计算机组成原理课件-第3章-计算机中的算术运算

第三章计算机中的算术运算

第1讲:算术逻辑单元ALU(>1)

定点加减运算

第2讲:定点乘除运算

运算器组织、浮点运算、本章复习

1

-1-

3.1算术逻辑单元ALU

ALU是运算器的核心组成部分,以逻辑运算为基础.

ALU的核心部件是加法器.

3.1.1加法器及其进位结构

2

-2-

门电路的几种表示方法

与或与非或非异或异或非非

(AND)(OR)(NAND)(NOR)(EXOR)(EXNOR)(NOR)

输

ABXY=AdBY=A+BY=ABY=A+BY=A®BY=AeBY=A

000011011

010110101

100110100

111100010

A___DA1\Y

-NlY

廿■好打

B-

以A.A__A_kY2AY

部一上〜+X一,■->-►

标呼

BB

国

外AAAAA

A

流心

」B

注:表中的国标符号引用ANSIIEEEStd.91—1984：国外流行符号引用补充ANSIIEEEStd.91a—1991

3

-3-

一、半加器

图3・1半加器框图及真值表

4

-4-

G+i=AiBi

㊉

E=45.+AiBi=44

Si

AiBj

图3・2半加器逻辑电路

5

-5-

二、全加器

si

ci+1

AiBi

3-3全加器框图及真

值表

6

-6-

Sj=Aj®BjeCj

Cj+1=AjBj+AjCj+BjCj

=AiBi+(Aj+Bi)Ci

=AjBj+(AjeBj)Cj

.5ty

3-4全加器逻辑电路

7

-7-

Fulladderconstructedfrom2HalfAdders!

8

-8-

三、串行加法器

图3・5串行加法器框图

-9-

四、并行加法器

①进位公式分析

Ci+l=AjBi+(Ai®Bi)Ci

=AjBi+(Ai+Bi)Ci

定义两个辅助函数

Gj=AjBj

Pi=Aj©Bi

Gi(CarryGenerateFunction)

Pj(CarryPropagateFunction)

10

-10-

Ci+1=Gi+PjCj

②串行进位加法器(RippleCarryAdder)

S3S2S1SO

A3B3A2B2A1B1A0BO

图3・6见位串行进位加法器框图

11

-11

C1=G0+P0C0

C2=G1+P1C1

C3=G2+P2C2

I

I

I

Cn=Gn-1+Pn-1Cn-1

最长进位延迟时间为[4+2.5(n-1)]ty,

形成最后和的时间是[4+2.5(n-2)+1.5]ty,

与n成正比.

12

-12-

③先行进位加法器

提高加法器运算速度的关键是消除行波进位中进位逐

位串行传播,让各位进位独立同时形成.

13

_13_

C1=G0+P0C0

C2=G1+P1C1=G1+P1(G0+P0C0)

C3=G2+P2c2

=G2+P2(G1+P1(GO+POCO))

C4=G3+P3C3

=G3+P3(G2+P2

(G1+P1(G0+P0C0)))

14

-14-

展开并整理得到

C1=G0+P0C0

C2=G1+P1G0+P1P0C0

C3=G2+P2G1+P2P1G0+P2P1POCO

C4=G3+P3G2+P3P2G1+P3P2PlGO

+P3P2P1P0C0（图3・8）

先行进位CLA（CarryLookAhead）力口法器（图3・9）.

15

-15-

Pi

=1

AiBj

图I位并行进位线路

-16-

④组间行波进位加法器

图3・11组间行波进位形成过程

-18-

S14S12S10SsS6s4S2So

Si15S13SuS907S5S3S1

iffiit"j［

wiMrwLiranra行ti

CLACLACLA

1l

/nU\Jium\*

AI5A14Al3A12Al1AloA9AsA7A6A5A4A3A2A1A0

B15B14B13B12B11B10B9B8B7B6B5B4B3B2B1B0

16位组间行波进位加法器

19

-19-

⑤两嘤行进位加法器

Gi为第i组先行进位加法器的进位

产生函抑，

Pi为第i组先行进位加法器的进位传

递函*数

Gi=G4i+3+P4i+3G4i+2+P4i+3P4i+2G4i+1

*+P4i+3P4i+2P4i+lG4i

Pj=P4i+3P4i+2P4i+1P4i,i=0,1,2,3

20

-20-

小组间产住四个进位

C4=G0+P0*CO***

C8=G1+P1GO+P1POCO*

C12=G2*+P?GJ+P2P1GO+

P2rP11*POwCOw***

C16=G3+P3G2+P3P2G1+

P3P2P1GO+P3P2P1POCO

21

-21-

图雷组间先行进位BCLA(Block

CarryLookAhead)部碎

22

-22-

一ZJ一

Cl6组间先行进位部件BCLA

C4

C8

Si

So

四位四位gl位Co

CLAJAA

加盘器

加法器c8

Al5A14Al3A12A11A10AQASA7AeAsA4A3A2AiAo

BI5B14B13B12B11BioB9BeB7BeB5B4B3B2BiBo

两级先行进位加法器

24

24

25

-25-

⑥其它的并行加法器

3-1632位进位选择加法器

26

-26-

五、一位8421码十进制加法器

3十进制数的8421码加法运算规则

⑴和01001时，不必修正

27

-27-

例x=3,y=4,求x+y=?

解:十进制数运算

3

8421码

+40011

7十）0100

0111(+7)

止确结果

28

-28-

(2)和21010时，需要修正

例x=8,y=5,求x+y=?

解:十进制数运算

8421码

8

1000

+5

+)0101

131101

错误结果

29

-29-

例x=9,y=8,求x+y=?

解:十进制数运算

98421码

1001

+8

+)1000

17

10001

错误结果

30

-30-

1101

10001

+)0110

+)0110

10011(13)

——10111(17)

止碉

正确

2、8421码十进制加法器的组成

31

-31-

表348421码加法器修正关系

32

-32-

需要修正的项为:C4，+S3，S2，+S3，S1=1;

33

一33-

A34津2AiBjHoBoC。

IIf11(3—UI

图3778421码十进制加法器

34

-34-

3.1.2多功能算术逻辑单元ALU

一、多功能算术逻辑单元74181

Fi=Ai©BieCi=Pi㊉Ci

35

-35-

74181的逻辑结构框图

36

-36-

Xi=S3AiBi

表3・2XiYi与AiBi的关系

XiS1SOYi

00100

01Ai+Bi01AiBi

10Ai+Bi10A旧i

11Ai110

-37-

对于任一Xi、Yi都满足

Xi+Yi=Xi

XiYi=Yi

■/Gi=XiYi

Pj=Xi©Yi=Xi+Yi

则Yi=Gi

Xi=Pi

Ci+1=Gi+PiCi=Yi+XiCi

38

-38-

则C1=YO+XOCO

C2=Y1+X1C1=Y1+X1Y0+X1X0C0

C3=Y2+X2C2=Y2+X2Y1+X2X1YO

+X2X1X0C0

39

-39-

-40-

二、先行进位发生器74182

图中G0~G3即〜3

*女

■P3

41

-41

Cn+x=G0(PO+Cn)

****

Cn+y=Gl(P1+G0(PO+Cn))

******

Un+Z=G2(P2+G1(P1+GO(PO+Cn)))

********

G(G)=G3(P3+G2)(P3+P2+G1)

****

(P3+P2+P1+GO)

******

P(P)=P3+P2+P1+PO

42

-42-

P3G3P2G2P1G1PoGoCn

o74182逻辑图

43

-43-

图，116位先行进位加法器框图

44

-44-

多功能算逻单元总结

•SN74181是4位先行进位ALU芯片，中规模集成电路.

•SN74182是4位BCLA（组间先行进位）芯片.

•多芯片级联构成先行进位ALU

-4个SN74181芯片串行构成一个16位单级先行进位ALU

-4个SN74181芯片与1个SN74182芯片可构成16位两级先行进位ALU

-16个SN74181芯片与5个SN74182芯片可构成64位先行进位ALU

•现代主流计算机中ALU并非通过芯片级联而成

-一个CPU芯片中有多个处理器核

-一个核中有多个32位/64位ALU!

45

-45-

3.2定点运算

3.2.1定点加减运算

一、补码加减法所依据的关系式

1、加法［x］补+囚］补=僮+丫］补

⑴x>0,y>0,贝!|x+y>0

[x]#+[y]#=x+y=[x+y]#

46

-46-

(2)x>0,y<0

[x]#=x,[y]#=2+y

则[x]补+[y]补=2+(x+y)

(i)|x|>|y|

O0x+y<1(正数)

[x]补+[y]补=2+(x+y)

=x+y=[x+y]1bO.xx...x

47

-47-

(ii)N<|y|

-1Sx+y<0(负数)

冈补+[y]补=2+(x+y-[x+y]补

(3)x<0,y>0与(2)类似

(4)x<0,y<0x+y<0

区补=2+x,[y]补=2+y,

贝lj[x]|b+[y]1b=2+x+2+y=2+(2+x+y)

48

-48-

・・・x+y<0,而且其绝对值又小于1.

则1S2+x+y<2

[XX

2+(2+x+y)=2+(x+y)

---[x]#+[y]#=2+(x+y)=[x+y]1b

2、减法[xy]补=[x+(・y)]补

=[x]补+[・y]补

49

-49-

(1)0Sy<1(正数)

[y]补=[y]原=0.yiy2・・・yn

[■y]原=i・yiy2…yn

[■y]补=1・yiy2...yn+2

50

-50-

因［y］#=2+y

1.11...1

贝。=»］补2—1.y1y2...yn

=(21.y1y2...yjn)

=(1.11...1+21.yly2...yn)

=(0.y1y2…yn+2)

n

y=0.yly2…yn+2

・・,(y)为正数

/.［y］补=0・yly2…yn+2

51

-51-

例1y=0.0110

[y]|b=1.1010

[y]补=0.0110

例2y=0.0111

[y]补=0.0111

[y]1b=1.1001

52

-52-

二、运算规则

①参加运算的操作数用补码表示.

②符号位参加运算.

③对于两数相加减的各种情况，计算

机都执行求和操作.当操作码为加运算时

，两数直接相加;当操作码为减运算时,

将减数连同符号位一起求反加1与被减数相加.

④运算结果以补码表示.

53

-53-

例1已知：x=0.1001,y=0.0110,

求:x+y=?

解：［x］补=0.1001［y］补=1.1010

［x］补0.1001

+M补1.1010

［x+y］补10.0011

x+y=O.OO11

54

-54-

例2已知:x=0.1001

y=0.0101,求:x+y=?

解:3]补=1.0111[y]|b=1.1011

冈补1.0111

+M补1.1011

[x+y]补11.0010

x+y=0.1110

55

-55-

例3已知：x=0.1001,y=0.0110,

求:xy=?

解：[x]补=0.1001[y]|b=0.0110

[y]补=1.1010

[x]补0.1001

+[y]补1.1010

[x・y]补10.0011

xy=0.0011

56

-56-

例4已知:x=0.1001

y=0.0110,求次y=?

解:凶补=1.0111[y]|b=1.1010

[y]补=0.0110

[x]补1.0111

+[y]补0.0110

[x・y]补1.1101

xy=0.0011

57

-57-

三、实现补码加减运算的逻辑电路

实现补码加减运算的逻辑电路图

58

-58-

S3s2S1s。

图3・22四位串行进位补码加减法器

59

-59-

四、溢出检测

1、溢出的概念

加法器和寄存器由多少个二进制

位组成通常称为定点运算器的字长.

计算机执行算术运算所产生的结

果超出机器数所能表示的数据范兑

，称为溢出.

60

-60-

例如x=0,110,y=0,011,

则冈补0,110

+[y]补0,011

[x+y]补1,001（溢出）

x*y=

正溢

负溢

61

-61-

(a)0,110(+6)(b)1,110(2)

+)1,011(5)+)1,101(3)

AC113

IVrVZ■\■II

无溢出

(c)0,110(+6)(d)1,100(4)

+)0,011(+3)+)1,011(5)

1,001、10,111

溢出溢出

62

-62-

2、溢出检测方法

(1)采用一个符号位

A=an-1an-2......aO

B=bn-1bn-2......bO

S=sn-1sn-2……so

OVR=an-1bn-1sn-1+an-1bn-1sn-1

63

-63-

an-1

Sn-1

R

bn-1

图3・24溢出检测电路

64

-64-

(2)用cn-1和cn判断

0VR=cn-1ecn

(3)采用双符号位(模4补码或变形补码)

模4补码的定义为

冈补=

x0^x<2

冈补+［y］补=□+y］补一

4+x2<x<0

65

-65-

两数相加后结果符号为:

00或11没有溢出；

01正溢；

10负溢.

OVR=sf1esf2

66

-66-

例1已知x=0・010,y=0,011,求x+y=?

解［x］补=00.010［y］补=00.011

凶补00.010

+)［y］补00.011

00.101

无溢出x+y=0.101

67

-67-

例2已知x=0.010,y=0.011,求x+y=?

解冈补=11.110[y]补=11.101

[x]补11.110

+)[y]补11.101

11.011

无溢出x+y=0.101

68

-68-

例3已知x=0.110,y=0,011,求x+y=?

解M|b=00.110[y]补=00.011

[x]补00.110

+)[y]补00.011

01,001

正溢出

69

-69-

例4已知x=0.100,y=0.101,求x+y=？

解冈补=11.100[y]补=11.011

冈补11.100

+)[y]补11.011

10.111

负溢出

70

-70-

关于溢出标志位

•除Zero(ZF)、Overflow(OF)外,许多机器还生成进/借

位标志(CF)、符号标志(NF/SF)等.

•标志(Flag)在运算电路中产生,被记录到专门的寄存

器中,以便在分支指令中被用来作为条件.

•存放标志的寄存器通常称为程序/状态字寄存器或标

志寄存器.每个标志对应标志寄存器中的一个标志位.

无符号教：CF表示进住、

溢出(不考虑OF)

有符号教：OF表示溢出

(不考虑CF)

71

-71-

3.3.2定点乘法运算

通过多次相加和移位来实现乘除运算.

一、移位操作

1、移位操作的种类

逻辑移位

循环移位

算术移位

72

-72-

2、逻辑移位（图3・25）

左移低位补0,右移高位补0

如10110101

01101010

01011010

3、循环移位（图3・25）

10011001

00110011

11001100

73

-73-

4、算术移位

算术移位则数的符号不变而数量

发生变化.左移一位将使数值扩大一

倍（乘以2）（在不产生溢出的情况下），

右移一位则使数值缩小一倍（乘以1/2）

（如果不考虑舍入的情况）.

（1）正数

移位后的空位均补0（符号不变）

74

-74-

例0.0110

0.1100

0.G011

例:某变重初值：01111111(=127)

左移1位后为：

11111110(=・126/254,溢出,错误)

75

-75-

(2)负数

①负数的原码移位后的空位补0

②负数的补码左移后的空位补0，右移

后的空位补1.

③负数的反码移位后的空位补1

76

-76-

二、原码一位乘法

设冈原=xs,x1x2・・・xn

[y]B=ys.yiy2...yn

贝U[x]原・[y]原

=[xs®ys].(0.x!x2--.xn)(O.y1y2-..yn)

78

-78-

1、运算方法

例x=0.1101y=0.1011

0.1101

x)0.1011

1101

1101

uuuu

1101

0.10001111

乘数寄存器

79

-79-

x-y=x-(0,1011)

=0,1-x+O.OO-x+0.001-x+0.0001・x

=0.1{x+0.1[Ox+0.1(x+0.1x)]}

■1-1

=2{x+2-[Ox+2"(x+2"(x+0))]}

P1

P2

P3

P480

-80-

对于一般情况

设x=0.xi平・・・xn,y=y.y1y2・・・,n

贝l]xy=2/y1x+2(y2x+2(...

+2(yn-1x+2(ynx+O))...)))

81

-81-

其递推公式为：

P0=01

P1=21(ynx+PO)

P2=2(yn-1x+Pl)

p^■=21

1(yn-i+1x+Pi-1)

I

;1

Pn=2(ylx+Pn-1)

[xy]=(xs®ys)Pn

82

-82-

举例:x=0.1101y=0.1011,

[x・y]原=(xseys)Pn=0.10001111

x-y=0.10001111

83

-83-

部分积(A)乘数(C)

000001011

+)01101

―011011011

—>00110ihoi

+)01101

ikoi

10011

—01001iiho

+)00000

0100111H0

—00100nih

+)01101

10001111H

1111]

f0100084

-84-

2、原理框图

86

-86-

三、补码一位乘法

1、补码与真值之间的关系

设[x]|b=xs-x1x2...xn

贝ljx="xs+0.x1x2...xn

（证明略）

87

-87-

2、补码乘法算法的推导

设被乘数［X］补=xs.x1X2.・.xn,

乘数M补=ys・yiy2…yn

则［X・y］补=［x］补・y

（证明略）

88

-88-

3、补码乘法比较法一布斯(Booth)乘法

(1)运算规则

12n

区叨补=冈补［ys+y12+y22+...+yn2］

=冈补［ys+(y1y12)+(y22

2(n-1)

y22)+...+(yn2

=冈补［(y14*y2yi)2

(n1)

+(ynyn-1)2—+(0yn)2

89

-89-

+

+

2

2

0一

(

o【

x

+

】"

【*

x

x

】M

】

*

y

*

M

3