相互作用的过程中严格遵守能量、动量守恒定律。§1.2光的波粒二象性(续11)*

小结：以上三个问题，都属于经典物理（实际上是经典电磁波理论）所遇到的困难，解决困难的共同点就是电磁波的能量不再看作是连续的，而必须看成是能量量子化的。从这点上来说，上述三个问题都体现了光的粒子性，但不能否定光的波动性，因波动早被光的干涉，衍射等现象证实，因此，概括起来，光具有波动和粒子二重性质，称为光的波粒二象性。Planck-Einstein方程

作为粒子的能量E和动量与波动的频率和波矢

由Planck-Einstein方程联系起来。§1.2光的波粒二象性(续12)*Planck常数：§1.2光的波粒二象性(续13)

另一方面我们也看到，在新的理论中，Planck常数

起着关键作用，当h的作用可以略去时，经典理论是适用的，当h的作用不可忽略时，经典理论不再适用。因此，凡是h起重要作用的现象都称为量子现象。

§1.3.

微粒的波粒二象性一.原子结构的玻尔理论*

前面己经看到，经典物理的另一类困难来自原子结构和原子谱线。由经典的力学和电磁理论得不到稳定结构的原子和离散的原子谱线

1912年，时年27岁的丹麦物理学家玻尔（Bohr）来到卢瑟福（Rutherford）实验室对原子结构的谱线进行研究，为解释氢原子的辐射光谱，1913年提出原子结构的半经典理论，其假设有两点：

获得1922年诺贝尔物理学奖*（1）特定的定态轨道轨道量子化条件:（2）定态跃迁频率

原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级En

跃迁到另一个较低（高）的能级

Em，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：§1.3

微粒的波粒二象性(续1)+

vre1.玻尔假设*

氢原子中的电子绕核作圆周运动角动量

能量

向心力库仑力2.玻尔理论对氢原子光谱的解释里德伯方程：§1.3

微粒的波粒二象性(续2)*里德伯常数与实验完全一致3.量子化条件的推广由理论力学知，若将角动量L

选为广义动量，则θ为广义坐标。考虑积分并利用Bohr提出的量子化条件，有索末菲将Bohr

量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，§1.3

微粒的波粒二象性(续3)*这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（Li，Na，K等）的一些原子光谱也能很好的解释。对玻尔理论的评价

成功地解释了原子的稳定性、大小及氢原子光谱的规律性。定态假设（定态具有稳定性和确定的能量值）依然保留在近代量子论中。为人们认识微观世界和建立量子理论打下了基础。§1.3

微粒的波粒二象性(续4)*玻尔理论无法克服的困难

(1)只能解释氢原子及碱金属原子的光谱，而不能解释含有两个电子或两个电子以上价电子的原子的光谱。(2)只能给出氢原子光谱线的频率，而不能计算谱线的强度及这种跃迁的几率，更不能指出哪些跃迁能观察到以及哪些跃迁观察不到。(3)只能讨论束缚态而不能讨论散射态。

§1.3

微粒的波粒二象性(续5)

玻尔理论是经典与量子的混合物，它保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动。它不能解释稍微复杂的原子问题，并没有成为一个完整的量子理论体系,是半经典量子理论。正是这些困难，迎来了物理学的大革命。二.德布罗意假设——微粒的波粒二象性*

1924年，时为研究生的青年物理学家德布罗意在Einstein光量子理论的启发下，注意到经典理论在处理电子，原子等实物粒子方面所遇到的困难，是否会是经典理论走了另一个极端，即仅注意到粒子性一方面，而忽视了其波动性一方面。德布罗意假设（de-Broglieassumption）§1.3

微粒的波粒二象性(续6)*于当年向巴黎大学理学院提交的博士论文中提出：在光学上，比起波动的研究来，过于忽略了粒子的一面；在物质理论上，是否发生了相反的错误，是不是我们把粒子的图象想得太多，而过于忽略了波的图象。指出一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子性和波动性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。

德布罗意关系§1.3

微粒的波粒二象性(续7)自由粒子具有

质量

m

速度

V能量E

动量波长

频率

*称为德布罗意波讨论：能量为E的自由粒子的德布罗意波的波长

例如:自由粒子的能量和动量为常量，与它相联系的波是和都不变的平面单色波：

§1.3

微粒的波粒二象性(续8)微观粒子的状态用波函数描述*

Ex.1

求经电势差为V伏特的电场加速后的电子的波长。库仑千克若V=150伏，

纳米

若V=100000伏，纳米

（1纳米=10-9m）

能量§1.3

微粒的波粒二象性(续9)*

电子波长比可见光的波长（λ〜0-7m）小5个数量级，比原子的半径（0.1-0.2纳米）还小得多。波长太小,在宏观上测不到！Ex.2求飞行的子弹，速度V=5.0102m/s

对应的德布罗意波长§1.3

微粒的波粒二象性(续10)三.理论在现代科技上的应用举例*

1931德国柏林大学鲁斯卡（E·Ruska）博士发明了世界上第一台透射式电子显微镜，一开始只能放大几百倍。到1933年很快提高到一万倍以上，分辨率达10-5mm（人眼的分辨率0.2mm，光学分辨率为10-4mm）。目前，电子显微镜放大倍数已达到百万倍以上，分辨率小于0.1纳米，通过电子显微镜，人们可看到病毒和细菌内部以及原子结构内部，使化学、生物工程，遗传工程和材料工程等得以深入发展。§1.3

微粒的波粒二象性(续11)四.德布罗意假设的实验验证*

deBroglie波1924年提出后，1927-1928年由戴维逊(Davisson)和革末(Germer)以及汤姆逊(G.P.Thomson)的电子衍射实验所证实。θ法拉第园筒入射电子注镍单晶戴维逊-革末实验

d汤姆逊实验§1.3

微粒的波粒二象性(续12)*

散射电子束的强度随散射角

而改变，当

取某些确定值时，强度有最大值。与X射线的衍射现象相同，充分说明电子有波动性。根据衍射理论，衍射最大值实验结果

由此算出的电子的德布罗意波长与德布罗意关系结果一致§1.3

微粒的波粒二象性(续13)*电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X射线一样产生衍射现象。戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金.（汤姆逊1927）§1.3

微粒的波粒二象性(续14)*§1.3

微粒的波粒二象性(续15)电子狭缝衍射图第一章小结*历史回顾经典物理中的波和粒子，光的波粒二象性

经典物理：证实了光的波动性早期量子论：证实光的波粒二象性波动性

微粒性

早期量子论：普朗克的能量子假设爱因斯坦的光子说、康普顿效应玻尔的氢原子模型、量子态*第一章小结(续)德布罗意关系德布罗意波思考题*1．Planck为何？又如何提出“能量子”假设的？一个“能量子”的能量是多少？

2．Einstein为何？又如何提出“光量子”假设的？写出一个光子的能量与动量，即给出Planck-Einstein关系。3．德布罗意为何？又如何提出微观粒子波动性的？写出德布罗意自由粒子的平面波，德布罗意关系式。4．粒子的波动性的实验验证就你所知道的有哪些？*5.对于自由粒子,,若用下式计算

所得结果与德布罗意假设矛盾，试说明错误所在。作业*周世勋《量子力学教程》：()1.2、1.4、1.5

*TheEndofChapter1BackH原子

氢原子是由电子和质子通过静电作用形成的束缚态peH两体问题运动分解总运动=质心运动X相对运动xX质心坐标与相对坐标分离变量质心运动和总能量质心平动相对运动氢原子相对运动求解径向方程无量纲化渐近行为分析后幂级数解符合波函数标准条件的束缚态解=拉盖尔多项式能级波函数低态径向波函数讨论分立能级无穷多束缚态,E=0是聚点基态能各种光谱系µ=约化质量电子偶素能谱，各种偶素里德堡原子能级简并度D(En）=n2

动力学简并代数解法电子云分布径向分布角向分布原子磁矩电流圈产生磁矩dSdI总磁矩旋磁比（轨道角动量特征）

变分法

不好分割整体近似总能做变分原理薛氏方程的变分表达选择定理里兹变分选择含参数的试探函数计算期望变分求极值解出参数Ci’代回得近似值氦原子基态能量e1e2He氦原子基态能量不计排斥项时计及排斥项，考虑影响等效电荷,变化z（作为参数！）对z变分求极值代回得近似能量比较

波函数的统计解释

一波函数的统计解释

对物质波的理解，由于受经典概念的影响，曾存在着激烈的争论。这些争论主要有：

1.电子波包｛扩散

部分电子

2.大量电子组成的波｝（误解）

3.M..Born的几率波有关实验：子弹水波光波电子｝双缝衍射子弹：P=P1+P2波：I≠I1+I2电子：｛1。与宏观粒子运动不同。2。电子位置不确定。3。几率正比于强度，即波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。结论：数学表达：归一化：说明：(1)即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个位相因子不能确定。(2)有些波函数不能(有限地)归一。例如平面波。此时代表“相对几率密度”。二.自由粒子的波函数一般地，我们用复数形式则自由粒子的平面波

粒子具有波动性，它的运动可用一个波函数来描述。自由粒子，能量，动量是常数，运动方向不变，与之相联系的波频率，波长，传播方向固定，是一个平面波：遮住缝1遮住缝2双缝都打开遮住缝1遮住缝2双缝都打开2.2测不准原理

一.宏观粒子运动状态确定，各种力学量同时具有确定值。但微观粒子的运动从根本上讲不具有这种特点。共轭量二.量子力学中的测量过程海森伯1927年1.海森伯观察实验2.测量过程

被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响不可控制和预测。

三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒子具有波动性的必然结果。

并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时具有确定的值§2.3态迭加原理

测不准原理和态迭加原理是量子力学的两个基本原理，反映了微观粒子运动的根本特性，是和量子力学对微观粒子描述的整个数学框架相一致的。

首先我们就应该指出，本节所讲的内容是比较抽象和难于理解和接受的。因为它反映的微观粒子的运动特点是和你们头脑中经典物理图象和思考方式格格不入的。也正因如此，它反映了微观粒子的运动如何与经典物理的图象形成尖锐的矛盾，并反映出它运动的本质特性。一.态及态函数

给出尽管粒子的位置不确定（我们不能要求它确定，这是微观粒子的本质），但它的几率分布是完全确定的，我们在以后还将证明，此时粒子的能量，动量等各种可观测量的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此，我们把由描述的粒子的状态称为量子态或简称态（各力学量的值不确定，但它的可能值及其分布几率是确定的），而把称为态函数。

经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表实际物体的运动等），并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加性其实质是什么呢？

经典物理中，波函数的最本质的性质是迭加性。对微观粒子的波动性，从电子衍射实验知，其实质也是波的迭加性。二.态迭加原理

|ψ|2=|c1ψ1+c2ψ2|2

=(c1*ψ1*+c2*ψ2*)(c1ψ1+c2ψ2)=|c1ψ1|2+|c2ψ2|2+c1*c2ψ1*ψ2+c1c2*ψ1ψ2*

当然，几率的相干迭加是电子衍射实验所揭示的直接结果。但是，既然微观粒子的波函数是态函数，在这里迭加性就具有更深刻的意义。设ψ1，ψ2

是体系的两个状态，则迭加性表明：

ψ=c1ψ1+c2ψ2

也是体系的可能状态。此时粒子出现的几率是：

量子力学的态迭加原理，导致了粒子各种力学量观测值的不确定性，是由微观粒子的波粒二性所决定的。

态迭加原理是由波的迭加性和波函数完全描述一个微观体系的状态这两个概念的概括。

但是，对于体系的其他力学量，如力学量，如果在ψ下的值是a1,在ψ2

下的值是a2

，则在ψ=c1ψ1+c2ψ2的态，它的值可能是a1,也可能是a2

，而测得a1，a2的相对几率是完全确定的。

态迭加原理的表述：

若ψ1，ψ2是体系的两个可能状态，那么它们的线性迭加ψ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的一个可能状态。三.动量的几率分布

在电子衍射实验中，电子在晶体表面反射后，以各种不同的动量运动。动量确定的粒子的状态为：

可以证明，任何波函数都可以看作是不同动量的平面波的迭加：

而在晶体表面反射后的晶电子状态为各种值的状态的迭加。为粒子的动量的相对几率其中：而：因此，和是同一状态的两种不同的描述方法。同样，给定后，完全确定。由此看出：给定后，完全确定；和互为付氏变换。§2.4薛定谔方程

本节我们讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律，即薛定谔方程。

应该明确，薛定谔方程是量子力学的最基本方程，也是量子力学的一个基本假设。我们并不能从一个更基本的假设来推导或证明它。其正确性只能靠实践来检验。我们只是用一个比较简单的办法来引述它。1.薛定谔方程应满足下列条件：a)含的偏微分方程

b)是线性方程c)只含基本常数，不含状态参数。2.自由粒子满足的方程对自由粒子：∴3.力场中运动粒子的波动方程能量关系：4.三个算符2.5粒子流密度和粒子数守恒定律1.几率流密度矢量利用薛定谔方程：令则连续性方程几率流密度矢量质量密度质量流密度电流密度二.波函数的标准化条件在变化范围内原式可积1.有界2.波函数及其一阶偏导单值3.及连续

§2.6定态薛定谔方程一.稳定势场中的薛定谔方程带入薛定谔方程并分离变量

如果不含时间，则薛定谔方程可用分离变量法求解。设其特解为即而解出令称为哈密顿算符。称为定态薛定谔方程。

求解定态薛定谔方程，我们得到体系（原方程）的一系列特解

从数学上讲，对任何值，定态薛定谔方程都有解，但并非对一切E值的解都满足物理上的要求，即波函数的标准化条件。这样只有一些特定的En

对应的解ψn

才满足物理上的要求。我们把这些特定的En

称为体系的质量本征值。而对应的波函数ψn

称为能量本征函数。定态薛定谔方程也就称为的本征方程。二.定态1.它描写的粒子的质量En是确定的。2.位置的几率分布不随时间变化。3.几率密度矢量亦与时间无关。而原方程的一般解可由特解迭加而成

用波函数描写的状态称为定态。因为以后，我们还要证明，此时4.任何力学量的原场值不随时间变化。

5.任何力学量取各种可能观测值的几率分布不随时间变化。习题：52页1.2

第二章小结一.微观体系的状态由一个波函数完全描述。

当给定体系的波函数，则体系的各种力学量的可能观测值及可测得的几率便完全确定。描述的特点波恩的几率解释二.测不准原理1.测不准原理

2.量子力学中的测量过程

“仪器”和被测量体系见得相互作用过程。测量过程对体系的运动状态存在不可控制和不可预测的干扰。

3.微观体系的各种力学量不可能同时具有确定值，是微观粒子运动的本质属性。它并不是测量方法或实验技术的缺陷所造成的；是微观粒子具有波动性的必然结果。a.波动性的实质即态迭加性。b.波函数型即三.态迭加原理1.微观粒子波动性的实质是态的迭加

衍射花样的形成并不是由不同电子之间的干涉形成的，而是由电子的不同的运动状态之间的迭加而形成的，是电子与自身的干涉。2.态迭加原理=波的迭加+波状态

迭加态中体系部分地处于某一个态，任何一个态可分解为不同态的迭加。本征态及把给定态分解为本征态的迭加。态迭加原理与测不准原理。动量的几率分布四.薛定谔方程2.当时1.由定态薛定谔方程确定3.波函数的标准化条件4.本征值，本征函数，本征方程5.波函数与量子化6.定态性质第二章完

波函数

和Schrodinger方程§1波函数的统计解释§2态叠加原理§3力学量的平均值和算符的引进§4Schrodinger方程§5粒子流密度和粒子数守恒定律§6定态Schrodinger方程§1波函数的统计解释（一）波函数（二）波函数的解释（三）波函数的性质3个问题？

描写自由粒子的平面波如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。称为de

Broglie波。此式称为自由粒子的波函数。(1)

是怎样描述粒子的状态呢？(2)

如何体现波粒二象性的？(3)

描写的是什么样的波呢？（一）波函数返回§1

电子源感光屏（1）两种错误的看法1.波由粒子组成如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。

电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。PPOQQO

事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。2.粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å

。

电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;粒子意味着2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;电子源感光屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验2.

入射电子流强度大，很快显示衍射图样.结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。r点附近衍射花样的强度

正比于该点附近感光点的数目，

正比于该点附近出现的电子数目，

正比于电子出现在

r

点附近的几 率。在电子衍射实验中，照相底片上

据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。 这就是首先由Born

提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的 基本原理。

假设衍射波波幅用Ψ(r)

描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用|Ψ(r)|2

描述，但意义与经典波不同。 |Ψ(r)|2

的意义是代表电子出现在r

点附近几率的大小， 确切的说， |Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在

r点处，体积元ΔxΔy Δz中 找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值 的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，（三）波函数的性质

在t时刻，r点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t) 描写的粒子的几率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，其中，C是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1）几率和几率密度在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2

称为几率密度。在体积V内，t时刻找到粒子的几率为：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ（2） 平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：

C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,从而得常数

C之值为：

C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ

∞,

则C

0,这是没有意义的。注意：自由粒子波函数不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。（3）归一化波函数

这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的2倍），则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这里的C是常数。 因为在t时刻，空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是：由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即

Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一状态可见，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。归一化常数若Ψ(r,t)没有归一化，∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常数），则有∫∞|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1也就是说，(A)-1/2Ψ(r,t)是归一化的波函数，与Ψ(r,t)描写同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若Ψ(r,t)是归一化波函数，那末，exp{iα}Ψ(r,t)

也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率波。（4）平面波归一化IDirac

—函数

定义：或等价的表示为：对在x=x0

邻域连续的任何函数f（x）有：

—函数亦可写成Fourier积分形式：令k=px/

,dk=dpx/

,则

性质：0x0x（4）平面波归一化IDirac

—函数

定义：或等价的表示为：对在x=x0

邻域连续的任何函数f（x）有：

—函数亦可写成Fourier积分形式：令k=px/

,dk=dpx/

,则

性质：0x0xII平面波归一化写成分量形式t=0时的平面波考虑一维积分若取A122

=1，则A1=[2

]-1/2,于是平面波可归一化为函数三维情况：其中注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。作业补充题§2态叠加原理（一） 态叠加原理（二） 动量空间（表象）的波函数（一） 态叠加原理微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。考虑电子双缝衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2电子源感光屏电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度相干项正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。一个电子有Ψ1和Ψ2

两种可能的状态，Ψ是这两种状态的叠加。

其中C1

和C2是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。态叠加原理一般表述： 若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...为复常数)。 也是体系的一个可能状态。处于Ψ态的体系，部分的处于Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分的处于Ψn，...一般情况下，如果Ψ1和Ψ2

是体系的可能状态，那末它们的线性叠加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是该体系的一个可能状态.例：电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量p

运动。具有确定动量的运动状态用de

Broglie平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示成

p取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。

dΨΨp（二） 动量空间（表象）的波函数Ψ(r,t)是以坐标

r

为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；C(p,t)

是以动量

p

为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；二者描写同一量子状态。波函数Ψ(r,t)可用各种不同动量的平面波表示，下面我们给出简单证明。展开系数令则Ψ可按Фp展开若Ψ(r,t)已归一化，则C(p,t)也是归一化的§3力学量的平均值和算符的引进（一）力学量平均值 （1）坐标平均值 （2）动量平均值（二）力学量算符 （1）动量算符 （2）动能算符 （3）角动量算符 （4）Hamilton算符（一） 力学量平均值在统计物理中知道，当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。（1）坐标平均值为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变化）设ψ(x)

是归一化波函数，|ψ(x)|2

是粒子出现在x点的几率密度，则对三维情况，设ψ(r)是归一化波函数，|ψ(r)|2是粒子出现在r点的几率密度，则x的平均值为（2）动量平均值一维情况：令ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为（二）力学量算符简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。（1）动量算符

既然ψ(x)

是归一化波函数，相应动量表象波函数为c(px)

一一对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用ψ(x)表示出来。但是ψ(x)不含px变量，为了能由ψ(x)来确定动量平均值，动量

px必须改造成只含自变量x

的形式，这种形式称为动量

px的算符形式，记为一维情况：比较上面二式得两点结论：体系状态用坐标表象中的波函数ψ(r)描写时，坐标x的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量px

在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：三维情况：

由归一化波函数ψ(r)求力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在ψ*(r)和ψ(r)之间,对全空间积分，即F是任一力学量算符（2）动能算符（3）角动量算符（4）Hamilton算符作业补充题§4Schrodinger方程（一） 引（二） 引进方程的基本考虑（三） 自由粒子满足的方程（四） 势场V(r)中运动的粒子（五） 多粒子体系的Schrodinger方程

这些问题在1926年Schrodinger提出了波动方程之后得到了圆满解决。

微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)波函数如何随时间演化。（一） 引（二） 引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t

粒子的状态r

和p

。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1）经典情况（2）量子情况3．第三方面，方程不能包含状态参量，如p,E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1．因为，t=t0

时刻，已知的初态是ψ(r,t0)

且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ对时间的一阶导数。2．另一方面，ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1(r,t)

和ψ2(r,t)是方程的解，那末。ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含ψ,ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。（三） 自由粒子满足的方程

这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E。将Ψ对坐标二次微商，得：描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。将上式对t微商，得：(1)–(2)式满足上述构造方程的三个条件讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式E=p2/2μ

写成如下方程形式：做算符替换（4）即得自由粒子满足的方程（3）。(1)–(2)式返回（四）势场V(r)中运动的粒子该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。若粒子处于势场V(r)

中运动，则能动量关系变为：将其作用于波函数得：做（4）式的算符替换得：（五）多粒子体系的Schrodinger方程

设体系由N个粒子组成，质量分别为μi(i=1,2,...,N)体系波函数记为ψ(r1,r2,...,rN;t)第i个粒子所受到的外场Ui(ri)粒子间的相互作用V(r1,r2,...,rN)则多粒子体系的Schrodinger方程可表示为：多粒子体系Hamilton量对有Z个电子的原子，电子间相互作用为Coulomb排斥作用：而原子核对第i个电子的Coulomb吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。例如：§5粒子流密度和粒子数守恒定律（一）定域几率守恒（二）再论波函数的性质（一）定域几率守恒

考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在t时刻r点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：证：考虑Schrodinger方程及其共轭式：取共轭在空间闭区域τ中将上式积分，则有：闭区域τ上找到粒子的总几率在单位时间内的增量J是几率流密度，是一矢量。所以(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。令Eq.（7）τ趋于∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是Eq.（7）变为：其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同使用Gauss定理单位时间内通过τ的封闭表面S流入（面积分前面的负号）τ内的几率S

讨论：表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。（1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（2）以μ乘连续性方程等号两边，得到：量子力学的质量守恒定律同理可得量子力学的电荷守恒定律：表明电荷总量不随时间改变质量密度和质量流密度矢量电荷密度和电流密度矢量（二）再论波函数的性质1.由Born的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即

dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτ2.已知ψ(r,t)，则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。（1）波函数完全描述粒子的状态（2）波函数标准条件1.根据Born统计解释ω(r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t时刻出现在r点的几率，这是一个确定的数，所以要求ψ(r,t)应是r,t的单值函数且有限。式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意选取的，所以S是任意闭合面。要是积分有意义，ψ必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。2.根据粒子数守恒定律:（3）量子力学基本假定I、II量子力学基本假定I

波函数完全描述粒子的状态量子力学基本假定II

波函数随时间的演化遵从Schrodinger方程§6定态Schrodinger方程（一）定态Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定态问题的步骤（四）定态的性质（一）定态Schrodinger方程现在让我们讨论有外场情况下的定态Schrodinger方程：令：于是：V(r)与t无关时，可以分离变量代入等式两边是相互无关的物理量，故应等于与

t,r无关的常数

该方程称为定态Schrodinger方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。

此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。由deBroglie关系可知： E就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。空间波函数ψ(r)可由方程和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton算符二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r,t)等于EΨ(r,t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。是相当的。这两个算符都称为能量算符。也可看出，作用于任一波函数Ψ上的二算符再由Schrodinger方程：（2）能量本征值方程

（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数 学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程+边界条件构成本征值问题；将改写成

（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方 法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。 因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量E称为算符

H

的本征值；Ψ称为算符

H的本征函数。 （3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状 态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。（三）求解定态问题的步骤

讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ(r,t)

和在这些态中的能量

E。其具体步骤如下：（1）列出定态 Schrodinger方程（2）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：（3）写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数（4）通过归一化确定归一化系数Cn（四）定态的性质（2）几率密度与时间无关（1）粒子在空间几率密度与时间无关

综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任何一个时，Ψ就是定态波函数：1.Ψ描述的状态其能量有确定的值；2.Ψ满足定态Schrodinger方程；3.|Ψ|2

与t无关。（3）任何不显含t得力学量平均值与t无关

波函数与薛定谔方程*ThewavefunctionandSchrödingerEquation§2.1波函数的统计解释1．微观粒子状态的描述*

微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复函数来描述，函数—

称为波函数。★

描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波*★如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。三个问题？(1)

是怎样描述粒子的状态呢？(2)

如何体现波粒二象性的？(3)

描写的是什么样的波呢？deBroglie波§2.1波函数的统计解释（续1）2．波函数的统计解释*I0

1XP电子单缝衍射实验电子源感光屏PPQQO电子小孔衍射实验§2.1波函数的统计解释（续2）*▲两种错误的看法（1）波由粒子组成

如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。

电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。§2.1波函数的统计解释（续3）*

波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。（2）粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。§2.1波函数的统计解释（续4）*实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小≈1。

电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。经典概念中粒子意味着

§2.1波函数的统计解释（续5）*1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中波意味着

（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;我们再看一下电子的衍射实验▲玻恩的解释：OPP电子源感光屏QQ衍射实验事实：§2.1波函数的统计解释（续6）*1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：

波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。（2）入射电子流强度大，很快显示衍射图样.

可见，波函数模的平方与粒子时刻在处附近出现的概率成正比。§2.1波函数的统计解释（续7）

波动观点粒子观点明纹处:电子波强

(x,y,z,t)

2大

电子出现的概率大暗纹处:电子波强

(x,y,z,t)

2小电子出现的概率小*设粒子状态由波函数描述，波的强度是则微观粒子在t时刻出现在处体积元dτ内的几率这表明描写粒子的波是几率波(概率波),反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数有时也称为几率幅。按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中某一点处出现的概率与粒子的波函数在该点模的平方成比例§2.1波函数的统计解释（续8）*

（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的