4.3.1等比数列的概念第1课时课件-【基础夯实与拓展提升】高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第4章

数

列4.3.1等比数列的概念（第1课时）学习目标1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列．2.掌握等比数列的通项公式并能熟练应用．3.掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题．4.了解等比数列的通项公式与指数函数的关系.

我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，考察以下几个数列，思考它们有何共同特征？实例1.

如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”实例2.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:实例3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每200min就通过分裂繁殖一代，那么1个这种细菌从第一次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是数列:

2，4，8，16，32，64，……⑤实例4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利计算（复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，计算下一期的利息），他5年内每年年末得到的本利和数列:

a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5

⑥数列⑥满足：数列⑤满足：数列④满足：数列③满足：数列②满足：数列①满足：共同特点:从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。

以上实例表明，这类数列大量存在，且具有显著的典型性；从其构成来看和“等差数列”类似，因此，可以由等差数列用“类比”的方法研究该类数列，并称之为“等比数列”。等差数列等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，用q表示。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。an－an-1

=

d

(n≥2且n∈N*)或an+1－an=d

(n∈N*)若an+1=anq(n∈N+,q为常数），则数列{an}是否是等比数列？反之能成立吗？若an+1=an+d(n∈N+,d为常数），则数列{an}是否是等差数列？反之能成立吗？等差数列等比数列答：是等差数列

；反之能成立。答：不一定是等比数列

；反之能成立。公差d的取值范围：d∈R公比q的取值范围：q≠0d>0⇔{an}递增；d<0⇔{an}递减；d=0⇔{an}常数列。a1>0时：q>1⇔{an}递增；0<q<1⇔{an}递减；a1<0时：0<q<1⇔{an}递增；q>1⇔{an}递减；q=1⇔{an}常数列;q<0⇔{an}摆动数列等比数列的每一项都不为0，即an≠0。等差数列的每一项an的取值无限制。等差数列等比数列等差中项：如果三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.等比中项

：如果三个数a,G,b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项.a,A,b成等差数列a,G,b成等比数列对称设项法：三个数成等差可设为a-d,a,a+d四个数成等差可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d对称设项法：三个数成等比可设为aq-1,a,aq四个数成等比可设为aq-3,aq-1,aq,aq3自主练习：1.由等比数列的定义，判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比.(1)1，-3，9，-27，81，…是,公比q=-3

不是等比数列(3)

0，1，0，1；不是等比数列(4)

1，0，1，0，1，0，…不是等比数列(5)5，5，5，5，5，5，…等比数列的首项不能为0，公比也不能为0非零常数列既是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列.2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，则a4＝________.是，公比q=1答案：54答案：±1等差数列等比数列通项公式：an=a1+(n-1)d通项公式：an=a1qn-1通项公式变式：通项公式变式：

等差数列等比数列由an+1-an=d⇒an+1=an+da2=a1+d;a3=a2+d=a1+2d;a4=a3+d=a1+3d;……an=an-1+d=a1+(n-1)d;∴an=a1+(n-1)da2=a1q;a3=a2q=a1q2;a4=a3q=a1q3;……an=an-1q=a1qn-1;∴an=a1qn-1不完全归纳法等差数列等比数列验证

n=1时，上式成立累乘，得到：验证

n=1时，上式成立∴an=a1qn-1∴an=a1+(n-1)d累加，得到：an-a1=(n-1)d累加法累乘法例1若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.例2

已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.注：已知等比数列的其中两项，可求得等比数列的任意一项.自主练习：已知等比数列{an}中，a2=2,a5=16,则an=

.解：由a2=2,a5=16,得a5/a2=q5-2=q3=8,∴q=2,∴an=a2×qn-2=2×2n-2=2n-12n-1通项公式变式

例3数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80,第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.注意设项技巧。

思考在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系?题型一等比数列通项公式的应用1．等比数列基本量的求解[例1]在等比数列{an}中，(1)已知a3＝9，a6＝243，求a5；解：(1)法一：由a3＝9，a6＝243，得a1q2＝9，a1q5＝243.∴a5＝a1q4＝1×34＝81.∴a5＝a3q2＝9×32＝81.∴n－1＝3，∴n＝4.方法规律：

(1)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意一项．(2)在等比数列{an}中，若已知a1，q，n，an四个量中的三个，就可以求出另一个量．跟踪练习：1.设{an}是公比为负数的等比数列，a1＝2，a3－4＝a2，则a3＝(

)A．2

B．－2C．8 D．－8解析：设等比数列{an}的公比为q＜0，∵a1＝2，a3－4＝a2，∴2q2－4＝2q，解得q＝－1，则a3＝2×(－1)2＝2.故选A.答案：A2．等比数列通项公式及变形的应用解：设等比数列{an}的公比为q，C(2)已知数列{an}为等比数列，若a2＝2，a10＝8，则a6＝(

)A．±4 B．－4C．4 D．5C方法规律：在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项．跟踪练习：2.在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝(

)A．12 B．18C．24 D．36解：设公比为q，∵a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，∴a3＋a3q2＋a3q4＝78，即6＋6q2＋6q4＝78，解得q2＝3，∴a5＝a3q2＝6×3＝18，故选B.B题型二等比中项的应用B方法规律：应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即an2＝an－1an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．跟踪练习：3.已知等比数列{an}中，a3a9＝2a52，且a3＝2，则a5＝(

)A．－4 B．4C．－2D．24．已知b是a与c的等比中项，且abc＝27，则b等于(

)A．－3 B．3C．3或－3 D．9解：∵b是a与c的等比中项，∴ac＝b2.又abc＝27，∴b3＝27，解得b＝3.解：因为等比数列{an}中，a3a9＝2a52，且a3＝2，所以2a9＝2a52.因为a52＝a1a9，所以a1＝1，由等比中项的性质得a1a5＝a32，BB题型三等比数列的判定例5.已知数列{an}是等比数列.(1)a3,a5,a7是否成等比数列?为什么?a1,a5,a9呢?(2)当n>1时,an-1,an,an+1是否成等比数列?当n>k>0时,an-k,an,an+k是等比数列吗?方法规律：判断一个数列是等比数列的常用方法(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．(3)等比中项法：若an＋12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．课堂小结等比数列的概念符号表示:1.等比数列的概念:如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，用q表示。2.等比中项:如果三个数a,G,b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项.a,G,b成等比数列⇒G2=ab3.等比数列的通项公式:an=a1qn-1变式：an＝am·qn－m达标训练1．已知等比数列{a