力学全套课件

静力学公理和物体的受力分析§1-1静力学公理公理1：力的平行四边形法则

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图所示。合力(合力的大小与方向)

(矢量的和)亦可用力三角形求得合力矢思考：多个共点力合成的法则和结果。

公理2：二力平衡原理最简单力系的平衡条件

作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力等值，共线，反向。满足二力平衡的刚体称为二力体。

公理3：加减平衡力系原理推论1：刚体上力的可传性

作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、方向和作用线。

在作用于刚体上的任一力系中，加上或减去一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。推论2：三力平衡汇交定理

作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。公理4：作用和反作用定律

作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、反向、共线，作用在相互作用的两个物体上。

在画物体受力图时要注意此公理的应用。思考：只适用于刚体的公理有哪些？二力平衡原理和加减平衡力系原理约束：对非自由体的位移起限制作用的物体。约束力：约束对非自由体的作用力。§1-2约束和约束力自由体：物体不受任何限制可以自由运动，它们在空间的位移不受任何限制，这样的物体称为自由体。

非自由体：有些物体在空间的位移却要受到一定的限制，使得它沿着某些方向的运动成为不可能，这样的物体称为非自由体。主动力：使物体产生运动或使物体具有运动趋势的力称为主动力。工程中把主动力称为荷载。约束力大小——待定方向——与该约束所能阻碍的位移方向相反作用点——接触处荷载集中荷载分布荷载均布荷载非均布荷载线荷载集度q：作用在单位长度上荷载的大小。(N/m,kN/m)1、柔索约束柔索对物体的约束力沿着柔索中心线且为拉力，用表示。工程上常见的约束胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力。2、光滑接触面约束（光滑接触约束）

光滑接触面对非自由体的约束力，作用在接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为法向约束力，用表示。

3、光滑圆柱形铰链约束约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成，如剪刀。

物体受到的约束力通过销钉轴心，在垂直于销钉轴线的平面内，方向待定：（1）由物体上受力情况确定；（2）用两个正交力代替。4、固定铰支座约束特点：由构件与地面或机架固定而成。

约束力方向的判定与圆柱铰链相同。A(a)(b)(c)AFAyFAxAAA5、可动铰支座

约束特点：

在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成。构件受到垂直于光滑面的约束力，指向待定。（a）（b）（c）AFAAAAA6、链杆约束（b）（a）图1−11BAFAA两端用铰链与其它物体相连的无重刚杆，构成链杆约束。

链杆对被约束物体的约束力通过铰接点，沿链杆中心线。

7、向心轴承（径向轴承）约束特点：轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔为约束。(c)图1−12(a)(b)可用二个通过轴心的正交分力表示。

轴受到的约束力通过轴线中心，在垂直于轴线的平面内，方向待定。通常将它分解为两个互相垂直分力。

当外界荷载不同时，接触点会变，则约束力的大小与方向均有改变。8、球铰链

约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心任意转动，但构件与球心不能有任何移动。

球铰链对物体的约束力通过球窝中心，方向不定。通常将它分解为三个互相垂直的分力。（1）柔索约束——张力（6）球铰链——空间三正交分力（4）滚动支座——

⊥光滑面（3）光滑铰链、固定铰支座、径向轴承

——方向待定（2）光滑面约束——法向约束力总结（5）链杆约束——约束力沿链杆方向§1-3物体的受力分析和受力图在受力图上应画出主动力和约束力画受力图步骤：3、在去掉约束处按约束性质画出约束力1、取所要研究的物体为分离体，画出其分离体2、画出所有主动力例1-1

解：取CD杆，其为二力杆，其受力图如图(b)水平均质梁AB重为，电动机重为，不计杆CD的自重，画出杆CD和梁AB(包括电动机)的受力图。取AB梁，其受力图如图(c)若这样画，梁AB的受力图又如何改动?CD杆的受力图能否画为图（d）所示？例1-2

不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、右拱AC,CB的受力图与系统整体受力图。解：右拱CB为二力构件，其受力图如图（b）所示系统整体受力图如图（d）所示取左拱AC，其受力图如图（c）所示考虑到左拱AC在三个力作用下平衡，也可按三力平衡汇交定理画出左拱AC的受力图，如图（e）所示此时整体受力图如图（f）所示讨论：若左、右两拱都考虑自重，如何画出各受力图？如图（g）（h）（i）例1-3不计自重的梯子放在光滑水平地面上，画出梯子、梯子左右两部分与整个系统受力图。解：绳子受力图如图（b）所示梯子左边部分受力图如图（c）所示梯子右边部分受力图如图（d）所示1.平面汇交力系合成的几何法§2.1平面汇交力系合成与平衡条件合成方法：力多边形规则合成结果：过汇交点的一个合力。F1合力与分力矢顺序无关。2.平面汇交力系平衡的几何条件平衡的几何条件：该力系的力多边形自行封闭。

平衡条件：平面汇交力系平衡合力为零（1）.力在坐标轴上的投影3.平面汇交力系合成的解析法OFyBAFxαβyFxb′baa′Fy(b)F（2）力的解析式：力的大小与方向余弦：由合矢量投影定理，得合力投影定理。合力的大小：合力的方向余弦：

作用点为力的汇交点。（3）平面汇交力系合成的解析法合力的投影：设θ为合力与x轴所夹的锐角求：此力系的合力。解：用解析法例2-1已知：图示平面共点力系；4.平面汇交力系的平衡方程平衡条件：平衡方程：已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN。求：系统平衡时，杆AB,BC受力。例2-2解：AB、BC杆为二力杆，取滑轮B（或点B），画受力图。建图示坐标系由列由列例2-3求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力。已知：F=3kN,l=1500mm,h=200mm，忽略自重；解：AB、BC杆为二力杆。（1）取销钉B分析，受力如图。得由列由列得（2）选压块C分析受力如图得得由列由列压块C对工件的压力大小为11.25kN，压块C对地面的压力大小为1.5kN，AB杆受压力大小为11.35kN。§2.2平面力系力对点之矩的概念和计算1、平面力系中力对点之矩的概念O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离h称为力臂1.大小：力F与力臂h的乘积2.方向：转动方向两个要素：力对点之矩是一个代数量。它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积；常用单位为N·m或kN·m它的正负号规定：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。2、合力矩定理（1）该结论适用于任何合力存在的力系合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。即（2）当力矩的力臂不易求出时，常将力分解为两个容易确定力臂的分力（通常分解为正交力），然后应用合力矩定理计算力矩。例2-4求:解（1）直接按定义（2）按合力矩定理已知:F=1400N,

练习：习题2-8§2.3平面力偶系的合成与平衡条件1.力偶的概念

（1）力偶：作用在同一刚体上等值、反向、不共线的一对平行力组成的力系称为力偶，记作两个要素：a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩：力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂（2）力偶矩2.力偶与力偶矩的性质(1)力偶不能用一个力来代替，既不能合成为一个合力；也不能与一个力成平衡；力偶中的两个力在任一轴上投影的代数和恒为零。

(2)力偶对于其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，而与所选矩心的位置无关。力偶矩的符号

M（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，而不改变对刚体的作用效果。=====已知：任选一段距离d3.平面力偶系的合成=====结果：平面力偶系可合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各力偶矩的代数和。

平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系的合力偶矩等于零。即4.平面力偶系的平衡条件练习：习题2-11力的平移定理：§2.4力的平移定理

可以把作用在刚体上某点的力平行移到该刚体上的任一新点，但必须在该力与新作用点所决定的平面内附加一个力偶，此力偶矩等于原来的力对新作用点的矩。平面任意力系实例:1、平面任意力系向作用面内一点简化§3.1平面任意力系的简化主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关2、主矢与主矩如何求出主矢、主矩?作用于简化中心上主矢的大小：主矢的作用点：主矢的方向：主矢的投影：主矩：3.平面固定端约束===≠§3.2平面任意力系简化结果的分析=1.平面任意力系简化结果的分析其中若为O1点，如何?主矢主矩最后结果说明合力合力合力作用线过简化中心合力作用线距简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关2.合力矩定理例3-1已知：求：力系的合力；合力与基线OA的交点到点O的距离x。，解：（1）向O点简化，求主矢和主矩。（2）求合力及其作用线位置.主矩：例题3-2三角形分布荷载，最大荷载集度为q0，求该分布力系合力的大小及作用线的位置。解：Lxyq(x)xdxq0FR2L/3AB建坐标系如图§3.3平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡方程：

平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在任选的坐标轴上的投影的代数和等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。1.平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。2.平面任意力系平衡方程的三种形式一力矩式二力矩式A，B两个取矩点的连线，不得与投影轴垂直三力矩式A，B，C三个取矩点，不得共线例3-3已知：求：支座A、B处的约束力.解：取AB梁，画受力图。解得解得解得例3-4已知：求：固定端A处约束力.解：取T型刚架，画受力图.解得解得解得3.平面平行力系的平衡方程平面平行力系的方程为两个，有两种形式各力不得与投影轴垂直两点连线不得与各力平行已知：尺寸如图；且AB间距为4m求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。解：取起重机，画受力图.满载时，为不安全状况解得P3min=75kN例3-5P3=180kN时解得FB=870kN解得FA=210kN空载时，为不安全状况4P3max-2P2=0解得

F3max=350kN§3.4物体系统的平衡问题1.物体系统2.静定与超静定的概念静定问题：未知量的数目等于独立的平衡方程数目超静定问题：未知量的数目大于独立的平衡方程数目例3-6已知：尺寸如图；求：BC杆受力及铰链A受力.解：取AB

梁，画受力图.解得解得解得又可否列下面的方程？能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？可否列下面的方程：例3-7

已知:F=20kN,q=10kN/m,L=1m;求:A,B处的约束力.解:取CD梁,画受力图.解得

FB=45.77kN解得解得解得取整体,画受力图.例：荷载及尺寸如图。求：A，B处支座反力。解：先整体后局部(1)取整体ACB为研究对象(2)取局部CB为研究对象由式(1)得：（1）例3-7（2）支座不在一条水平线上习题2-13（先整体)

（先分步)例3-8已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,风载F=10kN,尺寸如图;求:A,B处的约束力.解:取整体,画受力图.解得解得取吊车梁及小车和重物,画受力图.解得取右边刚架,画受力图.解得解得对整体图§3.5平面桁架1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内，杆件与杆件间均用光滑铰链连接。2、载荷和支座反力都作用在节点上，且位于桁架几何平面内；3、各杆件自重不计或均分布在节点上受力特点：桁架中每根杆件均为二力杆求解桁架内力的方法：节点法与截面法1、节点法2、截面法关于平面桁架的几点假设：例3-8已知:P=10kN,尺寸如图。求:桁架各杆件受力。解:取整体，画受力图取节点A，画受力图解得(压)解得(拉)取节点C,画受力图解得(压)解得(拉)取节点D,画受力图解得(拉)例3-9已知:各杆长度均为1m。求:1,2,3杆受力。解:取整体,求支座约束力解得解得用截面法,取桁架左边部分解得(压)解得(拉)解得(拉)例3-10已知：荷载与尺寸如图。求：每根杆所受力。解：取整体，画受力图.得得求各杆内力取节点A取节点C取节点D取节点E求：１，２，３杆所受力。解：求支座约束力从1，2，3杆处截取左边部分例3-11已知：P1,P2,P3,尺寸如图。取节点D若再求４,５杆受力§3.6考虑摩擦时物体的平衡问题静滑动摩擦力的特点:(1)

方向：沿接触处的公切线，（2）大小：由平衡方程求解（3）

库仑摩擦定律：与相对滑动趋势反向。1.静滑动摩擦2.摩擦角的概念称为全约束力物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角．摩擦角:全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦系数．平衡时:3.自锁现象自锁测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件直接投影法1、力在直角坐标轴上的投影§4.1空间汇交力系的合成与平衡间接（二次）投影法2、空间汇交力系的合力与平衡合力投影：空间汇交力系的合力：

合力的大小：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力等于零。空间汇交力系的平衡方程：方向余弦：空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零。1、

力对点的矩以矢量表示——力矩矢§4.2

力对点的矩和力对轴的矩(3)作用面：力矩作用面.(2)方向:转动方向(1）大小:力F与力臂的乘积三要素：2.力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。合力矩定理：力对轴的矩：例4-1已知：求：解：把力分解如图

3、

力矩关系定理

力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。§4.3

空间力偶1、力偶矩的矢量表示空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（3）作用面：力偶作用面。

（2）方向：转动方向；力偶矩矢2、空间力偶等效的条件力偶矩矢相等的力偶等效3．空间力偶系的合成与平衡空间力偶系合成为一个合力偶，其力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。合力偶矩矢的大小：合力偶矩矢的投影：合力偶矩矢的方向余弦：空间力偶系的平衡方程：空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零，即

§4.4

空间任意力系的简化1．

空间任意力系向一点的简化其中，各，各一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.称为空间力系对O点的主矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有称为力系的主矢1）

合力最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为§4.5

空间任意力系简化结果的分析（最后结果）当时，当最后结果为一个合力.合力作用点过简化中心.合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和.合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.（2）合力偶当时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。（3）力螺旋当∥时力螺旋中心轴过简化中心当成角且既不平行也不垂直时力螺旋中心轴距简化中心为（4）平衡当时，空间力系为平衡力系§4.6

空间任意力系的平衡空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零.空间任意力系的平衡方程:空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.空间平行力系的平衡方程:§4.7

重心和形心1．

物体重心坐标的公式对y轴用合力矩定理有对x轴用合力矩定理有再对x轴用合力矩定理则计算重心坐标的公式为对均质物体，有对均质板状物体，有对等截面细长杆，有2、确定物体重心的方法（1）.简单几何形状物体的重心（a）利用基本公式确定（b）查工程手册（c）利用对称性（2）.用组合法求重心（a）分割法（b）负面积法（负体积法）（3）.用实验方法测定重心的位置（a）悬挂法（b）称重法习题4-16（a）求截面重心的位置。3050300270（a）解：建坐标系如图，把截面分割成两个矩形截面，其面积和重心坐标分别为3050300270（a）xyOⅠⅡ133§5-1

变形固体与基本假设

材料在荷载作用下都会产生变形——尺寸改变和形状改变——可变形固体。对可变形固体的基本假设：Ⅰ.连续性假设——无空隙、密实连续。(1)从受力构件内任意取出的体积单元内均不含空隙；(2)变形必须满足几何相容条件，变形后的固体内既无“空隙”，亦不产生“挤入”现象。据此：134

Ⅱ.均匀性假设——各点处材料的力学性能相同。对常用工程材料，尚有各向同性假设。Ⅲ.小变形假设——构件在承受荷载作用时，其变形与构件的原始尺寸相比甚小，甚至可以略去不计。变形弹性变形塑性变形135材料力学是研究连续、均匀、各向同性的变形固体——构件的强度、刚度和稳定性问题，且大多数情况下是在弹性范围内小变形的研究。136§5-2

内力·截面法·应力1.内力：材料力学中所研究的内力——是指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成。一.内力根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。

通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。1372.求解方法：截面法；简便法截面法求内力的步骤：（1）截开：假想地截开指定截面；（2）代替：用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；（3）平衡：根据分离体的平衡求出内力值。(a)mmⅡⅠyMyMxFNFSzFSyxz(b)ⅠMZ138二.应力的概念

受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布内力的平均集度即平均应力，，其方向和大小一般而言，随所取ΔA的大小而不同。139

该截面上M点处分布内力的集度为，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。140总应力p法向分量正应力s切向分量切应力t应力量纲：ML-1T-2应力单位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。141一.位移：是指构件位置的改变，即构件发生变形后，构件中各质点及各截面在空间位置上的改变。线位移－－线段AA＇为A点的线位移。角位移－－构件上的垂直于轴线的截面（横截面）于变形后所转过的角度则称为角位移。§5-3位移和应变的概念142线应变－－沿棱边方向的伸长或缩短。切应变－－棱边间夹角的改变。如棱边Oa和Oc间的夹角变形前为直角，变形后该直角减小γ，角度的改变量γ则称为切应变。ΔxΔuΔyOabcΔxΔyΔzaa′b′bOcγ二.应变：143直杆曲杆主要几何因素：横截面、轴线等截面杆和变截面杆§5-4

杆件变形的基本形式144杆件变形的基本形式：Ⅰ.轴向拉伸或轴向压缩轴向拉伸或压缩－－在一对作用线与直杆轴线重合且大小相等的外力作用下，直杆的主要变形是长度的改变。

145Ⅱ.剪切剪切变形－－在一对相距很近的大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发生错动，这种变形称为剪切变形。146Ⅲ.扭转扭转变形－－在一对大小相等、方向相反、位于垂直杆轴线的两平面内的力偶作用下，杆的任意两横截面将发生相对转动。这种变形称为扭转变形。147Ⅳ.弯曲弯曲变形－－在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向对称平面内的力偶作用下，杆件将在纵向平面内发生弯曲变形。148

F1=F2时(从而亦有FA=FB)车轴的AB部分不受剪切——纯弯曲。而车轴的外伸部分既受弯又受剪——横力弯曲§6−1轴向拉伸和压缩的概念FFFF受力特点：杆件受与轴线重合的外力作用。变形特点：杆件发生轴线方向的伸长或缩短。§6−2

轴力与轴力图横截面上的内力——轴力ⅠⅡFFmm（a）ⅠFFNFFN（b）（c）Ⅱ按截面法求解步骤：可在此截面处假想将杆截断。保留左部分或右部分为脱离体。移去部分对保留部分的作用，用内力来代替，其合力为FN。列平衡方程。轴力－FN符号规定：引起杆件纵向伸长变形的轴力为正，称为拉力，引起杆件纵向缩短变形的轴力为负，称为压力，轴力图

轴力图的作法：以杆的端点为坐标原点，取平行杆轴线的坐标轴为x轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。FFN1mmA（b）nmFF2FABC（a）mn例题：一等直杆及其受力情况如图a所示，试作杆的轴力图。解：假想用一平面沿m

−m处将杆截开，设取左段为脱离体nnF2FFN2AB（c）FNx（d）FF在n

−n处将杆截开，仍取左段为脱离体

nmFF2FABC（a）mn例题6−1

一等直杆及其受力情况如图a所示，试作杆的轴力图。600300500400ABCDE40kN55kN25kN20kN（a）ABCDE40kN55kN20kNFR11FRFN1AFN2FRAB40kN22223344FN325kN20kND33（b）（c）（d）（e）1050520FN图（kN）（g）例题6−1图FN420kN4411（f）用简便法求轴力：任一横截面上的轴力等于该截面一侧上所有轴向外力的代数和。背离该截面的外力取+号，指向该截面的外力取-号。§6−3横截面上的应力

1.由变形几何关系找出应变与所在位置的关系。推导应力公式的方法：

2.由物理关系既应力与应变的关系，找出应力与所在位置的关系。

3.由静力关系找出应力与内力的关系。横截面上的应力：mFFNFFN（a）（b）（c）

FFmσσFFa'b'c'd''bacd（d）

变形前是平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于杆的轴线，称为平面假设。

拉压杆横截面上正应力计算公式：

拉压杆横截面上正应力σ计算公式:

考察杆件在受力后表面上的变形情况，并由表及里地作出杆件内部变形情况的几何假设——杆件的任一横截面上各点的变形是相同的。根据力与变形间的物理关系，得到变形相同时，受力也相同。通过静力学关系，得到以内力表示的应力计算公式。拉应力为正，压应力为负。例题6−3

图示为一简单托架，AB杆为钢板条，横截面面积300mm2，AC杆为10号槽钢，若F=65kN，试求各杆的应力。

F4m3mABCFFNABAFNAC例题2−4图解：(1)取节点A为脱离体，受力如图(2)AB杆的横截面面积为AAB=300mm2，AC杆为10号槽钢，由型钢表(附表II，表3)查出横截面面积为AAC=12.7cm2

＝12.7×10-4m2。(3)

求出AB杆和AC杆的应力分别为§6−4斜截面上的应力研究目的：找出过一点哪一截面上应力达到最大以作为强度计算的依据。

FFmm（a）（b）（c）nnnFFαnαFpαnατασαnαn－n截面的轴线方向的内力斜截面面积斜截面上的应力pα为：即斜截面上的正应力和切应力分别为：正应力的最大值发生在α

=0的截面，即横截面上，其值为当时对应的斜截面上，切应力取得最大值

分析：§6−5拉压杆的变形、胡克定律杆件的纵向伸长或缩短：FF（a）ll1dd1（b）FFll1dd1纵向线应变：拉应变为正，压应变为负。

△l和△d伸长为正，缩短为负一.拉压杆的变形杆件的横向伸长或缩短：-=ddd1Δlll-=1Δ横向线应变：引入比例常数Ｅ，又F=FN，得到胡克定律：弹性模量E，其单位为Pa，与应力相同。其值与材料性质有关，是通过实验测定的，其值表征材料抵抗弹性变形的能力。EA——拉伸（压缩）刚度。二.胡克定律在弹性范围内泊松比ν----在弹性变形范围内，横向线应变与纵向线应变之间保持一定的比例关系，以ν代表它们的比值之绝对值.而横向线应变与纵向线应变正负号恒相反，故例题6−4

图示一等直钢杆，材料的弹性模量E＝210GPa。试计算：(1)每段的伸长；(2)每段的线应变；(3)全杆总伸长。（b）5kN5kN5kNFN图（a）5kN10kN10kN5kN2m2m2mABCD10mm解：（1）求出各段轴力，并作轴力图（图b）。

BC

段的伸长：（2）AB段的伸长CD段的伸长：（3）AB段的线应变:BC段的线应变：CD段的线应变：（4）全杆总伸长：例题6−5试求图示钢木组合三角架B点的位移。已知：F＝36kN；钢杆的直径d＝28mm，弹性模量E1＝200GPa；木杆的截面边长a=100mm，弹性模量E2=10GPa。解：(1)先求杆1和杆2的轴力。取节点B为脱离体，受力如图3m4mF①②αBAC（a）FFN1FN2（b）由平衡条件∑Fy=0得由平衡条件∑Fx=0得由平衡条件∑Fx=0，得所有B点的位移为（2）求两杆的伸长。根据胡克定律有B点的水平位移为:B点的竖向位移为:所以B点的位移为:（3）求节点B的位移。在小变形情况下，可用切线代替圆弧来确定结点B的新位置。Δl2αm4m①②αBnstΔl1B2B1ΔlVΔlH（c）例6-6§6-6

材料在拉伸和压缩时的力学性能塑性材料——低碳钢脆性材料——灰口铸铁低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：

(1)阶段Ⅰ——弹性阶段变形完全是弹性的，且Δl与F成线性关系，即此时材料的

力学行为符合胡克定律。

(2)阶段Ⅱ——屈服阶段

在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。

此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45°的滑移线(，当α=±45°时τa的绝对值最大)。(3)阶段Ⅲ——强化阶段

卸载及再加载规律

若在强化阶段卸载，则卸载过程中F－Δl关系为直线。可见在强化阶段中，Δl=Δle+Δlp。

卸载后立即再加载时，F－Δl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至到初卸载的荷载——冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。

(4)阶段Ⅳ——局部变形阶段试样上出现局部收缩——颈缩，并导致断裂。

低碳钢的应力—应变曲线(s－e曲线)：

为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即，其中：A——试样横截面的原面积，l——试样工作段的原长。低碳钢

s－e曲线上的特征点：比例极限sp

弹性极限se屈服极限ss

(屈服的低限)

强度极限sb(拉伸强度)Q235钢的主要强度指标：ss=240MPa，sb=390MPa衡量材料塑性的指标：

伸长率断面收缩率：A1——断口处最小横截面面积。Q235钢：y≈60%Q235钢：

(通常d>5%的材料称为塑性材料)sp0.2——名义屈服极限用于无屈服阶段的塑性材料割线弹性模量

用于基本上无线弹性阶段的脆性材料脆性材料拉伸时的唯一强度指标：

sb—基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。铸铁拉伸时的应力应变曲线：金属材料在压缩时的力学性能：

低碳钢拉、压时的ss基本相同。低碳钢压缩时s-e的曲线：低碳钢材料轴向压缩时的试验现象铸铁压缩时的sb和d均比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。灰口铸铁压缩时的s－e曲线：

试样沿着与横截面大致成50°－55°的斜截面发生错动而破坏。

材料按在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。

影响材料力学性质的主要因素：1.温度2.变形速率3.荷载长时间作用的影响4.应力性质的影响§6-7

强度条件·安全因数·许用应力Ⅰ.拉(压)杆的强度条件

强度条件——保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件：

其中：smax——拉(压)杆的最大工作应力，[s]——材料拉伸(压缩)时的许用应力。Ⅱ.

材料的拉、压许用应力塑性材料：脆性材料：许用拉应力其中，ns——对应于屈服极限的安全因数其中，nb——对应于拉、压强度的安全因数常用材料的许用应力约值

(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）

材料名称

牌号

许用应力/MPa低碳钢低合金钢灰口铸铁混凝土混凝土红松（顺纹）Q23516MnC20C3017023034－540.440.66.4170230160－200710.310轴向拉伸轴向压缩Ⅲ.强度计算的三种类型

(2)

截面选择已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。

(3)

计算许可荷载已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN,max=A[s]

，由FN,max计算相应的荷载。

(1)

强度校核已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件对于等截面直杆即为

例题6-8

试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F=16kN，[s]=120MPa。2.

求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径由于圆钢的最小直径为10mm，故钢拉杆DI采用f10圆钢。解：1.由图中(b)所示分离体的平衡方程得

例题6-9图中(a)所示三角架(计算简图)，杆AC由两根80mm

80mm

7mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，[s]=170MPa。试求许可荷载[F]。解

:1.根据结点A的受力图(图b)，得平衡方程：(拉)（压）解得解得2.计算各杆的许可轴力

先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得由强度条件得各杆的许可轴力：杆AC的横截面面积杆AB的横截面面积3.

求三角架的许可荷载先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：

此例题中给出的许用应力[s]=170MPa是关于强度的许用应力；对于受压杆AB实际上还需考虑其稳定性，此时的许用应力将小于强度许用应力。该三角架的许可荷载应是[F1]和[F2]中的小者，所以Ⅰ.关于超静定问题的概述(a)(b)§6-8拉伸与压缩的超静定问题

图a所示静定杆系为减小杆1,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1,FN2,FN3，但只有二个独立的平衡方程──一次超静定问题。(a)(b)“多余”约束：在超静定问题中，都存在多于维持平衡所必需的支座或杆件，习惯上称其为“多余”约束。多余未知力：与多余约束相应的支反力或内力，习惯上称其为多余未知力。超静定次数：未知力数超过独立平衡方程数的数目，称为超静定次数。求解超静定问题的方法：综合运用变形的几何相容条件、物理关系和静力学平衡条件求解超静定问题。

例求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并画轴力图。杆的拉压刚度为EA。

解：（一）

1.

有两个未知约束力FA

,FB(见图a)，但只有一个独立的平衡方程

FA+FB-F=0故为一次超静定问题。(a)balACBFFArFB(b)F2几何方面

3物理方面

(c)得到补充方程：

1.

取固定端B为“多余”约束。相应的相当系统如图b，它应满足相容条件ΔB=ΔBF+ΔBB=0，参见图c，d。2.

补充方程为由此求得所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。（二）

得FA=F-Fa/l=Fb/l。3.

由平衡方程FA+FB-F=0

例题6−10

图示结构由刚性杆AB及两弹性钢制空心管EC及FD组成，在B端受力F作用。两弹性杆由相同的材料组成，且长度相等、横截面面积相同，其面积为A，弹性模量为E。试求出两弹性杆的轴力。解：该结构为一次超静定，需要建立一个补充方程。

⑴静力方面取脱离体如图b所示

ΔCΔDl/2llABECFDl/2l/2（a）⑵几何方面

(3)物理方面（b）FCEFDFFAxFAyF补充方程为：

解：：该结构为一次超静定，需要建立一个补充方程。例题6−11

图a所示为三杆组成的结构，在节点A受力F作用。设杆①和杆②的刚度同为E1A1，杆③的为E3A3。试求三杆的内力。(b)(1)静力方面，截取节点A为脱离体(2)几何方面

(3)物理方面由胡克定律，有

Δ3FΔ1ABCDA′sl(a)ααFN2FFN3FN1A补充方程为：

§6-9应力集中的概念FFσmaxσnom这种由杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤增现象，称为应力集中。

1.概念§7-1

剪切的概念及工程实例（a）图7−1ababFF（b）aaFFbbmm当杆件受到一对垂直于杆轴、大小相等、方向相反、作用线相距很近的力作用时，力作用线之间的各横截面都将发生相对错动，即剪切变形。

螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。

工程中以剪切变形为主的构件很多，如在构件之间起连接作用的连接件（螺栓、铆钉、键等）。FF/2nF/2n

2.工程实例

键连接（图b）中，键主要受剪切及挤压。

图a所示螺栓连接主要有三种可能的破坏：Ⅰ.螺栓被剪断（参见图b和图c）；Ⅱ.

螺栓和钢板因在接触面上受压而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢板在螺栓孔处被压皱）（图d）；Ⅲ.钢板在螺栓孔削弱的截面处全面发生塑性变形。

实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。

在实用计算中，认为连接件的剪切面（图b，c）上各点处切应力相等，即剪切面上的名义切应力为式中，FS为剪切面上的剪力，As为剪切面的面积。强度条件：§7-2

剪切的实用计算

用截面法求剪力FS

在实用计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力是按某些假定进行计算的。

对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大挤压应力sbs的值大致等于把挤压力Fbs除以实际挤压面（接触面）在直径面上的投影。§7-3

挤压的实用计算故取名义挤压应力为式中，Fbs为接触面上的挤压力，Abs为计算挤压面的面积。挤压强度条件为

应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作用，因而当两者的材料不同时，应校核许用挤压应力较低的连接件或被连接件。工程上为便于维修，常采用挤压强度较低的材料制作连接件。其中[σbs]为许用挤压应力。试验表明，许用挤压应力[σbs]比许用应力[σ]要大，对于钢材，可取[σbs]=(1.7~2.0)[σ]。

铆钉连接主要有三种方式：

1.搭接（图a），铆钉受单剪；

2.单盖板对接（图b），铆钉受单剪；

3.双盖板对接（图c），铆钉受双剪。

下面以铆钉搭结两块钢板为例，讨论用铆钉连接的拉压构件的强度计算。铆钉连接的破坏有下列三种形式：（1）铆钉沿其剪切面被剪断；（2）铆钉与钢板之间的挤压破坏；（3）钢板沿被削弱了的横截面被拉断。为了保证铆钉连接的正常工作，就必须避免上述三种破坏的发生，根据强度条件分别对三种情况作实用强度计算。（a）FF（b）bFF每个铆钉剪切面上的剪力为强度条件为1.

铆钉的剪切实用计算（a）FF（b）bFFF/nF/2nF/2n每个铆钉剪切面上的剪力为挤压强度条件为应分别校核中间钢板及上下钢板与铆钉之间的挤压强度。2.

铆钉与钢板孔壁之间的挤压实用计算3.钢板的抗拉强度校核

螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的削弱，其拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据；在实用计算中并且不考虑钉孔引起的应力集中。被连接件的拉伸强度条件为式中：FN为检验强度的钉孔中心处横截面上的轴力；A为同一横截面的净面积，图示情况下A=(b–d)d。{{FbsFNdbssd

当连接中有多个铆钉或螺栓时，最大拉应力smax可能出现在轴力最大即FN=FN,max所在的横截面上，也可能出现在净面积最小的横截面上。例题7−1图示两块钢板搭接连接而成的铆接接头。钢板宽度b=200mm，厚度t=8mm。设接头拉力F=200kN，铆钉直径20mm，许用切应力[τ]=160MPa，钢板许用拉应力[σ]=170MPa，挤压许用应力[σbs]=340MPa。试校核此接头的强度。解：为保证接头强度，需作出三方面的校核。(1)铆钉的剪切强度校核（b）bFF（a）FFnmmn（c）F/4F/4FF/4F/4每个铆钉所受到的力等于F/4。根据剪切强度条件满足剪切强度条件(2)铆钉的挤压强度校核（b）bFF（a）FF根据挤压强度条件

上、下侧钢板与每个铆钉之间的挤压力均为Fbs＝F/4，由于上、下侧钢板厚度相同，所以只校核下侧钢板与每个铆钉之间的挤压强度。满足挤压强度条件(3)钢板的抗拉强度校核（b）bFF（a）FF（d）3F/4FF/4nmmn（c）F/4F/4FF/4F/4由于上、下侧钢板厚度相同，故验算下侧钢块即可，画出它的受力图及轴力图(图c，d)。对于截面m−m：226§8-1

扭转的概念及实例变形特点：

Ⅰ.相邻横截面绕杆的轴线有相对转动；

Ⅱ.杆表面的纵向线变成螺旋线；

Ⅲ.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。MeMe227剪切角：螺旋线的切线与原纵向线的夹角γ称为剪切角。MeADBCMejgl相对扭转角：截面B相对于截面A转动的角度，称为相对扭转角。228

本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。229§8-2扭矩的计算和扭矩图Ⅰ.传动轴的外力偶矩

当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a。230

因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为

因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：231

主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。232Ⅱ.扭矩及扭矩图

传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。TMeMeTT=MeMeMe11233

扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量（大拇指）背离截面为正，指向截面为负。T(+)T(-)234

例题8-1

一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。

235解：1.

计算作用在各轮上的外力偶矩2362.

计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)注意这个扭矩是假定为负的2373.

作扭矩图

由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。

238思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？23915.94.786.374.78240用简便法求扭矩：

任一横截面上的扭矩等于该截面一侧上所有外力对轴之矩的代数和。背离该截面的外力矩矢取+号，指向该截面的外力矩矢取-号。241§8-3

薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒——通常指的圆筒

当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩mmTMelMemmMedr0Od242

Ⅰ.薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律

推论：(1)横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeADBCMejg243横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。Memmxr0tdA244Ⅱ.

薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由根据应力分布可知引进，上式亦可写作

，于是有Memmxr0tdA245

以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。1.单元体·切应力互等定理§8-4

切应力互等定理和剪切胡克定律246可得：

由单元体的平衡条件∑Fx=0知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩为t'dxdz)dy力偶。由247

即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t和t

数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。248

薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T)与相对扭转角j成线性正比例关系，从而可知t与g亦成线性正比关系：

这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量。

MeADBCMejg2.剪切胡克定律249§8-5

圆截面杆扭转时横截面上的应力横截面上的应力公式推导：表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)250（1）表面变形情况：

(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；

(b)纵向线倾斜了一个角度g

。平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。1、几何方面251（2）横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：即bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrrEAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgr252

式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用

来表示，对于给定的横截面为常量。

可见，在横截面的同一半径r的圆周上各点处的切应变gr

均相同；gr与r成正比，且发生在与半径垂直的平面内。bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr2532、物理方面由剪切胡克定律t=Gg

知

可见，在横截面的同一半径r的圆周上各点处的切应力tr均相同，其值

与r成正比，其方向垂直于半径。2543、静力学方面其中称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式以代入上式得：255式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。横截面周边上各点处(r=r)的最大切应力为256实心圆截面：圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp：257空心圆截面：258

现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef(如图)上的应力。§8-6

斜截面上的应力259分离体上作用力的平衡方程为利用t=t'，经整理得260由此可知：

(1)单元体的四个侧面(a

=0°和a

=90°)上切应力的绝对值最大；

(2)

a=-45°和a=+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大。，如图所示。261

至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯剪切应力状态。262低碳钢扭转破坏断口263铸铁扭转破坏断口264

思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？265§8-7圆轴扭转时的变形

等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j来度量。MeADBCMejg266

当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有

由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角j为2671.

强度条件此处[t]为材料的许用切应力§8-8扭转的强度和刚度条件对于等直圆轴亦即2682.刚度条件式中的许可单位长度扭转角[θ]的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴[θ]≈0.15~0.30(°)/m；对于一般的传动轴[θ]≈2

(°)/m。2693.解决问题（1）校核圆杆的强度、刚度（2）选截面（3）选荷载270例题8−3一电机的传动轴直径d=40mm，轴传递的功率P=30kW，转速n=1400r/min。材料的许用切应力[τ]=40MPa，切变模量G=80GPa，单位长度的许用扭转角[θ]=1º/m。试校核此轴的强度和刚度。解：（1）计算传动轴的扭矩（3）刚度校核（2）强度校核此轴分别满足强度条件和刚度条件271例题8−4图a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知；Me1=1.5kN·m，Me2=3kN·m，Me3=9kN·m，Me4=4.5kN·m；材料的切变模量G=80GPa，许用切应力[τ]=80MPa，单位长度许可扭转角[

]=0.005rad/m。（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角。DCBAMe2Me1Me3Me4（a）0.8m1.0m1.2m272（b）4.5T图（kNm)1.54.5++DCBAMe2Me1Me3Me4（a）0.8m1.0m1.2m解：（1）画轴的扭矩图，如图b所示。

（2）设计轴的直径由扭矩图可知，圆轴中的最大扭矩发生在AB和BC段，其绝对值为4.5kN·m。根据式强度条件：可以得到轴的直径为273根据刚度条件：可以得到轴的直径为

根据上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴的直径应选用D=103mm。274（3）全轴的相对扭转角

AD的计算若选用轴的直径D0=105mm，其极惯性矩为全轴的相对扭转角为：其中即275解:1.按强度条件求所需外直径D

例题8-5

由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a=0.5。已知材料的许用切应力[t]=40MPa，切变模量G=80GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax=9.56kN·m，轴的许可单位长度扭转角[θ]=0.3(°)/m。试选择轴的直径。§10－1梁的正应力一、纯弯曲与平面假设

1、纯弯曲——梁或梁上的某段内各横截面上只有弯矩而无剪力(如图中的CD段)。

2、横力弯曲——梁或梁上的某段内各横截面上既有弯矩又有剪力(如图中的AC、BD段)。alABaACD(a)FFFS图M图(b)(c)FFFa3、梁的纯弯曲实验

横向线(mn、pq）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为弧线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍保持垂直。

由梁变形的连续性可知：在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层。中性层与梁横截面的交线称为中性轴。

(b)(a)mnpqmnpqFFCD4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：

（1）平面假设梁的横截面在梁弯曲后仍然保持为平面，并且仍然与梁弯曲后的轴线保持垂直。（2）单向受力假设梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略不计。二、正应力公式的推导1、几何方面

相应的纵向线应变为：（10－1）弧线O1O2的长度为：

(a)距中性层为y处的纵向纤维ab

的伸长为：(b)(b)中性层中性轴abO1O2mnpq(a)dxmnpqdθρy(c)dxabO2O12、物理方面此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如下图所示。

梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线应变的关系为：(c)将式代入，得（10－2）yz3、静力学方面

由上图可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力dFN=σdA构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量，，(d)(e)(f)yz

又因为不等于零，所以有(g)即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。

由式（e）可得因此(h)即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴，又y、z轴过横截面的形心，所以中性轴应为横截面的形心主轴。最后由式（f）可得

上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。

将式（10−3）代入式（10−2），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为（10－4）（10－3）即有yzOdAyzhb三、梁横截面上任一点的正应力的计算公式为实际应用中往往M、y代入绝对值求出正应力值，再根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力。对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程中的精度要求。四、横力弯曲

五、横截面上的最大正应力1.中性轴z

为横截面对称轴的梁其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等。且最大拉、压应力的值为：Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。横截面上正应力分布：yhbzoyhbzoyc,maxyt,maxyz

bd1

hOd22.中性轴z

不是横截面对称轴的梁(如图)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。中性轴z不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值分别为:横截面上正应力分布:yc,maxyt,maxyz

bd1Od2解：先求出C截面上弯矩

例题10−1长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。例题10－1图截面对中性轴的惯性矩

将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有

（拉应力）§10－2梁的正应力强度条件及其应用一、梁的正应力强度条件

对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最远的位置，此时

而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截面上，距中性轴最远的位置，即（10－5）式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。对矩形截面对圆形截面各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的数值，可以在型钢表中查得。

为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件为（10－6）二、三种强度问题的计算（2）选择截面（3）确定许用荷载

（