期中复习全等三角形培优学案（横版）

全等三角形期中复习

适用学科初中数学适用年级初中二年级

适用区域全国新课标课时时长（分钟）60分钟

1.全等三角形的概念及性质

知识点2.三角形全等的判定

3.角平分线的性质及判定

一、知识与技能

学习目标1、能叙述全等三角形的定义及相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角；

2、掌握全等三角形的性质，会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些

实际问题；

3、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

4、能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形

全等的性质解决实际问题，体会数学与实际生活之间的联系；

5、了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；

6、掌握角平分线的性质和判定；

7、综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。

二、过程与方法

1、以学生为主，带领学生复习巩固，当学生遇到想不起来或者记忆不太清的知识

点需要重点复习；

2、把握重难点、考点结合学生的实际以及期中考试的热点问题、经典例题进行针

对性的巩固训练；

3、让学生体会全等三角形的对应关系，分析不对应写的后果，让学生总结、养成

良好的习惯；

4、引导学生由简单到复杂，通过实例操作、总结、归纳出证明三角形全等的一般

方法与证明过程；

5、先让学生用尺规作图画出角的角平分线，让后让学生总结出角平分线的性质与

判定；

6、通过例题，进一步让学生初步掌握分析证明的方法。

三、情感、态度与价值观

1、培养学生归纳、推理的能力；

2、培养学生迁移类推的能力；

3、培养学生积极参与数学活动，对数学有强烈的好奇心和求知欲；

4、在学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心；

5、体会数学的特点，了解数学的价值。

学习重点全等三角形的性质、判定；角平分线的性质与判定

1、掌握用综合法证明的格式；

学习难点2、选用合适的判定定理证明两个三角形全等；

3、初步理解图形的全等变换，从而学会恰当添加辅助线。

学习过程

一、复习预习

(-)与三角形有关的线段

1、三角形的中线、高线、角平分线

三角形

的

定义图形表示法说明

重要线

段

从三角1.是△48C的三角形有三

A

形的一8c边上的高线。条高，且它们

三角形

2.AD1BCTD

个顶点拄o(或它们的

的高线BDC3.

向它的延长线)相交

ZADB=ZADC=90

对边所于一点，这个

o

在的直交点叫做三

线作垂角形的垂心。

线，顶点

和垂足

之间的

线段。

三角形有三

三角形

条中线，都在

中，连接

1.八。是/XABC的三角形的内

—顶A

三角形8c边上的中线。部，且它们相

点和它

的中线交于一点，这

42.BD=DC=-BCO

对边中2

个交点叫做

点的线

三角形的重

段。

心。三角形的

重心在三角

形的内部。

三角形

三角形有三

—内

条角平分线，

角的平

都在三角形

分线与

的内部，且它

三角形它的对41.AD是/VlBC的

们相交于一

的边相交，N84C的平分线。

点，这个交点

角平分连接这2.Z1=Z2=,

2叫做三角形

线个角的ZBAC

O的内心。

顶点与

三角形的内

交点之

心在三角形

间的线

的内部。

段。

2、三边关系

①判断三条线段能否构成三角形，最简捷的方法是：用两条较短的线段的长度之和与最长线段的长度

进行比较，若两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度，则这三条线段可以组成三角形；否则不能

组成三角形。

②已知两边长求第三边长的取值范围的方法：已知三角形两边长为a,b,则第三边长x的取值范围

是,-4<x<a+bo

(二)与三角形有关的角

1.三角形内角和定理

(1)定理：三角形内角和是180°BPzA+zB+zC=180°

(2)作用：它是三角形三个内角必须满足的条件；它实际上提供了三个内角满足的一个等量关系，是

求三角形角度时常用的一个条件。

(3)定理形式的变形：

①//=180°-乙B-乙C;②)乙B+Z-C—180°-Z.A

-ZA+-ZB+-ZC=90°

③222(数学中的公式不是一成不变的，它可以变通。)

2.直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余；直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三

角形。

3.三角形的外角及三角形内角和定理的推论

(1)三角形外角：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角。

(2)三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

(3)三角形的外角和是360%

（三）总结提升

1.在三角形中进行有关角的计算时，要注意三角形内角和定理这一隐含条件的应用；

2.“直角三角形的两个锐角互余"和"有两个角互余的三角形是直角三角形〃是直角三角形的重要性质及

判定，利用此性质和判定比应用三角形内角和定理更直接、便捷；

3.本讲中很多求角的度数的问题都可以采用列方程的方法来解答；

4.三角形的外角和与它相邻的内角互为邻补角。

（四）多边形及其内角和

1、多边形的有关概念

①多边形的定义

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

注意：（1）理解多边形的定义要从以下两方面考虑：一是"在同一平面内"；二是"一些线段首尾顺次相

接"；两者缺一不可。

（2）多边形通常以边数来命名，具有〃条边的多边形叫〃边形。三角形、四边形都属于多边形。

②.多边形的内角、外角、对角线的概念

多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

注意：从〃边形的一个顶点可以引出（〃-3）条对角线，过〃个顶点有"（"3）条对角线，但每条对角

—3）

线都计算了两遍，所以〃边形共有〒'条对角线。

③.正多边形的概念

各边相等各角也相等的多边形称为正多边形。

注意：正多边形必须同时满足两个条件：一是“各边相等〃、二是"各角也相等"，两者缺一不可。例如,

各角都相等的四边形是矩形；各边相等的四边形是菱形。只有各角相等，各边也相等的四边形是正方形

（正四边形I

（五）多边形的内角和

1.一般地，〃边形的内角和等于（〃-2）」80（«>3）e

探究方法：由于从〃边形的一个顶点可引（"-3）条对角线，这些对角线把〃边形分成（"-2）个三

角形，每个三角形的内角和是180。，所以〃边形的内角和为（"2）J80。，而正〃边形的每个内角为

（”-2）.180。

n

2.任何多边形的外角和都等于360%

探究方法：由于〃边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180。，〃个外角连同它们各自相邻

的内角共有2〃个角，这些角的总和等于〃」8。。，所以外角和为人18。°-("2).18。。=360。，即多边形的外角

和为360°

(六)总结提升

方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一。用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知

量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到

解决。方程思想应用非常广泛，我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题。

（七）总结提升

1.利用多边形的内角和公式伍-2）/80。解决实际问题时，如果知道〃的值，那么可以直接求出〃边形的

内角和；如果知道多边形的内角和，那么可以根据多边形的内角和公式（-2）」8。。构造方程，通过解方程

求得边数。

2.利用多边形的外角和等于360。解决问题时，应真正理解多边形的外角和与边数无关。所以，在解决

多边形问题时常把内角问题转化为外角和问题解决。

二、知识讲解

考点/易错点1

全等三角形的概念性质

1.全等三角形的基本概念:

(1)全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

(2)全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。

⑶全等三角形的表示方法：SBCS'B'C

2.全等三角形的性质：

Q)全等三角形的对应边相等；

(2)全等三角形的对应角相等。

考点/易错点2

在运用全等三角形的基本性质时其关键是找对应边，对应角，找对应边和对应角通常有以下几种方法：

①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

③有公共边的，公共边是对应边；

④有公共角的，公共角是对应角；

⑤有对顶角的，对顶角是对应角；

⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应

边（或对应角）o

考点/易错点3

全等三角形的判定

I.全等三角形判定1:三边对应相等的两个三角形全等(SSS);

2.全等三角形判定2:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);

3.全等三角形判定3:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);

4.全等三角形判定4:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);

5.全等三角形判定5:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

考点/易错点4

证明三角形全等的思路

通过对问题的分析）等解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，

可以按下图思路进行分析：

找夹角->S4S

已知两边4找第三边fSSS

找直角f4L

边为角的对边f找任一角TAAS

找夹角的另一边fSAS

已知一边一角《

边为角的邻边找夹边的另一角—4SA

找边的对角->44S

,找夹边-^ASA

已知两角4

找任一对边->AAS

切记："有三个角对应相等"和"有两边及其中一边的对角对应相等"的两个三角形不一定全等。

考点/易错点5

利用三角形全等判断线段（或角）相等的一般方法

（1）把要判断相等的线段（或角）作为三角形的边（或角）的两个三角形找出来；

（2）证明这两个三角形全等；

（3）根据全等三角形的性质得出要判断的线段（或角）相等。

,___________________________________________0

注意：在求证两条线段或者两个角相等时，利用三角形全等的性质来证明

是比较常用的方法，其中确定出边或角所在的三角形是关隆.

考点/易错点6

角平分线的性质、判定

Q)角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等

角平分线性质的符号语言：

在4。8的平分线上

POJ.OA于£),PELOB于E

PD=PE

B

0E

(2)角平分线的判定

到角的两边距离相等的点在角的平分线上

角平分线判定的符号语言：

PDIOA^D,PE_LOB于E

且PD=PE

丁产在408的平分线上

(或写成。P是4。8的平分线)

/A

D/

0EB

考点/易错点7

提分技巧

角平分线的性质和判定，它们都可以通过三角形全等得出证明；这样,我们又得到了证明线段相等或角

相等的一种方法。在解题中若能用它们直接得出线段或角相等时，就不需要再通过证明三角形全等来间

接证明，这样可以减少这一条件麻烦。

在利用角平分线的性质时，可由"角平分线"和"距离"这两个条件得出线段相等，这两个条件缺一不

可；同理，在利用角平分线的判定这一条件时，可由"距离"和"线段相等"这两个条件得出角平分线，

这两个条件也是缺一不可的。

三、例题精析

[例题1]

【题干】如图，SBdADE,且NCAD=10。，zB=zD=25°,zEAB=120°,求NDFB和NDGB的

度数.

【答案】zDFB=90°,zDGB=65°.

【解析】解:•.△ABC2ADE,

/.zDAE=zBAC=1(zEAB-zCAD)=|(120°-10°)=55°.

/.zDFB=zFAB+zB=zFAC+zCAB+zB=10o+55o+25o=90°

zDGB=zDFB-zD=90°-25°=65°.

[例题2]

【题干】如图，A、D、E三点在同一直线上，且ABAD当ACE,试说明：

(1)BD=DE+CE;

(2)AABD满足什么条件时，BDIICE?

【答案】(1)见解析(2)AABD满足NADB=90。.

【解析】(1)解：..△BAD当ACE,

.-.BD=AE,AD=CE,

.-.BD=AE=AD+DE=CE+DE,

即BD=DE+CE.

(2)解：AABD满足NADB=90°时，BDllCE,

理由是:•「△BAD¥ACE,

/.zE=zADB=90°（添力口的条件是NADB=90°）,

/.zBDE=180o-90o=90°=zE,

.,.BDllCE.

[例题3]

【题干】（日照三模）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，

正方形BEFG的边长为4,则ADEK的面积为。

【答案】16.

【解析】解：如图，连DB,GE,FK,则DBllGEllFK,J——

在梯形GDBE中，SADGE=SAGEB（同底等高的两三角形面积相等）,

同理SAGKE=SAGFE.r）

-S阴影:SADGE+SAGKE,

=SAGEB+SAGEF,

=S正方形GBEF,

=4x4BE

=16

[例题4]

【题干】(云南)如图，点B在AE上，点D在AC上，AB二AD.请你添加一个适当的条件，使^ABC

^△ADE(只能添加一个).

(1)你添加的条件是_________.

(2)添力口条件后,请说明^ABCgAADE的理由.

【答案】⑴zC=zE(2)见解析.

【解析】解：(1).AB=AD,NA=NA,

・，若利用"AAS",可以添加NC=NE,

若利用"ASA”,可以添力口NABC=NADE,或NEBC=NCDE,

若利用"SAS",可以添加AC=AE,或BE=DC,

综上所述，可以添力口的条件为NC=NE(或NABC=NADE或NEBC=NCDE或AC=AE或

BE=DC);

故答案为：zC=zE;

(2)选NC=NE为条件.

‘4力=44

理由如下:在ABC和AADE中

=AD

••.△ABC¥ADE(AAS).

[例题5]

【题干】如图.在AABC和ADEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件.请你在其

中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的结沦，并说明理由.①AB二DE;

②AC=DF;③NABC=NDEF;④BE=CF.（填写序号即可）

已知:_______________

结沦：______________

理由：

【答案】已知：①②④结论：③

【解析】解：已知：①②④结论：③

证明:vBE=CF,

••.BE+EC=CF+EC.

/.BC=EF.

‘AB=DE

△ABC和aDEF中＜=DF,

、BC二EF

・・.△ABC¥DEF(SSS).

.-.zABC=zDEF.

[例题6]

【题干】已知：如图,ABllCD,AB=CD,求证:ADIIBC,AD=BC

【答案】见解析.

【解析】证明：连接BD

4/ABIICD

.'.Z1=Z2

在MDB和MBD中，

(AB=CD

..ZABD=zCDB

BD=DB

「.△ADB-CBD(SAS)

/.AD=BC,ZADB=ZCBD

/.ADIIBC

综上：ADIIBC,AD=BC

[例题7]

【题干】如图，BE±AE,CF±AE,ME=MFO

求证：AM是SBC的中线。

【答案】见解析

【解析】证明：TBELAE,CF±AE

/.zBEM=zCFM=90°

在^BME和^CMF中，

NBME=NCMF

ME=MF

ZBEM=ZCFM

・•.△BME以CMF(ASA)

/.BM=CM

/.AM是SBC的中线。

[例题8]

【题干】已知：BC=EF,BCllEF,zAzD,zABF=zDECo求证:AF=DCe

【答案】见解析

【解析】证明：连接BE

•/BCllEF

.".zFEB=zCBE

在ABFE和^ECB中，

EF=BC

ZFEB=ZCBE

BE=EB

・•.△BFE以ECB(SAS)

/.BF=CE

在“kBF和ADEC中,

4=NO

ZABF=ZDEC

BF=EC

「.△ABF9DEC(AAS)

.-.AF=DC

[例题9]

【题干】已知：如图4。为的高，E为AC上一点，蛇交于口，且有8F=AC,FD=CD。求证：

BELAC

【答案】见解析.

【解析】证明：•••AD_LBC/NBDA-NADC-90

在RtAAC。和RtABFD中，=黑

<CD=FD

・•.R9CD”仙BFD(HL)

-O

­•"=〃（全等三角形对应角相等）

.•.4+/2=90。（直角三角形两锐角互余），4+NC+NBEC=180。，

ZBEC=90°BELAC

【例题10]

【题干】如图，4。是18c的角平分线，OOAB,DF1AC,垂足分别是"。连接EF,交距于点G。

说出AC与所之间有什么关系？证明你的结论。

【答案】EFLAD,且EG=FG.

【解析】证明：:A。平分44c

DELAB,DFLAC,垂足分别是瓦尸

DE=DF

在Rt\DEA和Rt\DFA中

.rDE=DF

■IAD=AD

Rt\DEA=Rt\DFA(HL)

NADE=^ADF

在^DGE和^DGF中

'DE=DF

ZGDE=ZGDF

DG=DG

\DGE=\DGF(SAS)

EG=FG,NDGE=ZDGF=90°

...EFLAD,且EG=FG.

【例题11]

【题干】

如图，RG是0A上两点，M，N是08上两点，且FG=MN,S,PFG=S,PMN；试问点P是否在NA02的平

分线上？

【答案】是.

【解析】证明：过点P作P0L0A于D,PE1.08于E

,.S&PFG=^FGPDSgMN=gMN.PE

S&PFG-5MAfN

・I

LFGPD=>MNPE

22

文,,FG=MN

PD=PE

0

又・「PO_LO4于D,PE10B^£f，户在40B的平分线上。MENB

【例题12]

【题干】如图,已知在MBC中，BD=DC,Zl=Z2o

求证：AD平分4AC。

【答案】见解析.

【解析】证明：过点D作。E48于E,Of于F

BC

故，NBED=NCFD=90°

在ABDE与ACO尸中

2BDE=ZCFD

zl=Z2

.BD=CD

\BDE=\CDF(AAS)

DE=DF

又•「DEIAB于E,"_L4C于F,AD平分NBAC.

四、课堂运用

【基础】

1.如图,AABC^ADEF,zA=25°,zB=65°,BF=3cm,求NDFE的度数和EC的长.

【答案】ZDFE=9O°,EC=3cm.

【解析】解：^ABC中/A=25°,NB=65°,

.*.zBCA=180°-zA-zB=180o-25o-65o=90°,

.「△ABC%DEF

••.NBCA=NDFE,BC=EF,

.,.EC=BF=3cm.

/.zDFE=90°,EC=3cm.

2.如图,已知△EFG^^NMH,zF与NM是对应角.

(1)写出相等的线段与角.

(2)若EF=2.1cm,FH=l.lcm,HM=3.3cm，求MN和HG的长度.

【答案】⑴见解析；⑵MN=2.1cm,HG=2.2cm.L

【解析】解：(1)•••△EFG%NMH,zF与NM是对应角，

/.EF=NM,EG=NH,FG=MH,zF=zM,zE=zN,zEGF=zNHM,

/.FH=GM,zEGM=zNHF;

(2)vEF=NM,EF=2.1cm,

/.MN=2.1cm;

\FG=MH,FH+HG=FG,FH=l.lcm,HM=3.3cm,

/.HG=FG-FH=HM-FH=33-l.l=2.2cm.

3、（天水）如图，已知MBC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于

点F.

（1）求证：△ABE^^CAD；

（2）求NBFD的度数.

【答案】⑴见解析；（2）60。.

【解析】（1）证明：."ABC为等边三角形，

/.ZBAE=ZC=60°,AB=CA,在MBE和MAD中,

AB=CA

<Z.BAE=Z.C/

、AE=CD

」.△ABE呈MAD(SAS).

(2)解：•「NBFD=NABE+NBAD,

又〈△ABE空"AD,

/.ZABE=ZCAD.

/.ZBFD=ZCAD+ZBAD=ZBAC=60°.

4.（义乌市）如图，在SBC中，点D是BC的中点，作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点

E、F，连接CE、BF添加一个条件，使得YDF¥CDE,并加以证明.你添加的条件是_____________（不

添加辅助线）.yk

【答案】DE=DF（或CEIIBF或NECD=NDBF或NDEC=NDFB等）.3y

【解析】解：（1）添力口的条件是：DE=DF（或CEIIBF或NECD=NDBF或NDEC=NDFB等）.

2）证明:在ABDF和ACDE中

'BD=CD

乙EDC=乙FDB

DE=DF

「.△BDF2CDE(SAS).

5.（宜宾）如图,已知：在MFD和"EB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF,NB=ND,ADIIBC.求

证：AD=BC.

【答案】见解析.

【解析】证明：VADIIBC,

/.ZA=ZC,

•/AE=CF,

/.AE+EF=CF+EF,即AF=CE,二•在MDF和"BE中

'NB=ND

<ZA=ZC,

<AF=CE

...△AD0CBE(AAS),/.AD=BC.

6.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知

识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？

【答案】见解析.

【解析】解：要测量A、B间的距离，可用如下方法:

过点B作AB的垂线BF,在BF上取两点C、D,使CD=BC,

再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上,

\ZACB=ZECD,CB=CD,ZABC=ZEDC,

「.△EDC¥ABC(ASA).

/.DE=BA.

答：测出DE的长就是A、B之间的距离.

7.如图所示，在^ABC中,ZC=90°,AC=BC,AD是NBAC的平分线，DE±AB,垂足为E,若AB=10cm,

求ADBE的周长.

A

【答案】10cm.卜

【解析】解：求^DBE的周长,即求DE+EB+BD的值.I

•「AD平分NCAB,且NC=90°,DE_LAB,CDB

/.DC=DE.

可证△ACDMMED.「.AC=AE.

又.AC=BC,

」.DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB.

又.AB=10cm,

/.△DBE的周长=DB+BE+DE=10cm./.△DBE的周长是10cm.

【巩固】

L(南京)如图，四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O,△ABC^ABAD.

求证:(1)OA=OB;(2)ABllCD.

【答案】见解析.

【解析】证明：(1).「△ABC*BAD,

/.zCAB=zDBA,

.*.OA=OB.

(2),/△ABC^^BAD,

.*.AC=BD,

又..OA=OB,

.*.AC-OA=BD-OB,

即：OC=OD,

/.zOCD=zODC,

,/zAAOB=zCOD,zCAB=-1-8-0--°---z-lA--O-B,zAACD=--1-8-0-°-—--乙-C--O-D-,

'2'2'

/.zCAB=zACD,

/.ABIICD.

2.如图，在AABC中，zC=90°,AC=BC,AD平分NCAB交于BC于点D,DE±AB于点.若

△DBE的周长是16cm,则边AB的长是______________cm

［答案］16cm.

AEB

【解析】解：:AD是/BAC的平分线，DE±AB,zC=90°,

」.△ACD—AED,

/.CD=DE,AE=AC,

・•.△DBE的周长

=DE+EB+DE

=CD+DB+EB

=BC+EB

=AC+EB

=AE+EB=AB=16cm.

3.（焦作一模）已知:如图,R3ABC中，ZACB=90°，AC=BC,点D为AB边上一点,且不与A、B两点

重合，AE±AB,AE=BD,连接DE、DC.

（1）求证：△ACE乎BCD；

（2）猜想：△DCE是________三角形；并说明理由

【答案】Q）见解析；（2）等腰直角.

【解析】（1）证明：••・NACB=90°,AC=BC,

/.zB=z2=45°.

,••AE_LAB,

.\zl+z2=90°.

.\zl=45°.

CB

/.zl=zB.

在SCE和aBCD中,

fAE=BD

•••<41=4B,

、AC二BC

••.△ACE乎BCD(SAS).

(2)猜想:ADCE是等腰直角三角形；

理由说明：

,「△ACE2BCD,

.*.CE=CD,z3=z4.

,.z4+z5=90°,

.•.N3+N5=90°,即NECD=90°,.“DCE是等月要直角三角形.

4.（荆州）如图,△ABC与"DE均是等腰直角三角形,ZACB=ZDCE=90°,D在AB上,连结BE.请找

出一对全等三角形，并说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解:△ACD^BCE.

证明如下,「NACB=NDCE=90°,

/.ZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB,

即NACD=NBCE.

・「△ABC与MDE均是等腰直角三角形，NACB=NDCE=90°,

.,.CA=CB,CD=CE,

在MCD和MCE中,

'CD=CE

<^ACD=乙BCE,

^ACD=乙BCE

」.△ACD*BCE.

5.在AABC中，AD是NBAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且NEDF+NEAF=180°,求证DE=DF.

【答案】见解析.

【解析】证明：过D作DMJLAB，于M,DN_LAC于N,

即NEMD=NFND=90°,

•「AD平分NBAC,DM±AB,DN±AC,

・•.DM=DN（角平分线性质），

,/ZEAF+ZEDF=180o,

.,.ZMED+ZAFD=360°-180°=180°,

,/ZAFD+ZNFD=180°,

/.ZMED=ZNFD,

在aEMD和aFND中

ZMED=乙DFN

<乙DME=^DNF,

、DM=DN

.,.△EMD乎FND(AAS)

.,.DE=DF.

【拔高】

1.如图，ZACB=90°,AC=BC,D为AB上一点，AE_LCD,BF_LCD,交CD延长线于F点.求证：BF=CE.

【答案】见解析.

【解析】证明：vzACB=90°,

.-.zACE+zBCF=90°.

•.AE±CD,BF±CD,

/.zAEC=zF=90°,

/.zEAC+zACE=90°,

/.zEAC=zBCF.

在^AEC和4FB中

r^EAC=乙BCF

<Z.AEC=Z-F»

、AC=BC

••.△AEC2CFB(AAS)

/.CE=BF.

2.已知凸四边形ABCD中,zABC+zADC=180°,AC平分/BAD，过C作AB的垂线交AB于E,求

证：AE《（AB+AD）.

【答案】见解析.

【解析】证明：过C作CM±AD于M,

\CE±AB,

.-.zM=zCEB=90°,

•.zABC+zADC=180°,zADC+°,

/.zB=zMDC,

•・AC平分/BAD,CM±AD,CE±AB,

.*.CM=CE,zMAC=zEAC

在aMAC和^EAC中,

AMAC=^EAC

<^M=^AEC=90°,

、AC=AC

••.△MA8AEAC(AAS),

/.AM=AE,

•.zM=zBEC=90°,

・•・在RbDMC和RbBEC中

CD=BC

CM=CE'

•••RbDMSRbBEC(HL)

/.BE=DM,

.".AB+AD

=AE+BE+AD

=AE+DM+AD

=2AM

=2AE,

即AE=|(AB+AD).

3.如图，在SBC中，zB=60°,AD,CE是SBC的角平分线，且交于点。.求证：AC=AE+CD.

【答案】见解析.

【解析】证明：在AC上取AF=AE,连接OF,

•.AD平分NBAC、

.*.zEAO=zFAO,

在SEO与AAFO中，

'AE=AF

</.EAO=Z.FAO/

、AO=AO

BDC

・•.△AEO¥AFO(SAS),

03a7H0。HY

、8ns▼

-P