西安交大复变函数课件2-3初等函数

西安交大复变函数课件2-3初等函数2023-2026ONEKEEPVIEWREPORTING目录CATALOGUE引言复数与复变函数初等函数积分与级数微分与微分方程引言PART0103课程目标：掌握复变函数的基本概念、性质和定理，培养学生对复变函数的应用能力，为后续课程打下基础。01课程名称：复变函数02适用对象：数学专业本科生、研究生及其他对复变函数感兴趣的学生和研究者课程简介02030401学习目标理解复数的基本概念和性质，掌握复数的四则运算和共轭复数。掌握初等函数的定义、性质和图形，理解初等函数的极限、连续性和可微性。学习并掌握复变函数的积分、微分、级数和幂级数等基本运算。理解复变函数的零点和极点，以及它们在解决实际问题中的应用。复数与复变函数PART02复数的定义与表示复数的定义复数是实数域的扩展，形式为$z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。复数的表示复数可以用几何图形表示，即复平面。实轴表示实数，虚轴表示虚数，每个复数在复平面上对应一个点。复数的加法按照$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$进行。加法复数的减法按照$z_1-z_2=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i$进行。减法复数的乘法按照$(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i$进行。乘法复数的除法可以通过乘以共轭复数和乘法运算实现。除法复数的运算如果对于每个复数$z=x+yi$（其中$x,y$是实数），按照某种对应关系，有另一个复数$w=f(z)$与之对应，则称$f(z)$为复变函数。函数函数$f(z)$的定义域是使$z=x+yi$有意义的所有$x,y$的集合。定义域复变函数的定义初等函数PART03指数函数的极限当$x$趋向于无穷大或无穷小时，指数函数的极限取决于底数$a$的值。指数函数定义指数函数是一种特殊的初等函数，其形式为$f(x)=a^x$，其中$a>0$且$aneq1$。指数函数性质指数函数具有连续性、可导性、可积性等基本性质。在复数域中，指数函数可以表示为$f(z)=e^z$，其中$e$是自然对数的底数。指数函数的图像指数函数的图像通常在实数轴上呈现出单调递增或递减的趋势，其形状取决于底数$a$的值。指数函数输入标题对数函数性质对数函数定义对数函数对数函数是一种特殊的初等函数，其形式为$f(x)=log_ax$，其中$a>0$且$aneq1$。当$x$趋向于无穷大或无穷小时，对数函数的极限也取决于底数$a$的值。对数函数的图像通常在实数轴上呈现出单调递增或递减的趋势，其形状取决于底数$a$的值。对数函数具有连续性、可导性、可积性等基本性质。在复数域中，对数函数可以表示为$f(z)=lnz$，其中$ln$表示自然对数。对数函数的极限对数函数的图像幂函数是一种特殊的初等函数，其形式为$f(x)=x^n$，其中$ninmathbb{R}$。幂函数定义幂函数具有连续性、可导性、可积性等基本性质。在复数域中，幂函数可以表示为$f(z)=z^n$。幂函数性质幂函数的图像通常在实数轴上呈现出单调递增或递减的趋势，其形状取决于指数$n$的值。幂函数的图像当$x$趋向于无穷大或无穷小时，幂函数的极限也取决于指数$n$的值。幂函数的极限幂函数三角函数正弦函数正弦函数是一种特殊的三角函数，其形式为$sinx=frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$。正弦函数的图像在实数轴上呈现出周期性的波动。正切函数正切函数是一种特殊的三角函数，其形式为$tanx=frac{sinx}{cosx}$。正切函数的图像在实数轴上呈现出周期性的变化趋势。余弦函数余弦函数是一种特殊的三角函数，其形式为$cosx=frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$。余弦函数的图像在实数轴上也呈现出周期性的波动。余切函数余切函数是一种特殊的三角函数，其形式为$cotx=frac{cosx}{sinx}$。余切函数的图像也呈现出周期性的变化趋势。积分与级数PART04积分定义定积分、不定积分、反常积分等。积分性质线性性质、区间可加性、积分中值定理等。积分计算换元法、分部积分法、有理函数积分法等。积分的应用解决几何问题、物理问题等。积分级数定义收敛性、比较审敛法、极限审敛法等。级数性质级数展开级数的应用01020403近似计算、无穷序列求和等。正项级数、交错级数、绝对收敛与条件收敛等。泰勒级数、麦克劳林级数、幂级数展开等。级数幂级数与泰勒级数幂级数的形式、收敛半径等。幂级数定义泰勒级数的形式、余项公式等。泰勒级数定义将函数展开成泰勒级数的方法和步骤，以及在近似计算中的应用。泰勒级数展开将函数展开成幂级数的方法和步骤。幂级数展开微分与微分方程PART05导数定义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。导数公式对于多项式函数，可以使用求导法则（如链式法则、乘积法则、商的导数法则等）来计算导数。微分概念微分是函数在某一点的变化量的近似值，它等于函数在该点的导数与自变量变化量的乘积。导数与微分高阶导数定义函数的高阶导数是该函数的导数的导数。例如，二阶导数是函数的原函数的一阶导数的导数。高阶微分概念高阶微分是高阶导数的应用，它描述了函数在某一点的更高阶的变化率。高阶导数的应用高阶导数在分析函数的极值、拐点、曲线的形状等方面有重要应用。高阶导数与高阶微分030201微分方程定义微分方程是包含未知函数的导数的方程，通常用来描述变化率之间的关系。一阶微分方程一阶微分方程只包含一个未知函数的导数。解这类方程通常