机械控制工程时间响应分析

第三章时间响应分析主要内容

3.1时间响应的概念3.2典型的输入信号3.3一阶系统的时间响应分析3.4二阶系统时间响应分析3.5高阶系统3.6系统误差分析与计算3.1

时间响应的概念【回忆】：经典控制理论所要解决的几大问题：分析问题：系统〔包括被控对象、控制装置〕及输入，求输出；综合问题〔设计问题〕：被控对象和要求的输入输出，设计控制器；这一章要讨论的是第一类问题，并且是在时间域里，下一章将学习频率域里的响应分析。建模分析综合【时间响应】：

描述系统的微分方程的解响应：在输入作用下，系统输出从震荡到稳定下来的过程。控制系统在一定的输入作用下，输出也会有一个震荡的过程，这一过程我们称之为瞬态响应，或过渡过程；当过渡过程结束后，输出会到达一个稳定的状态，我们称为“稳态〞〔稳态响应〕；本章所研究的就是“过渡过程〞；——当然，并不是所有的“过渡过程〞都是这种形式的，不同类型的系统，会有不同的响应曲线，有的是“反复震荡的〞，有的是缓慢上升的，这跟系统的“阶次〞及输入信号的类型有关。系统的阶次：阶次就是指传递函数分母的最高阶次，也就是描述系统的微分方程的阶次。这里的“n〞即是系统的“阶次〞时间响应的组成my(t)完全解为：将初始条件带入〔2〕〔3〕可解得：整理：自由响应〔通解〕强迫响应〔特解〕零输入响应零状态响应更一般的情况通解〔自由响应〕特解〔强迫响应〕自由响应强迫响应零输入响应零状态响应由系统初态引起的自由响应由输入引起的自由响应本书所要讨论的是零状态响应！稳态响应：强迫响应瞬态响应：暂态响应，过渡过程——稳定系统的自由响应本章所要讨论的是瞬态响应！3.2

典型输入信号：阶跃信号速度〔斜坡〕信号加速度〔抛物线信号〕信号脉冲信号正弦信号随机信号1.阶跃信号R=1时

单位阶跃信号，常表示为u(t)=1(t)

R为常数R=1

时

单位斜坡信号2.斜坡〔速度〕信号3.加速度〔抛物线〕信号R=1/2

时

单位加速度信号4.脉冲信号R=1时

单位脉冲函数，记作δ(t)，也称为δ函数δ函数的重要性质δ函数的拉氏变换等于1【证明】：δ函数的重要性质结论：系统在单位脉冲函数作用下，其响应函数等于传递函数的拉氏逆变换根据被测定系统的单位脉冲响应，可以获知被测系统的闭环传递函数。单位正弦信号5.正弦信号几种典型信号之间的关系：对抛物线信号微分=

斜坡信号对斜坡信号微分=阶跃信号对阶跃信号微分=脉冲信号对脉冲信号积分=阶跃信号对阶跃信号积分=斜坡信号对斜坡信号积分=抛物线信号微分关系积分关系3.3

一阶系统的时间响应分析一阶系统：凡其动态过程可用一阶微分方程来表示的控制系统称为一阶系统。一般形式为：T称为一阶系统的时间常数。

一阶系统的单位阶跃响应t0T2T3T4T5T…∞y(t)00.6320.8650.950.9820.993…100.632Tty(t)186.5%2T95%98.2%1/T斜率3T4T结论①一阶〔惯性〕系统总是稳定的，无震荡；②当时间t=T时，曲线到达稳态值的63.2%；反之，用试验法测出响应曲线到达0.632高度点所用的时间，就可近似求出惯性环节的时间常数T。③当时间t=0时，曲线的斜率为1/T，即，U(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点形成系统响应的瞬态分量。这一结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。

一阶系统的单位脉冲响应结论：一阶系统的单位脉冲响应是一单调下降的指数曲线；定义过渡过程为：衰减到初值2％之前的过程，那么可算得相应的时间为4T，记为调整时间：ts。

一阶系统的单位斜坡响应结论：一阶系统的斜坡响应存在稳态误差T，显然，时间常数越小，稳态误差越小。线性定常系统的重要特点输入输出斜坡阶跃脉冲，

3.4

二阶系统的时间响应分析研究二阶系统的意义：一般的控制系统均系高阶系统，但在一定准确度条件下，可忽略某些次要因素近似用一个二阶系统来表示，因此比较有实际意义。

二阶系统的特征方程与零点、极点欠阻尼

无阻尼

临界阻尼

过阻尼

二阶系统单位阶跃响应欠阻尼情况：0<<1无阻尼情况：

=0临界阻尼情况:

=1过阻尼情况:

>1讨论〔1〕：欠阻尼情况0<<1讨论〔2〕：无阻尼情况=0讨论〔3〕：临界阻尼情况=1讨论〔4〕：过阻尼情况>1计算说明，在>1.5时，在两个衰减指数项中，的衰减比要快得多，因此，过渡过程的变化以为主要作用。从s平面来看，愈靠近虚轴的根，过渡过程的时间愈长，对过渡过程的影响愈大，更起主导作用。小结无阻尼

=00ty(t)1s平面s1s2欠阻尼0<

<1y(t)0t10βs平面s2s1临界阻尼

=10t1y(t)0s平面s1,20s平面s1s20t1y(t)过阻尼

>1结论：①欠阻尼时，二阶系统单位阶跃响应函数的过渡过程为衰减震荡，且随着阻尼的减小，其振荡特性表现得愈加强烈；在=0时到达等幅振荡。②=1和>1时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性。在无振荡单调上升的曲线中，以=1时的过渡时间最短。③欠阻尼系统，当=0.4~0.8时，不仅过渡过程时间比=1时更短，且振荡并不严重。因此，一般希望二阶系统工作在=0.4~0.8的欠阻尼状态，因为这个工作状态振荡特性适度而持续时间又较短。3.4.3二阶系统响应的性能指标通常系统的性能指标，是根据系统对单位阶跃输入的响应给出。其原因有二：①产生阶跃输入比较容易；②阶跃是最不利的输入情况；如前述，系统通常工作在欠阻尼情况下，因此，都是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应而言的。上升时间tr峰值时间tp百分比超调量Mp调节时间ts振荡次数N第一次到达稳态值时间响应曲线第一次进入误差带时间到达最大值时间tr)(¥y1.00y(t)误差带5%或2%Mptstp响应曲线最大值与稳态值之差

在调节时间内响应曲线穿越其稳态值次数的一半〔1〕上升时间tr:响应曲线第一次到达稳态值时间当

n一定时，

越小，tr越小；当

一定时，

n越大，tr越小。〔2〕峰值时间tp：响应曲线到达第一个峰值所需的时间。当

n一定时，

越小，tp越小；当

一定时，

n越大，tp越小。〔3〕超调量Mp:响应曲线最大值与稳态值之差所以超调量是阻尼比

的函数，与

n的大小无关。

增大，超调量减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比

取在之间,相应的超调量25%-1.5%。(4)调节时间ts：响应曲线第一次进入误差带时间

Td为阻尼振荡的周期。(5)

振荡次数N:在调节时间内响应曲线穿越其稳态值次数的一半总结：tr,tp和ts表示控制系统对输入信号反响的快速性;Mp%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度;其中ts和Mp%是最重要的两个动态性能的指标。在设计系统时，通常由要求的最大超调量决定,而调节时间那么由无阻尼振荡频率n来决定。例:单位反响系统的开环传递函数为设系统的输入量为单位阶跃函数，试计算放大器增益KA=200时，系统输出响应的动态性能指标。当KA增大到1500时或减小到KA=13.5，这时系统的动态性能指标如何?解:系统的闭环传递函数为:

那么根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式，可以求得:由此可见，KA越大，

越小，

n越大，tp越小，Mp%越大，而调节时间ts无多大变化。系统工作在过阻尼状态，峰值时间，超调量和振荡次数不存在，而调节时间可将二阶系统近似为大时间常数T的一阶系统来估计，即:为大时间常数T的一阶系统来估计,即:

调节时间比前两种KA大得多，虽然响应无超调，但过渡过程缓慢，曲线如下：单位脉冲响应：可由阶跃响应求导数得到3.5

高阶系统【定义】：用高阶微分方程描述的系统。特征方程有n个特征根，其中n1个为实数根，n2对为共轭复根，应有：n=n1+2n2因此特征方程可以分解为n1个一次因式及n2个二次因式设系统传递函数的m个零点为-zi〔i=1,2,…,m〕，那么系统的传递函数可写为其中，第一项为稳态分量，第二项为指数曲线〔一阶系统〕，第三项为振荡曲线〔二阶系统〕。因此，一个高阶系统的响应可以看成是多个一阶环节和二阶环节响应的叠加。闭环主导极点的概念【定义】：高阶系统中，离虚轴最近的极点，其实部小于其它极点实部的1/5，并且附近不存在零点，可以认为系统的动态响应主要由这一极点决定，称为主导极点。可将主导极点为共轭复数的高阶系统，降阶近似作二阶系统来处理。Res1s2s3Ims4s53.6

系统的误差分析与计算

系统误差的概念“准确〞：输出量精确地到达期望值。“误差〞：期望数值与实际数值之差。误差产生的原因：元件老化、磨损、非线性等原因；随机干扰带来的误差；系统结构等固有因素决定的误差。系统误差的组成：瞬态＋稳态系统的“误差〞：以系统输出端为基准来定义的，系统的“偏差〞：以输入端定义的。系统的“误差〞:以系统输出端为基准来定义的。系统的“偏差〞：以输入端为基准定义的。G(s)H(s)U(s)u(t)B(s）b(t)E(s)

(t)Y(s)y(t)-单位反响系统，稳态偏差等于稳态误差！！！G(s)H(s)U(s)u(t)B(s）b(t)E(s)

(t)Y(s)y(t)-由终值定理得稳态偏差为：由上可知，稳态偏差不仅与系统的特性〔系统的结构与参数〕有关，而且与输入信号的特性有关。稳态偏差G(s)H(s)U(s)u(t)B(s）b(t)E(s)

(t)Y(s)y(t)-由终值定理得稳态误差为：稳态误差

稳态偏差的计算设系统的开环传递函数式中，为串联积分环节的个数，或称系统的无差度，它表征了系统的结构特征。假设记那么可将系统开环传递函数表达为系统的型别工程上一般规定：

=0，1，2时分别称为：0型，I型和II型系统；

型别愈高，稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此，一般系统不超过III型。〔1〕单位阶跃输入时系统的稳态偏差〔2〕单位斜坡输入时系统的稳态偏差〔3〕单位加速度输入时系统的稳态偏差〔1〕单位阶跃输入时系统的稳态偏差结论I型或以上的系统〔开环传递函数中有积分环节〕，对阶跃输入的响应是无差的。0型系统〔没有积分环节〕对阶跃输入的响应有差的。为了减少误差，应当适当提高放大倍数，但过大的K值，将影响系统的相对稳定性。〔2〕单位斜坡输入时系统的稳态偏差称为速度无偏系数。，，，u(t)=Rty(t)tⅠ型系统的速度误差0型系统不能跟随斜坡输入；I型系统虽然能跟随斜坡输入，但是有差；II型或高于II

型的系统，对斜坡输入的响应是无差的。结论〔3〕单位加速度输入时系统的稳态偏差u(t)=0.5Rt2y(t)tⅡ型系统的加速度误差当输入为加速度信号时，0型、I型系统不能跟随，II型系统为有差；假设要无差，那么需要采用III形或高于III的系统。结论系统的型别系统的输入单位阶跃输入单位斜坡输入单位加速输入0型系统∞∞I型系统0∞II型系统00【总结】①增加型别将提高系统准确度；然而增加开环传递函数中积分环节数目，系统稳定性将变差〔开环传递函数中包含两个以上积分环节时，要保证系统的稳定性不容易，实际上也极少采用〕。②增大K可有效提高系统的准确度，但也会使系统稳定性变差，因此稳定性与准确性是矛盾的，需统筹兼顾。③根据线性系统叠加原理，可知当输入信号是上述典型信号的线性组合时，即输出量的稳态偏差应是它们