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第2章

平面汇交力系与平面力偶系

返回总目录平面汇交力系合成与平衡的几何法

平面汇交力系合成与平衡的解析法平面力对点之矩的概念及计算平面力偶理论习题与思考题本章内容2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、平面汇交力系合成的几何法

设如图2.1(a)所示为作用于任一刚体上的力F1、F2、F3、F4,它们的作用线交于点A,组成一平面汇交力系。由力的可传性,将各力沿其作用线移至汇交点A,如图2.1(b)所示。根据力的三角形法则,将各力依次合成,即从任意点a作矢量ab代表力矢F1,在其末端b作矢量bc代表力矢F2,则虚线ac表示力矢F1和F2的合力矢FR1;再从点c作矢量cd代表力矢F3,则ad表示FR1和F3的合力FR2;最后从点d作de代表力矢F4,则ae代表力矢FR2与F4的合力矢,亦即原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力矢FR,其大小和方向如图2.1(c)所示,其作用线通过汇交点A。实际作图时,不必画出虚线所示的中间合成力FR1和FR2,只需把各分力矢首尾相连,形成一个不封闭的多边形abcde,则第一个力矢F1的起点a向最后一个力矢F4的终点e作ae,即得合力矢FR。各分力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形,合力矢是力多边形的封闭边。这种求合力的几何作图法称为力多边形法则。由图2.1(d)可见,若改变各力矢的作图顺序,所得的力多边形的形状则不同,但是这并不影响最后所得的封闭边的大小和方向,即不会影响合成或简化的最终结果。但应注意,各分力矢必须首尾相连,环绕力多边形周边的同一方向,而合力矢则逆向封闭力多边形。图2.1平面汇交力系的几何合成

将上述方法推广到由n个力F1、F2、…、Fn组成的平面汇交力系,可得结论:平面汇交力系合成的结果是一个合力,其合力的大小和方向等于原力系中所有各力的矢量和,可由力多边形的封闭边确定,合力的作用线过力系的汇交点。可用矢量式表示为:2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法

若力系中各力的作用线沿同一直线,则称此力系为共线力系。在这种特殊情况下,力多边形变成一条直线,合力为:

(矢量和)2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法(代数和)

【例2.1】同一平面的三根钢索边连结在一固定环上,如图2.2(a)所示,已知三钢索的拉力分别为:F1=500N,F2=1000N,F3=2000N。试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。图2.2合成钢索拉力解:(1)先确定力的比例尺如图2.2所示。(2)应用多边形法,将力F1、F2和F3首尾相接后,再从F1的起点a至F3的终点d连一直线,此封闭边ad即合力矢FR(见图2.2(b))。(3)用直尺和量角器即可确定合力矢FR的大小和方向:FR=2840N,FR与F1的夹角为(与x轴夹角为)。最后将结果在原图中标出(见图2.2(a))

平面汇交力系的合成结果是一个合力。显然,如果力系处于平衡,则力系的合力必须等于零。反之,若合力等于零,则力系必处于平衡。故平面汇交力系平衡的必要与充分条件是:该力系的合力等于零。即:在几何法中,平面汇交力系的合力是由力多边形的封闭边表示的。因此,要使合力等于零,则封闭边的长度必须为零,即力多边形的起点和终点重合,这种情况称为力多边形自行封闭。可见,平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是:该力系的力多边形自行封闭。

求解平面汇交力系的平衡问题时可用图解法,即按比例先画出封闭的力多边形,然后量得所要求的未知量;也可根据图形的几何关系用三角公式计算出所要求的未知量。二、平面汇交力系平衡的几何条件2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法【例2.2】水平梁AB的中点C作用着力P,其大小等于20kN,方向与梁的轴线成角,支承情况如图2.3(a)所示。试求固定铰链支座A和活动铰链支座B各点所受的反力(梁的自重不计)。图2.3水平梁AB的受力分析解:(1)取梁AB为研究对象。(2)画受力图。作用在梁AB上的力有:主动力P;活动铰链支座B的反力FB,方向垂直于支承面;固定铰链支座A的反力FA,方向待定。现在梁AB只受三个力作用而平衡,故由三力平衡时的汇交定理知,FA的作用线必通过P和FB的交点D,如图2.3(b)所示。所得的力系是平面汇交力系。(3)应用平衡的几何条件画力P、FA和FB的闭合三角形。为此先画已知力P,然后从过力P的始端E和末端F分别作直线平行于FA和FB得交点G,于是得力三角形EFG,顺着E→F→G→E的方向标出箭头,使其首尾相连,则矢量和就分别表示力FA和FB的大小和方向(见图2.3(c))。(4)求得结果。由三角关系得(方向如图所示)一、力在直角坐标轴上的投影设力F作用于刚体上的A点(如图2.4所示),在力F作用的平面内建立坐标系Oxy,由力F的起点A和终点B分别向x轴作垂线,得垂足a和b,这两条垂线在x轴上所截的线段再冠以相应的正负号,称为力F在x轴上的投影,用Fx表示。力在坐标轴上的投影是代数量,其正负号规定:若由a到b的方向与x轴的正方向一致时,力的投影为正值,反之为负值。同理,从A和B分别向y轴作垂线,得垂足a‘和b’,求得力F在y轴上的投影Fy。设和分别表示力F与x、y轴正向的夹角,则由图2.4可得:2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

图2.4力在直角坐标轴上的投影

又由图2.4可知,力F可分解为两个分力Fx、Fy,其分力与投影有如下关系:2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

故力F的解析表达式为

反之,若已知力F在坐标轴上的投影Fx、Fy,则该力的大小及方向余弦为

应当注意,力的投影和力的分量是两个不同的概念。投影是代数量,而分力是矢量;投影无所谓作用点,而分力作用点必须作用在原力的作用点上。另外,仅在直角坐标系中力在坐标轴上投影的绝对值和力沿该轴分量的大小相等。一、平面汇交力系合成的解析法

设一平面汇交力系如图2.5所示,在由几何法所得的力多边形ABCDE的平面内建立直角坐标系Oxy,封闭边AE表示该力系合力矢FR,在力的多边形所在位置将所有的力矢都投影到x轴和y轴上。得:由图2.5可知:

ae=-ba+bc+cd+de即FRx=F1x+F2x+F3x+F4x同理FRy=F1y+F2y+F3y+F4y2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

FRx=ae,F1x=-ba,F2x=bc,F3x=cd,F4x=de图2.5解析法合成平面汇交力系将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形,得:2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

这就是合力投影定理:合力在任一轴上的投影,等于各分力在同一轴上投影的代数和。用解析法求平面汇交力系的合成时,首先在其所在的平面内选定坐标系Oxy。求出力系中各力在x轴和y轴上的投影,由合力投影定理得:则合力矢的大小和方向余弦为:(2.8)2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

【例2.3】试用解析法重解例2.1。

解:建立如图2.6所示直角坐标系。根据合力投影定理,有:由式(2.9)得合力的大小方向为:

解得:图2.6解析法合成钢索拉力

(2.9)三、平面汇交力系平衡的解析条件

从前面知道,平面汇交力系平衡的必要与充分条件是合力FR等于零,即2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

要使上式成立,必须同时满足

上式表明,平面汇交力系平衡的解析条件是:力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。式(2.10)称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程,因而可以求解两个未知量。(2.10)

【例2.4】起重架可借绕过滑轮B的绳索将重P=20kN的重物匀速吊起,绞车的绳子绕过光滑的定滑轮(如图2.7(a)所示),滑轮B用AB和BC两杆支撑,设两杆的自重及滑轮B的大小、自重均不计。试求杆AB、BC所受的力。解:(1)取研究对象。杆AB和BC都是二力杆,假设均受拉力,如图2.7(c)所示。如将杆AB和BC作用于滑轮B的力求出,则两杆所受的力即可求出(互为作用力与反作用力),同时重物的重力与绳索的拉力也都作用于滑轮上,故取滑轮连同销钉B为研究对象。(2)画受力图。重物通过绳索直接加在滑轮的一边。在其匀速上升时,拉力FT=P,而绳索又在滑轮的另一边施加同样大小的拉力,即FT‘=FT。此外杆AB和BC对滑轮的约束力为FBA与FBC。因不计滑轮B的大小,故诸力组成一个平面汇交力系(见图2.7(b))。(3)列平衡方程。取坐标系Bxy如图2.7(b)所示,选取坐标轴。2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

图2.7起重架受力分析【例2.5】连杆机构CABD由三个无重杆铰接组成,在铰链A、B处有F1、F2作用,如图2.8(a)所示。该机构在图示位置,试求力F1与F2的关系。2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

由①②

其中,P=FT=20kN,代入上列方程求得

FBA=54.64kN,FBC=-74.64kN

(4)关于解的讨论。图2.7(b)中待求力FBA和FBC的指向是假定的,当由平衡方程求得某一未知力之值为负时,表示原先假定的该力指向与实际方向相反。所以本题中FBC为负值,其实际指向与图示相反,即杆BC实际受压力;而杆AB则受拉力。

2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

图2.8连杆机构受力分析解:这是一个物体系统的平衡问题。从整个机构来看,它受四个力F1、F2、FCA、FDB作用,不是平面汇交力系(图2.8(a)),所以不能取整体作为研究对象求解。要求解的未知力F1与F2分别作用于铰A、铰B上,铰A与铰B均受平面汇交力系的作用,所以应该通过分别研究铰A与铰B的平衡来确定F1与F2的关系。(1)取铰A为分离体。铰A除受未知力F1外,还受有二力杆AC和AB的约束反力FAB和FBA(均设为压力),其受力图如图2.8(b)所示。因为与所求无直接关系的力FCA可不必求出,故选取x轴与FBA垂直。由平衡方程

2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

(2)取铰B为分离体。其受力图如图2.8(c)所示(FDB设为压力)。选取x轴与反力FDB垂直,由平衡方程比较①、②两式,并注意到FAB=FBA,解得②

通过以上分析和求解过程可以看出,在求解平衡问题时,要恰当地选取分离体,恰当地选取坐标轴,以最简捷、合理的途径完成求解工作。尽量避免求解联立方程,以提高计算的工作效率。这些都是求解平衡问题所必须注意的。

2.3平面力对点之矩的概念及计算

一、力对点之矩(力矩)

力使物体绕某点转动的力学效应称为力对该点之矩,简称为力矩。以扳手旋转螺母为例(如图2.9(a)所示),设螺母能绕点O转动。由经验可知,螺母能否旋动,不仅取决于作用在扳手上的力F的大小,而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。因此,用F与d的乘积作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离d称为F对O点的力臂,点O称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向,故一般用正负号表示转动方向。因此在平面问题中,力对点之矩定义如下:力对点之矩是一个代数量,它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积,它的正负号通常规定:力使物体绕矩心逆时针转向时为正,反之为负。力对点之矩以符号Mo(F)表示,记为:图2.9用扳手拧螺母2.3平面力对点之矩的概念及计算

由图2.9(b)可见,力F对O点之矩的大小也可以用三角形OAB的面积的两倍来表示,即其中,为三角形OAB的面积,如图2.9(b)所示。显然,当力的作用线过矩心时,则它对矩心的力矩等于零;当力沿其作用线移动时,力对点之矩保持不变。力矩的单位常用牛顿·米(N·m)或千牛顿·米(kN·m)。二、合力矩定理在计算力系的合力矩时,常用到所谓的合力矩定理:平面汇交力系的合力对其平面内任一点之矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。即:

(2.13)(2.12)

按力系等效概念,上式易于理解,且式(2.13)应适用于任何有合力存在的力系。如图2.10所示,已知力F,作用点A(x,y)及其夹角。欲求力F对坐标原点之矩,可按式(2.13),通过其分力Fx与Fy对O点之矩而得到,即:或2.3平面力对点之矩的概念及计算

(2.14)

若将式(2.14)代入式(2.13),即可得合力FR对坐标原点之矩的解析表达式,即图2.10力F的力矩(2.15)【例2.6】试计算图2.11(a)中力F对A点之矩。解:可以用三种方法计算力F对A点之矩MA(F)。(1)由力矩的定义计算。先求力臂d。由图中几何关系有:所以:2.3平面力对点之矩的概念及计算

图2.11求力F对A点之矩(2)根据合力矩定理计算。将力F在C点分解为两个正交的分力Fx和Fy(如图2.11(a)所示),则:

由合力矩定理可得(3)先将力F移至D点,再将F分解为两个正交的分力Fx、Fy(如图2.11(b)所示),其中Fx通过矩心A,力矩为零,由合力矩定理得2.3平面力对点之矩的概念及计算

综上可见,计算力矩常用下述两种方法:(1)直接计算力臂,由定义求力矩。(2)应用合力矩定理求力矩。此时应注意:①将一个力恰当地分解为两个相互垂直的分力,利用分力取矩,并注意取矩方向;②刚体上的力可沿其作用线移动,故力可在作用线上任一点分解,而具体选择哪一点,其原则是使分解后的两个分力取矩比较方便。一、力偶与力偶矩在日常生活和工程实际中,我们往往同时施加两个等值、反向而不共线的平行力来使物体转动。例如,汽车司机用双手转动方向盘(如图2.12(a)所示)、工人用扳手和丝锥攻螺纹(如图2.12(b)所示)、用两个手指拧动水龙头(如图2.12(c)所示)等。等值反向平行力的矢量和显然等于零,但是由于它们不共线而不能相互平衡,它们能使物体改变转动状态。这种由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系,称为力偶,如图2.13所示,记作(F,F')。力偶的两力之间的垂直距离d称为力偶臂,力偶所在的平面称为力偶的作用面。2.4平面力偶理论图2.12方向盘、丝锥、水龙头受力示意图(a)

(b)

(c)

力偶不能简化为一个力,即力偶不能用一个力等效替代,因此力偶无合力,也不能被一个力平衡。因此,力和力偶是静力学的两个基本要素。力偶对物体的作用效果是使物体转动。力偶对物体的转动效应可以用力偶矩来度量,即用力偶的两个力对其作用面内某点之矩的代数和来度量。如图2.13所示,力偶对O点之矩Mo(F,F'

)为2.4平面力偶理论

于是可得结论:力偶矩是一个代数量,其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积,正负号表示力偶的转向,通常规定以逆时针转向为正,反之为负。力偶矩的单位与力矩相同,也是或kNm。从几何上看,力偶矩在数值上等于△ABC面积的两倍(如图2.13所示)。

矩心O是任选的,可见力偶的作用效应决定于力的大小、力偶臂的长短以及力偶的转向,与矩心的位置无关。因此在平面问题中,将力偶中力的大小与力偶臂的乘积并冠以正负号称为力偶矩,记为M(F,F')或简记为M。图2.13力偶

由于力偶对物体只能产生转动效应,而该转动效应是用力偶矩来度量的。因此可得如下的力偶等效定理。定理:作用在刚体上同一平面内的两个力偶,如果力偶矩相等,则两力偶彼此等效。

由这一定理可得关于平面力偶性质的两个推论:(1)力偶可在其作用面内任意移转,而不改变它对刚体的作用效果。换句话说,力偶对刚体的作用与它在作用面内的位置无关,如图2.14(a)、(b)所示。2.4平面力偶理论二、力偶的等效定理图2.14力偶移转和力偶臂长度变化与力偶矩(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变,可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短时,而不改变力偶对刚体的作用,如图2.14(c)、(d)所示。由此可见,力偶中力的大小和力偶臂的长短都不是力偶的特征量,力偶矩才是力偶作用效果的唯一度量。因此,常用图2.14(e)所示的符号表示力偶,其中M表示力偶矩的大小,带箭头的圆弧表示力偶的转向。由作用在物体同一平面内的若干力偶组成的力系称为平面力偶系。平面力偶系也是一种基本力系。2.4平面力偶理论三、平面力偶系的合成

设在刚体的同一平面内作用有两个力偶M1和M2,M1=F1d1,M2=F2d2,如图2.15(a)所示,求它们的合成结果。根据上述力偶的性质,在力偶作用面内任取一线段AB=d,将这两个力偶都等效地变换为以d为力偶臂的新力偶(F3,F3'

)和(F4,F4'

),经变换后力偶中的力可由F3d=F1d1=M1,F4d=F2d2=M2算出。然后移转各力偶,使它们的力偶臂都与AB重合,则原平面力偶系变换为作用于点A、B的两个共线力系(如图2.15(b)所示)。将这两个共线力系分别合成(设F3>F4),得:2.4平面力偶理论图2.15平面力偶系的合成

可见,力F与F'等值、反向、作用线平行而不共线,构成了与原力偶系等效的合力偶(F,F'),如图2.15(c)所示。以M表示此合力偶的矩,得2.4平面力偶理论

如果有两个以上的平面力偶,可以按照上述方法合成。即平面力偶系可以合成为一个合力偶,合力偶矩等于力偶系中各个力偶矩的代数和,可写为(2.17)

四、平面力偶系的平衡条件

平面力偶系可以用它的合力偶等效代替,因此,若合力偶矩等于零,则原力系必定平衡;反之若原力偶系平衡,则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件:所有各力偶矩的代数和等于零。即(2.18)

平面力偶系有一个平衡方程,可以求解一个未知量。【例2.7】电动机轴通过联轴器与工作轴相连,联轴器上4个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上,如图2.16所示。此圆的直径d=150mm,电动机轴传给联轴器的力偶矩M=2.5kNm。试求每个螺栓所受的力。2.4平面力偶理论图2.16联轴器

解:(1)取联轴器为研究对象。(2)画受力图。作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶,每个螺栓的反力,受力图如图2.16所示。因为主动力为一力偶,平衡时螺栓的反力必构成反力偶。设4个螺栓的受力均匀,即F1=F2=F3=F4=F,则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。(3)列平衡方程并求解。由解得

【例2.8】在图2.16(a)所示的结构中,各构件的自重忽略不计,在构件AB上作用一力偶矩为M的力偶。求支座A和C处的约束反力。

2.4平面力偶理论图2.17曲连杆机构受力分析解:(1)取AB杆为研究对象。(2)画受力图。作用于AB杆的是一个主动力偶,A、C两点的约束反力也必然组成一个力偶才能与主动力偶平衡。由于BC杆是二力杆,FC必沿B、C两点的连线(如图2.17(c)所示),而FA应与FC平行,且有FA=FC(如图2.17(b)所示)。(3)列平衡方程。其中则一、思考题

1.图2.18所示的平面汇交力系的各力多边形,各代表什么意义?

2.5习题及思考题(a)(a)

(b)

(c)(d)

图2.18力多边形2.力F沿轴Ox,Oy的分力与力在两轴上的投影有何区别?试分别以图2.19(a),2.19(b)所示的两种情况为例进行分析说明。或F=Fxi+Fyj对图(a),(b)都成立吗?3.两电线杆之间的电线总是下垂,能否将电线拉成直线?输电线跨度l相同时,电线下垂h越小,电线越易于拉断,为什么?4.由力的解析表达式F=Fxi+Fyj能确定力的大小和方向吗?能确定力的作用线(点)的位置吗?5.三个力汇交于一点,但不共面,这三个力能互相平衡吗?6.力矩和力偶矩有什么相同?又有什么区别?7.一矩形钢板放在水平地面上,其边长a

=3m,b

=2m如图2.20所示。按图示方向加力,转动钢板需要P

=P'

=250N。试问如何加力才能使转动钢板所用的力最小,并求这个最小力的大小。图2.19力F的投影2.5习题及思考题8.如图2.21所示中四个力作用在刚体的A、B、C、D四点(ABCD为一矩形),这四个力的力矢恰好首尾相接,此刚体是否平衡?若F1和F'1都改变方向,此刚体是否平衡?图2.20转动钢板图2.21刚体上的作用力

9.力偶不能与一力平衡,那么如何解释如图2.22所示的平衡现象?10.四连杆机构如图2.23所示,作用于曲柄O1A的力偶矩为M1,作用于摇杆O2B的力偶矩为M2,若M1=-M2,此四连杆机构是否平衡?2.5习题及思考题11.在如图2.24所示的各图中,力或力偶对点A的矩都相等,它们引起的支座反力是否相同?图2.22力偶平衡图2.23四连杆机构图2.24支座反力10.四连杆机构如图2.23所示,作用于曲柄O1A的力偶矩为M1,作用于摇杆O2B的力偶矩为M2,若M1=-M2,此四连杆机构是否平衡?2.5习题及思考题1.三个力的力矢起点都为点(3,3),三力作用线分别经过下列各点:力126N经过点(8,6),力183N经过点(2,-5),力269N经过点(-6,3)。求力系的合力。2.如图2.25所示,一钢结构节点,在沿OA、OB、OC的方向受到三个力的作用,已知F1=1kN,F2=1.41kN,F3=2kN,试求这三个力的合力。3.如图2.26所示,圆柱形容器搁在两个滚子上,滚子A和B处于同一水平线。已知容器重G=30kN,半径R=500mm,滚子半径r=50mm,两滚子中心距离l=750mm。试求滚子A和B所受的压力。2.5习题及思考题二、习题图2.25钢结构节点图2.25钢结构节点

4.飞机沿与水平线成θ角的直线作匀速飞行,已知发动机的推力为F1,飞机的重力为P,求如图2.27所示中飞机的升力F2和迎面阻力Q的大小。5.如图2.28所示,输电线ACB架在两电线杆之间,形成一下垂曲线,下垂距离CD=f=1m,两电线杆间距离AB=40m。电线ACB段重P=400N,可近似认为沿AB连线均匀分布。求电线的中点和两端的压力。6.绳子一端A固定在墙上,另一端跨过滑轮B并在末端悬挂重为W的物体,在绳中间有动滑轮C吊起另一重物Q=100N,如图2.29所示。已知平衡时,h=0.5m,l=2.4m。试求物体重量W是多少?7.简易起重机如图2.30所示,A、B和C为光滑铰链,物体重力P=20kN,由绞车D通过滑轮B吊起,若不计杆重、摩擦和滑轮大小,试求平衡时杆AB和BC所受的力。2.5习题及思考题2.5习题及思考题图2.27飞机升力和阻力图2.28求电线压力

图2.29滑轮悬物平衡

图2.30简易起重机

8.在如图2.31所示的压榨机BAC中,铰链B固定不动。作用在铰链A处的水平力P使压块C压紧物体D。假设压块C与墙壁间以及压块C与物体D之间均是光滑接触,压榨机尺寸h和l如图2.32所示,压块C和各杆自重均不计。试求物体D所受的力。9.液压式夹紧机构如图2.32所示,D为固定铰链,B,C,E为活动铰链。已知力F,机构平衡时角度如图2.32所示,各构件自重不计,求此时工件H所受的压紧力。2.5习题及思考题图2.31压榨机图2.32液压式夹紧机构10.如图2.33所示的均质杆AB重P=50N,两端分别放在与水平面成和倾角的光滑斜面上。求平衡时这两斜面对杆的反力以及杆与水平面间的夹角。11.两均质轮各重为P1与P2,用长为l的无重细杆铰接,放在倾角为的光滑斜面上,如图2.34所示。求系统平衡时的位置(用长度s表示)。图2.33均质杆平衡

图2.33均质杆平衡2.5习题及思考题12.试计算如图2.35所示各图中力F对O点之矩。13.如图2.36所示,作用在扳手上一力F,其大小为250N,试计算此力对螺栓中心O的力矩。2.5习题及思考题图2.35力F对O点之矩2.5习题及思考题图2.36扳手14.如图2.37所示,一齿轮受力F=100kN,该齿轮的节圆直径D=0.16m,压力角,试求力F对齿轮轴心O的力矩。15.在如图2.38所示的结构中,力F作用在D点上,其大小为10N,试计算此力对A点之矩。16.在如图2.39所示的工件上作用有三个力偶。三个力偶的矩分别为M1=M2=10Nm,M3=20Nm;固定螺柱A和B的距离l=200mm。求两个光滑螺柱所受的水平力。17.在如图2.40所示结构中,各构件的自重略去不计,在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶,各尺寸如图2.40所示。求支座A的约束力。2.5习题及思考题图2.37齿轮

图2.38力F对A点之矩图2.39工件

18.如图2.41所示的结构中,均在构件BC上作用有一力偶。试分别求(a)、(b)图中A和B点的约束力。已知:(a)M=1.5kNm,r=0.3m;(b)M=800Nm,r=12cm。图2.40连杆机构2.5习题及思考题图2.41题18图

19.设有一力偶矩为M的力偶作用在曲杆AB上,试求在下列两种支承情况下A、B点的约束反力。20.在如图2.43所示的结构中,已知力偶矩为M,不计各构件的自重。求支座A与铰链E的约束力。图2.42曲杆2.5习题及思考题图2.43连杆结构

21.如图2.44所示匀质杆AB,长为15m,重为1500N,由绳子悬挂起来,两端与光滑铅垂墙壁接触,求A、B两点的约束反力。22.在图示机构中,曲柄OA上作用一力偶,其矩为M;另在滑块D上作用水平力F。机构尺寸如图2.45所示,各杆重量不计。求当机构平衡时,力F与力偶矩M的关系。图2.44悬挂匀质杆

2.5习题及思考题图2.45机构平衡时F与M的关系第3章

平面任意力系

返回总目录力的平移定理平面任意力系向已知点的简化平面任意力系的简化结果平面任意力系的平衡条件和平衡方程物体系统的平衡静定和静不定问题平面静定桁架的内力计算习题与思考题本章内容如图3.1(a)所示,在刚体的A点作用着一个力F,B点为刚体上的任一指定点。现在讨论如何将作用于A点的力F平行移动到B点,而不改变其原来的作用效果?我们可在B点加上大小相等、方向相反且与力F平行的两个力和,并使F==,如图3.1(b)所示。显然和F组成一力偶,称为附加力偶,其力偶臂为d。于是作用于A点的力F可以用由作用于B点的力及附加力偶M(,)来替代,如图3.1(c)所示。其中附加力偶矩为;由此可知:作用于刚体上的力均可以从原来的作用位置平行移至刚体内任一指定点。欲不改变该力对于刚体的作用效应,则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶,其力偶矩等于原力对于指定点之矩。这就是力的平移定理。

3.1力的平移定理图3.1平行移动作用于刚体的力另外,我们也可以利用上述定理的逆步骤,将作用于刚体上的力偶矩为M的力偶(,)与作用于同一平面内的B点的力合成为一个作用于A点的力F。即该定理的逆过程也成立。

力的平移定理既是力系向一点简化的理论基础,同时也可直接用来分析和解决工程实际中的力学问题。例如图3.2(a)中厂房柱子受偏心载荷F的作用,为观察F的作用效应,可将力F平移至柱的轴线上成为与矩为M的力偶(如图3.2(b)所示),轴向力使柱子压缩,而矩为M的力偶将使柱弯曲。又如图3.3中,用丝锥攻丝时,若仅用一只手加力,如图3.3(a)所示,即只在B点有作用一力F,虽然扳手也能转动,但却容易使丝锥折断。这是因为:根据力的平移定理,将作用于扳手B点的力F平行移动到丝锥中心O点时,需附加一个力偶矩3.1力的平移定理为M=Fd的力偶,如图3.3(b)所示。这个力偶可使丝锥转动,而这个力却是使丝锥折断的主要原因。可以考虑:为什么用两手握扳手,而且用力相等时,就不会出现折断的现象。图3.2柱子受力示意图3.3丝锥攻丝示意图

如图3.4(a)所示,设刚体上受一平面任意力系F1、F2、…Fn的作用,各力的作用点分别为A1、A2、…An。在力系所在的平面内任选一点O,称为简化中心。求该力系向O点简化的结果。应用力的平移定理,将各力平移至简化中心O点,同时加入相应的附加力偶。这样原力系就等效变换成为作用在O点的平面汇交力系、、…和作用于汇交力系所在平面内的力偶矩为M1、M2、…Mn的附加平面力偶系,如图3.4(b)所示。这样,平面任意力系被分解成了两个力系:平面汇交力系和平面力偶系。然后再分别合成这两个力系。3.2平面任意力系向已知点的简化图3.4将力系向O点简化一、主矢

3.2平面任意力系向已知点的简化

图3.4(c)中,平面汇交力系、…可合成为一作用于简化中心O的力,其大小和方向等于汇交力系的矢量和,即:而平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同,即:,…,所以

我们将平面任意力系中各力的矢量和称为该力系的主矢,以表示,由于原力系中各力的大小和方向是一定的,所以它们的矢量和也是一定的,因而当简化中心不同时,原力系的矢量和不会改变,即力系的主矢与简化中心的位置无关。

图3.4(c)中,平面附加力偶系可合成为一力偶,其力偶矩等于各附加力偶的力偶矩的代数和,用表示,即:而各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点的矩,即:3.2平面任意力系向已知点的简化二、主矩

,···,所以

我们将原力系中各力对简化中心的矩的代数和称为该力系对简化中心O的主矩,以表示,

当简化中心的位置改变时,原力系中各力对简化中心的矩是不同的,对不同的简化中心的矩的代数和一般也不相等,所以力系对简化中心的主矩一般与简化中心的位置有关。所以,说到主矩时一般必须指出是力系对哪一点的主矩。综上所述:平面任意力系向作用面内任意一点简化的结果一般可以得到一个力和一个力偶。该力作用于简化中心,它的矢量等于原力系中各力的矢量和,即等于原力系的主矢;该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心的矩的代数和,即等于原力系对简化中心的主矩。3.2平面任意力系向已知点的简化三、主矢和主矩的解析表达式

为了用解析法计算力系主矢的大小和方向,可以通过O点选取直角坐标系Oxy,如图3.4(c)所示。则有:上式中和以及、、…和、、…分别为主矢以及原力系中各力F1、F2、…Fn在X轴和Y轴上的投影。所以,主矢的大小和方向可分别由以下两式确定:3.2平面任意力系向已知点的简化式中

为主矢与x轴间的夹角。在平面力系的情况下,力系对简化中心的主矩是代数量,可直接由式(3.2)计算。我们知道,在工程实际当中常见的支座一般有三种:可动铰支座、固定铰支座和固定端支座。关于前两种支座的特点,我们在第1章中已做了介绍,现应用平面任意力系向作用面内任一点简化的结论,来分析固定端支座的特性。如图3.5(a)所示,杆件的一端牢固地嵌入墙内而使杆件固定不动,墙对杆件的这种约束称为固定端或插入端约束,或固定支座。在工程结构中,像一端深埋于地下的电线杆、牢固地浇筑在基础上的柱子,还有夹紧在刀架上的车刀等,都可简化为固定端约束。图3.5(b)为杆件所受的约束力简图。当杆件所受的荷载是平面力系时,固定端所产生的约束反力也为一平面任意力系。若取一简化中心A,则可将约束反力系简化为作用在A点的一个力和一个力偶,或可将力沿直角坐标轴分解为两个分力。则一般情况下,平面固定支座所产生的约束反力有三个:水平反力、铅垂反力和反力偶,如图3.5(c)所示。可见这种约束既能阻碍物体在平面内沿任何方向移动,又能阻碍物体在平面内转动。3.2平面任意力系向已知点的简化图3.5固定端的约束反力一、简化结果分析

由上节可知,平面任意力系向一点简化后,一般来说可以得到一个力和一个力偶;但这并不是平面任意力系简化的最后结果,所以还有必要根据力系的主矢和主矩这两个量可能出现的几种情况作进一步的分析讨论。

(1)当主矢

0,主矩

0时,如上节所述,此时原力系简化为作用线通过简化中心O的一力和一力偶,如图3.6(a)所示。由力的平移定理的逆过程可知,原力系最后可以简化为一个合力。为求此合力,可将力偶矩为的力偶用一对力(、)表示,并令,如图3.6(b)所示。再根据加减平衡力系公理,即可将一力和一力偶最终合成为一个力,如图3.6(c)所示。该力就是原力系的合力,合力的大小和方向与原力系的主矢相同;合力作用线到点O的距离d,可由下式计算:3.3平面任意力系的简化结果

而合力的作用线在简化中心O的哪一侧,需由主矢和主矩的方向确定;或可按如下方法判断:若为正值,即为逆时针转向,则从简化中心O沿主矢的箭头指向看过去,合力应在主矢的右侧,如图3.6所示;若为负值,则合力应在主矢的左侧。3.3平面任意力系的简化结果

图3.6平面任意力系的进一步简化(2)当主矢

0,主矩=0时,此时原力系与一力等效。这个力就是原力系的合力。该合力的大小和方向与原力系的主矢相同,作用线通过简化中心O。(3)当主矢=0,主矩

0时,此时原力系只与一个力偶等效。这个力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩,即等于原力系中各力对简化中心的矩的代数和。只有在这种情况下,主矩才与简化中心的位置无关,因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩,而与矩心的位置无关,也就是说,原力系无论向哪一点简化都是一个力偶矩保持不变的力偶。(4)当主矢=0,主矩=0时,则原力系为一平衡力系,这种情形将在下节中讨论。由上可知,平面任意力系简化的最后结果有三种可能性,即:可能为一个力、可能为一个力偶、或者可能平衡。综上所述,求解平面任意力系合成的步骤可总结为:①任选一简化中心;②计算力系的主矢和对简化中心的主矩;③对简化结果进行分析而得到最终的合成结果。3.3平面任意力系的简化结果

二、合力矩定理

当平面任意力系合成为一个合力时,如图3.6所示,合力对点O的矩为由力系对O点的主矩的定义:所以

3.3平面任意力系的简化结果

上式表明:若平面任意力系可简化为一个合力时,则其合力对该力系作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。该定理无论在理论推导方面,还是在实际应用方面都具有非常重要的意义。3.3平面任意力系的简化结果

【例3.1】重力坝受力情况如图3.7所示。设W1

=450kN,W2

=200kN,F1

=300kN,F2

=70kN。求力系的合力FR的大小和方向,以及合力与基线OA的交点到点O的距离x。图3.7重力坝受力情况解:该重力坝受到一平面任意力系的作用,可先将力系向一已知点简化,然后再定出合力作用线的位置。选取O为简化中心,计算力系的主矢和主矩。因为所以主矢x、y轴上的投影为:由式(3.5)可知主矢的方向:因为FR’为正、FR’为负,所以可以判断主矢应在第四象限,且:即主矢与轴的夹角为-70.83度由式(3.2)可求得对简化中心O的主矩为其向O点的简化结果如图3.7(b)所示。(2)求合力FR与基线OA的交点到点O的距离x,如图3.7(b)所示。由合力矩定理:因为所以解得3.3平面任意力系的简化结果

【例3.2】如图3.8所示,边长为a

=1m的正方形板,受一平面力系作用,其中P1=50N,P2=100N,M=50Nm,若P3=200N,要使得力系的合力作用线通过D点,

角应为多大?3.3平面任意力系的简化结果

图3.8正方形板受力图解:要使得合力过D点,则将力系向D点简化后,其主矩应为零,即所以代入数据可得故即当P铅垂向上或水平向左时,可满足题意要求。一、平面任意力系平衡的充要条件

3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

由上节对平面任意力系简化结果的分析可知,当平面任意力系向一已知点O简化所得的主矢和主矩不同时为零时,原力系将同一力或一力偶等效,则刚体在此力系作用下是不可能保持平衡的。只有在刚体所受到的平面任意力系为一平衡力系时,刚体才可以处于平衡状态。而要保证平面任意力系平衡,必须使其主矢和对任意点的主矩同时为零,即:所以,平面任意力系平衡的必要和充分条件是:其主矢和对简化中心的主矩同时为零。二、平面任意力系的平衡方程

3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

由平面任意力系的主矢和主矩的解析计算式可知:由上式可知:

上式即为平面任意力系的平衡方程。它有两个投影方程和一个力矩方程,且其相互独立,我们称其为平面任意力系的平衡方程,它是平衡方程的基本形式。根据这三个方程可求解三个未知量。(3.10)(3.9)

我们在建立上述方程时,所选的二个投影轴是互相垂直的,大家可以考虑这是否是必须的。事实上,选取相互垂直的坐标轴只是为了计算上的方便,同平面汇交力系的问题一样,在应用时可任意选取两个相交的投影轴,且矩心也是可以任选的。在应用上式求解相关问题时,往往需要联立方程求解,特别是当分析包含较多研究对象的物体系统的平衡问题时,会由于需联立方程数目较多而使计算过程很烦琐。所以,为了简化运算,我们可以利用力系以及力对点的矩的特性来选择适当的平衡方程的形式。实际上,平面任意力系的平衡方程除了上述的基本形式外,还有更便于我们应用的另外两种形式:(1)二力矩式:3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

其中包含两个力矩方程和一个投影方程。但其限制条件是:两矩心A、B的连线不能垂直于投影轴x。(3.11)

这是因为若A、B连线与投影轴垂直,则即使力系满足上述三个方程,也不能保证该力系为平衡力系。如图3.9所示,若力系简化结果为一通过A、B矩心的力F,很明显上述二力矩式方程均可满足,但事实上该力系不平衡。另外,如果已知一平面任意力系为一平衡力系,是不是就可以不受上述条件的限制呢?我们说在这种情况下,方程中的两个力矩方程就不是相互独立的,实际上是一个方程。所以,只有在A、B连线不垂直于投影轴时,满足上述三个方程才是平面任意力系平衡的充要条件。(2)三力矩式:以上三个方程均为力矩形式,其限制条件为:

A、B、C三个矩心的连线不共线。原因可参考关于对二力矩式方程限制条件的解释自行思考。3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

图3.9力系简化结果(3.12)

利用上述式(3.10)、式(3.11)、式(3.12)三种形式的平衡方程均可解决平面任意力系的平衡问题,在使用时可根据具体问题的条件来选择。同时,选择适当的投影轴和矩心位置等,亦可使解题过程得以简化。例如,应尽可能让投影轴与未知力的方向垂直;将较多未知力的交点选为矩心等。这样,所列出的平衡方程中的未知量就会较少,从而可简化对联立方程的求解。对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题,只能写出三个独立的平衡方程来求解三个未知量。对于任何形式的第四个方程都不是独立的,而是前三个方程的线性组合。但可利用这个方程对计算结果的正确性进行校核。3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

【例3.3】图3.10所示AB梁自重不计,已知其所受外力:P=80N,m=50Nm,q=20N/m,且l=1m,

=30

。试求支座A、B的约束反力。

解:选梁AB为研究对象。它所受的主动力有:均布载荷q、重力P和矩为m的力偶;约束反力有:固定铰支座A的约束反力应通过点A,但方向不定,故可用两个分力和表示;可动铰支座B处的约束反力方向铅直向上。取图示坐标系,应用平面力系平衡方程:3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

图3.10AB梁受力图(1)(2)(3)联立求解方程可得:由上例可知,选取适当的坐标轴和矩心可减少方程中未知量的数目。在上例中若用方程来取代方程,即用二力矩式方程求解上述问题,可自行思考力矩式方程同投影式方程相比有何优越性?【例3.4】如图3.11所示为一不计自重的电线杆,A端埋入地下,B端作用有导线的最大拉力F1=15kN,

=5

,在C点处用钢丝绳拉紧,其拉力F2=18kN,

=45

。试求A端的约束反力。

图3.11电线杆受力分析

3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

解:取电杆为研究对象,其受力图如图3.11(b)所示;应用平面任意力系平衡方程:(1)(2)(3)由方程求解得:

最后结果为正表示与该力假设方向相同,负号表示与假设方向相反。

当平面力系的所有力的作用线均相互平行时,称为平面平行力系。显然,平面平行力系是平面任意力系的一种特殊形式。所以,平面平行力系的平衡方程可由平面任意力系的平衡方程导出。如图3.12所示,选取图示坐标轴,使刚体所受的平面平行力系与轴垂直。则不论该力系是否平衡,各力在轴上的投影恒等于零,即。所以,平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个,即:

3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

三、平面平行力系的平衡方程

图3.12平面平行力系

同平面任意力系一样,平面平行力系的平衡方程亦可表示为二力矩形式:

其限制条件为:A、B矩心连线不与各力作用线平行。否则,两个力矩方程不相互独立。可见,对单个刚体而言,平面平行力系只有两个独立的平衡方程,只能求解两个未知量。3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

【例3.5】塔式起重机如图3.13所示,机架重P=700kN,作用线通过塔架的中心。最大起重量W=200kN,最大悬臂长为12m,轨道AB的间距为4m。平衡块重G,到机身中心线距离为6m。试问:(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒,求平衡块的重量G应为多少?(2)当平衡块重G=180kN时,求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力?解:(1)以起重机整体为研究对象。其受到一平行力系作用,其中有主动力P、G及W,被动力有轨道的约束反力FA、FB。当满载时,应保证机身不会绕B轮翻转。在临界状态下,FA=0,此时G值应有所允许的最小值Gmin。所以由①3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

当空载时,应保证机身不绕A轮翻转。在临界状态下,FB=0,此时G值应有所允许的最大值Gmax。所以由解得解得②

起重机在工作时是不允许处于极限状态的,所以,为保证其在工作时不致翻倒,平衡块的重量G应在所允许的Gmin和Gmax之间,即(2)当已知平衡块重G=180kN时,同样可以整体机身为研究对象,由平面平行力系平衡方程:由③式解得由④式解得可以利用平衡方程来验证以上的计算结果是否正确。说明计算结果正确。3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

③④

在工程实际中,绝大多数结构、设备都是由若干个物体通过约束所组成的,我们将其统称为物体系统,简称物系。如图3.14所示三铰拱结构是由两个曲杆AC、BC通过铰链C连接组合而成。在研究其平衡问题时,不仅要求出结构所受的A、B处的约束反力,同时还要求出它们在中间C点处相互作用的内力。而其内力和外力是根据选取研究对象的范围相对而言的:内力:组成研究对象的各刚体间相互作用的力。外力:研究对象以外的物体作用于研究对象的力。另外,即使只需求出整体结构所受的约束反力,对如图3.14所示的结构而言,在平面任意力系的作用下也只有三个独立的平衡方程,而固定铰支座A、B处的未知量却有四个。所以,若只取整体结构为研究对象也不可能将所有约束反力求出。这时,就需要把某些刚体(如AC或BC曲杆)从结构中分开来单独研究,才能求出所有未知量。一般而言,当物体系统平衡时,组成该系统的每一个物体亦都处于平衡状态,即:整体平衡,其局部亦平衡。而对每一个受平面任意力系作用的物体,均可写出三个独立的平衡方程。若物系由n个物体组成,则可有3n个独立的平衡方程。若系统中未知量的数目与平衡方程的数目相等,则可由平衡方程求解出所有未知量,这样的问题称为静定问题。但是在工程实际当中,为了减小结构的过大变形、提高其承载能力或增加其稳定性,往往要给结构增加支撑,使其产生了多于维持基本平衡的约束,称为多余约束。这样,未知量的数目将多于平衡方程的数目,从而仅由力系的平衡方程就不能将所有的未知量求出,这样的问题称为静不定问题,或称超静定问题。图3.14所示的三铰拱及如图3.15所示的结构的平衡问题均为静定问题;图3.16所示的结构的平衡问题都是静不定问题。

3.5物体系统的平衡静定和静不定问题

在静不定问题中将总未知量数与平衡方程数之差,称为超静定次数。例如图3.16(a)、(b)、(c)中未知量数分别为4、7、4个,而独立平衡方程数分别为3、6、3个,所以均为一次超静定问题。对于解决超静定问题,仅用静力学平衡方程是不够的,还需要考虑作用于物体上的外力和物体的变形的关系,列出相应于静不定次数的补充方程数并联立平衡方程才能解决。由于理论力学的研究对象是刚体,并不考虑物体的变形,所以,静不定问题已超出了本教材的研究范围,而对其问题的解决将在后续课程材料力学、结构力学等学科中研究。3.5物体系统的平衡静定和静不定问题

图3.14三铰拱结构图3.15静定结构

下面着重讨论静定的物体系统的平衡问题。在求解物系的平衡问题时,可以选物系中某个刚体、也可取几个刚体的组合为研究对象,或者可取整个物系为分离体。而要如何选取需考虑问题的具体情况来决定。总的原则是:要使每一个方程中的未知量数尽量减少,最好只含有一个未知量,以避免求解联立方程。3.5物体系统的平衡静定和静不定问题

图3.16静不定结构【例3.6】组合梁ABCD,受集中力P、力偶矩为M的力偶及均布载荷q的作用,其中,,如图3.17所示。试求A、B的约束反力。解:(1)取CBD梁为研究对象,受力图如图3.17(b)所示,列平衡方程:可得(2)取整体为研究对象,受力图如图3.17(a)所示,列平衡方程:3.5物体系统的平衡静定和静不定问题

图3.17组合梁受力图①3.5物体系统的平衡静定和静不定问题

②③④由(3)式得由(4)式得所以【例3.7】如图3.18(a)所示的三铰拱,受铅垂主动力P及2P作用,几何尺寸如图所示,且构件自重不计。试求铰链A、B、C处的约束反力。解:三铰拱由AC和BC两构件构成,而在A、B、C处的未知力数目共有6个。所以,可分别取AC、BC构件为研究对象,列平衡方程联立求解即可。3.5物体系统的平衡静定和静不定问题

(1)以AC为研究对象,列平衡方程图3.18三铰拱受力分析①②③

(2)以BC为研究对象,列平衡方程④⑤⑥3.5物体系统的平衡静定和静不定问题

联立上述六个方程,且,,解得

在分析物系的平衡问题时,对同一问题可采用不同的方法来解决,如上例也可利用整体和局部相结合的方法来求解:首先,以整体为研究对象,受力图如图3.18(a)所示,列平衡方程,①②③

由上述方程可解得但要求出C点的约束反力及A、B处的水平反力还需要取其一部分为研究对象,如可取AC构件为研究对象,列平衡方程3.5物体系统的平衡静定和静不定问题

,④⑤⑥联立求解可得对上述两种解法可自已进行分析,并总结出其各自的特点。,

【例3.8】图3.19(a)所示构架是由折杆ABC及直杆CE和BD组成。杆件自重不计,受力如图示,试求其支座的约束反力和BD杆的内力。解:结构只受到一铅垂方向的均布荷载的作用,故其所受到的所有的力应为一平行力系,所以支座产生的约束反力有FD和FE,如图所示。以整体为研究对象,列平衡方程①②解得图3.19构架3.5物体系统的平衡静定和静不定问题

(2)欲求BD杆的内力FBD,须取部分构件为研究对象,且已知BD杆为二力杆。如可取折杆ABC为研究对象,列平衡方程3.5物体系统的平衡静定和静不定问题

③解得另外,若取CE杆为研究对象,亦可求出FBD,可自行分析。

在工程结构中,诸如屋架、桥梁、起重机架、输电铁塔等等各类大型结构物都是由许多杆件在其两端通过焊接、铆接或螺栓连接等某种方式结合而成。在对这类构架进行结构分析时,可将杆件在其两端所受的约束简化为铰链连接。我们将这类由杆件铰结而成且受力后几何形状不变的杆系结构称为桁架结构。其杆件间的铰接点称为节点。若构成桁架的杆件轴线在同一平面内,称为平面桁架;否则称为空间桁架。在对桁架结构进行受力分析时,为简化计算,通常可作如下假设:

1.轴线均为直线;

2.节点均为光滑铰链连接;

3.所有外力(包括主动力和约束反力)均集中作用于节点,即杆件身体部分无任何外力;

4.对于平面桁架,各力的作用线都在桁架的平面内。

5.杆件自重忽略不计;或将其自重可平均分配到杆件的两端节点上。通过以上假设可知,桁架中的杆件同链杆约束具有相同的特点,即均为二力杆。所以,桁架具有如下优点:其中各杆均只承受拉力和压力;可使材料力学性能得以较充分发挥;可减轻结构自身重量,使用材料比较经济合理。3.6平面静定桁架的内力计算

符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。在此基础之上的设计计算结果一般可以满足工程实际的要求。

按照桁架的几何组成方式可将其分为简单桁架、联合桁架和复杂桁架;其中简单桁架是在一相互铰接的三角形的基础上,每增加一个节点需增加两个杆件,如此延伸而形成一个几何形状不变的整体,如图3.20所示;联合桁架是由简单桁架组合而成的;除了上述两类桁架以外的其他形式的桁架,称为复杂桁架。若仅由静力学平衡方程即可将桁架的约束反力和各杆的内力全部求出,则称为静定桁架,反之称为静不定桁架。关于各类桁架的受力分析、计算方法等将在结构力学学科中详细讨论;而本课程主要利用平面力系的平衡方程对平面静定桁架的内力计算作一个初步的介绍。

下面举例说明计算桁架内力的两种基本方法:节点法和截面法。3.6平面静定桁架的内力计算

一、节点法【例3.9】图3.21所示为一平面桁架,几何尺寸如图所示。在节点D处受一集中力P的作用。试求桁架中各杆件所受的内力。解:欲求出各杆的内力,首先应求出桁架的约束反力,然后再对各节点进行受力分析,即可依次求出各杆内力。(1)求支座反力:以整体为研究对象,列平衡方程

解得约束反力(2)求各杆内力:在求杆件的内力时,须假设将杆件截断,再以节点为研究对象,列平衡方程即可。桁架的每个节点都是在外力(主动力和约束反力)和杆件的内力共同作用下3.6平面静定桁架的内力计算

①②③而平衡的,且构成了一个平面汇交力系。所以,对每一个节点均可列出两个独立的平衡方程,故其未知量不能超出两个。一般可先假设各杆都受拉力。本题中可依次以节点A、C、D为研究对象,其受力图如3.21(b)所示。

对节点A,列平衡方程3.6平面静定桁架的内力计算

图3.21平面桁架受力分析④⑤将代入,解得(压)(拉)对节点C,列平衡方程3.6平面静定桁架的内力计算

⑥⑦将代入,解得(压)(拉)对节点D,只有一个未知量F4,可列平衡方程解得⑧(拉)

由计算结果可知,内力F1、F3、F4为正值,表示杆件受拉;F2、F5为负值,表示与假设方向相反,杆件受压。通过以上举例,可对利用节点法求桁架内力的要点和步骤总结如下:(1)一般先应用静力平衡方程求解桁架的约束反力。(2)依次取各节点为研究对象。节点上的已知力按实际方向画出;杆件的未知内力均假设为拉力,即力的方向远离节点;所选节点所含未知量不能超过2个,否则不能全部求出。3.6平面静定桁架的内力计算

二、截面法当只需求解桁架内某个或几个杆件的内力时,可以适当地选取一截面将桁架截开,并取其一部分为研究对象,由平衡方程求出被截断的杆件的内力,这种方法称为截面法。【例3.10】用截面法求图3.22所示的桁架中指定杆件1、2的内力,载荷及几何尺寸如图所示。解:(1)取整体为研究对象,受力图如图3.22(a)所示,列平衡方程①可解得约束反力为3.6平面静定桁架的内力计算

②③图3.22桁架杆件受力分析(2)作截面m-m,取左边部分为研究对象,受力图如图3.22(b)所示,列平衡方程解得(3)作截面n-n,取右边部分为研究对象,受力图如图3.22(c)所示,列平衡方程3.6平面静定桁架的内力计算

④⑤代入,解得

在应用截面法求解桁架的内力时,应注意:在选取截面时每次最多只能截断三根杆件,因为在应用平面任意力系列平衡方程时只有三个独立的方程;在选取平衡方程时要适当选择力矩方程或投影方程,应以计算简便为原则;所有未知内力,均假定为受拉力,若结果为负值,则说明杆件受压。

在对平面桁架结构进行内力分析时,不管用节点法还是截面法,都可先根据桁架的结构特性及受力特点,勿需计算即可判断出某些杆件内力为零,从而使计算过程大为简化。在桁架中内力为零的杆称为零杆。对零杆的判断有以下四种情况:

1.无外力作用的节点连接两根不共线的杆件,则这两根均为零杆,如图3.23(a)中1、2杆均为零杆;

2.连接两不共线的杆件的节点,且有一外力与其中一杆件共线,则另一根杆件为零杆,如图3.23(b)中1杆为零杆;

3.无外力作用的节点连接三根杆件,若其中两根杆件共线,则另一根杆件为零杆,如图3.23(c)中1杆为零杆。

4.无外力作用的节点连接四根杆件,且两两共线,则共线的两杆内力相同,如图3.23(d)中所示,。3.6平面静定桁架的内力计算

图3.23零杆的四种情况试用力的平移

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