重庆市涪陵中学2024届数学高一上期末达标检测试题含解析

重庆市涪陵中学2024届数学高一上期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.2．已知，且，则A. B.C. D.3．下列等式中，正确的是（）A. B.C. D.4．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为A. B.C. D.5．已知集合，，则中元素的个数是（）A. B.C. D.6．已知函数，下列关于该函数结论错误的是（）A.的图象关于直线对称 B.的一个周期是C.的最大值为 D.是区间上的增函数7．下列四个集合中，是空集的是（）A. B.C. D.8．若函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，则A.3 B.2C. D.9．在空间坐标系中，点关于轴的对称点为（）A. B.C. D.10．已知函数，若（其中．），则的最小值为（）A. B.C.2 D.4二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知，α为锐角，则___________.12．已知函数，正实数，满足，且，若在区间上的最大值为2，则________.13．若，则_________14．已知函数同时满足以下条件：①定义域为；②值域为；③.试写出一个函数解析式___________.15．要制作一个容器为4，高为无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知函数是定义域为R的奇函数.（1）求t的值，并写出的解析式；（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；（3）若函数在上的最小值为，求k的值.17．揭阳市某体育用品商店购进一批羽毛球拍，每件进价为100元，售价为160元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每星期可多卖出20件.（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元?（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?18．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线A1C1∥平面B1DE；(2)平面A1B1BA⊥平面A1C1F.19．已知（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，函数的值域为，求实数的范围20．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题的概率都是0.6，若每位面试者都有三次机会，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第三次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对的题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么：（1）在图的树状图中填写样本点，并写出样本空间；（2）求李明最终通过面试的概率.21．已知函数（1）证明：函数在上是增函数；（2）求在上的值域

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、C【解析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围【详解】由题，函数f（x）＝ax+1单调，又在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1故选C【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题2、A【解析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得的值【详解】解：∵tan（α），则tanα，∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），可得sinα∴2sinα＝2（）故选A点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题3、D【解析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，错误；对于B，，错误；对于C，，错误；对于D，，正确.故选：D.4、D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.5、B【解析】根据并集的定义进行求解即可.【详解】由题意得，，显然中元素的个数是5.故选：B6、C【解析】利用诱导公式证明可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用复合函数的单调性可判断D.【详解】对于A，，所以的图象关于直线对称，故A正确；对于B，，所以的一个周期是，故B正确；对于C，，所以的最大值为，当时，，取得最大值，所以的最大值为，故C不正确；对于D，在上单调递增，，在上单调递增，在上单调递减，，根据复合函数的单调性易知，在上单调递增，所以是区间上的增函数，故D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握函数对称性及周期性的判定及三角函数的图象与性质.7、D【解析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.【详解】选项A，；选项B，；选项C，；选项D，，方程无解，.选:D.8、C【解析】由题意得当时，函数取得最小值，∴，∴又由条件得函数的周期，解得，∴．选C9、C【解析】两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标互为相反数，由此可直接得出结果.【详解】解：两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标互为相反数，所以点关于轴的对称点的坐标是.故选：C.10、B【解析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.详解】,由，，即，，当且仅当，即时等号成立，故选：B二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】由同角三角函数关系和诱导公式可得结果.【详解】因为，且为锐角，则，所以，故.故答案为：.12、【解析】先画出函数图像并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案.【详解】如图所示：根据函数的图象得，所以．结合函数图象，易知当时在上取得最大值，所以又，所以，再结合，可得，所以.故答案为：【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.13、【解析】先求得，然后求得.【详解】，.故答案为：14、或（答案不唯一）【解析】由条件知，函数是定义在R上的偶函数且值域为，可以写出若干符合条件的函数.【详解】函数定义域为R，值域为且为偶函数，满足题意的函数解析式可以为：或【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域、奇偶性以，属于中档题.15、160【解析】设底面长方形的长宽分别为和,先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值.【详解】设底面长方形的长宽分别为和,则，所以总造价当且仅当的时区到最小值则该容器的最低总造价是160.故答案为：160.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）或，；（2）R上单调递增，证明见解析；（3）【解析】（1）是定义域为R的奇函数，利用奇函数的必要条件，求出的值，进而求出，验证是否为奇函数；（2）可判断在上为增函数，用函数的单调性定义加以证明，取两个不等的自变量，对应函数值做差，因式分解，判断函数值差的符号，即可证明结论；（3）由，换元令，，由（2）得，，根据条件转化为在最小值为-2，对二次函数配方，求出对称轴，分类讨论求出最小值，即可求解【详解】解：（1）因为是定义域为R的奇函数，所以，即，解得或，可知，此时满足，所以.（2）在R上单调递增.证明如下：设，则.因为，所以，所以，可得.因为当时，有，所以R单调递增.（3）由（1）可知，令，则，因为是增函数，且，所以.因为在上的最小值为，所以在上的最小值为.因为，所以当时，，解得或（舍去）；当时，，不合题意，舍去.综上可知，.【点睛】本题考查函数的奇偶性应用和单调性的证明，考查复合函数的最值，用换元方法，将问题化归为二次函数函数的最值，属于较难题.17、（1）4800（2）将售价定为150元，最大销售利润是5000元.【解析】（1）由销售利润=单件利润×销售量，即可求商家降价前每星期的销售利润；（2）由题意得销售利润，根据二次函数的性质即可知最大销售利润及对应的售价.【小问1详解】由题意，商家降价前每星期的销售利润为（元）；【小问2详解】设售价定为元，则销售利润.当时，有最大值5000∴应将售价定为150元，最大销售利润是5000元.18、证明过程详见解析【解析】（1）先证明DE∥A1C1，即证直线A1C1∥平面B1DE.(2)先证明DE⊥平面AA1B1B，再证明A1F⊥平面B1DE，即证平面AA1B1B⊥平面A1C1F.【详解】证明：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC-A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵DE⊂平面B1DE，且A1C1⊄平面B1DE，∴A1C1∥平面B1DE；（2）在ABC-A1B1C1的直棱柱中，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面AA1B1B⊥平面A1C1F【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.19、（1），（2）【解析】（1）根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先求出函数取最大值时的取值集合，即可得到，再根据函数在上是减函数，且，则的最大值为内使函数值为的值，即可求出的取值范围；【小问1详解】解：对于函数，令，，求得，故函数的单调递增区间为，【小问2详解】解：令，，解得，．即时取得最大值因为当时，取到最大值，所以又函数在上是减函数，且，故的最大值为内使函数值为的值，令，即，因为，所以，所以，解得，所以的取值范围是20、（1）（2）