计算机应用数学 教学 计算机数学课件第十一章

第11章矩阵

上一章讨论的线性方程组，未知数的个

数与方程的个数相等，且系数行列式不等于

零。但是再实际应用中，还会出现未知数的

个数与方程个数不相等的方程组。为了讨论

一般的线性方程组，我们引入一个数学工具

—矩阵。本章将介绍矩阵的基本概念及运算。

()6/18/2013

知识点

・矩阵概念

・矩阵运算

•几类特殊矩阵

・矩阵的与矩阵的秩♦

矩阵的求法

•矩阵缶

•矩阵的初等变换A

()6/18/2013

原版教学配喳

要求

•熟练掌握

矩阵的运算

求矩阵的秩

逆矩阵的求法

•了解/

几类特殊夕

矩阵的定3

分块矩阵

()6/18/2013

原版教学配

ii.i矩阵的概念

“11.1.1矩阵的定义

定义由相X”个数与(，=1,2，…，加;j=1,2,…，八)

排成的矩形数表「沏?2…

a21a22.…a2n

••••••••••••

\Clmli4m2z•••cimn

叫做一个m行n列的矩阵，简称加义〃矩阵。

()6/18/2013

特殊的矩阵

只行的矩阵称为行矩阵或行阵，即

8=[〃

只有一列的矩阵称为列矩阵或列阵，即

a\\

a21

amlmxl

如果矩阵A=（与）的行数与列数都等于n,

则称A为n阶矩阵或n阶方阵。()6/18/2013

［百r-frr/T也。Hfin4K

___iwik—J'nU

在n阶方阵A中，如果主对角线左下方的

元素全为零，即叵。12…01〃

［。°…。/工

则此矩阵称为上三角矩阵。

如果n阶方阵A的主对角线右上方的元素全

为零，即0

an0

〃一•••0

则此矩阵称为下三角形矩阵。

()6/18/2013

如果n阶方阵A的主对角线以外的元素都为

在n阶对角方阵中，当阳=%=・・・=勺〃=1时,

则称为n阶单位矩阵，记作E,即—

「「1o…01-

00...106/18/2013

1113分块矩阵

在矩阵的讨论和运算中有时需要将一个矩

阵分成若干个“子块”（子矩阵），，矩阵

结果更加简单。

1001002

例如4=010-1如果设%=010B[=-1

0013

0013

则1002

4=010—1=出省)

0013()6/18/2013

11.2矩阵的运算

定义1如果两个rnxri矩阵A、B的对应元素相等，

即%=%（，=1,2,…，九，=1,2,…,九），则矩阵A与B相等。

记作4=或呵）mxn=（bjj）mxn♦

11.2.1矩阵的加减运算

定义2设两个m行n列的矩阵4=3）,3=（%）它们

对应位置元素相加（或相减）得到的m行n列矩

阵，为矩阵A与矩阵B的和（或差），

记作A+B，即

()6/18/2013

即

4]b】2b1

anana\nn

b2ib22.・.b2n

。21“22a2〃B

A=••••••••••••

ml”相2...b

am\am2amn

ain±bln'

土仇1“12土42

ab

a21±b21a22—b?22n土2n

A±B=

“加土bmTaml土bm2^mn—"mn

()6/18/2013

注意

只有在两个矩阵的行数和列数分别都

相同时才能作加法或减法的运算。

m定义，不难验证矩阵的加力

7

下性质：

1)A+B=B+A一，

2)(A+B)+C=A+(B+C)

一

3)A+0=A

其中、、、都是矩阵。

ABC0mXn()6/18/2013

原版教学配套课

y二112徵与矩阵的乘法，:]

定义3设k为任意数，以数k乘矩阵A的每一个元素

所得到的矩阵叫做k与A的积，记为kA(或Ak)即

kanka12…ka1n

f、、J^^ml%“加2'•,kOmn_

容易验证k(A+B)=kA+kB,

(k+h)A=kA+hA,(kh)A=k(hA)

其中A、B为mxn矩阵，K、h为任意实数。~

初

-120一

-75_24

已知A=15795=5197且A+2X=5求X

解以468_33-16

-46-44「23-22

X=g(f=g1

4-42-22_?—1

1-2-7-2-1

11.2.3矩阵的乘法

矩阵的加法及数与矩阵的乘法表示事物之间的

一种数量关系，矩阵的乘法也是一样。()6/18/2013

定义设矩阵A=（纵）g的列数与矩阵》=（%）.

的行数相同，则由元素

S

a

Gj=j+ai2b2jHHis^Sj~X”汝，好

k=l

a=1,2,・・・加；，=i,2,・・・〃）

s

构成的m行n列矩阵c=（c.）=Q＞也）…

l

Jmxnk=i

称为矩阵A与B的积，记作C=A.5（或C=AB）

（即表示用A的第行元素依次乘B的第j列相应元

素然后相加）。

注意两个矩阵A,B只有当矩阵A的列数等于矩阵B得行

数时，AB才有意义。为此常用下法来记：

（）6/18/2013

AR-r

CmxsUsxnmxn

24

B=求AB及BA。

—3—6

24-16-32

-3—6816

0

0

()6/18/2013

矩阵乘法得性质

设下列矩阵都可以进行有关运算

1)(AB)C=A(BC)

2)(A+B)C=AC+BC

3)C(A+B)=CA+CB

4)K(AB)=(KA)B=A(KB)7

11.2.4矩阵的转置

定义把mXn矩阵A的行与列互换，得到一个nXm

矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为A4

06/18/2013

即

a,>*am\

4%2…in~aU“21

…am2

a21〃22…a2n。12a22

如果A=则”=

•••••••・••♦•••••••••••••

_am\am2,••^mn__a\na2n

…a〜nn

_

~13

'1704"7-1

例如A=则A?=

3—12502

RS_45_

转置矩阵具有下列性质：

1)(ADf2)(A+B)T=AT+BT

3)(AA)TAAT4)(AB)T=BTAT()6/18/2013

例「2-10一

设A=[l-12]B=113求

L21

解

121421

—1BT=-112BTAT=-11

0

2031HI3

如果n阶方阵A与它的转置矩阵相等，A称为

对称矩阵。()6/18/2013

1125方阵的行列式

定义如果A是一个己知方阵，以A的元素按原来次

序所构成的行列式，叫做A的行列式，记作H

定理设A,B是两个n阶方3'十，则\AB\=|A||B|

即A,B两个n阶方阵的乘积的行列式等于这两个方

阵所对应的行列式之积。

的初等变换

定义

()6/18/2013

定义对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等

变换：

1）交换矩阵的两行（列）。<1

2）以一个非零的数k乘以矩阵的某一行（列）。

3）把矩阵的一行（列）的L倍加于另一行（列）

上。

1132初等矩阵

对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵

称为初等矩阵。

11.4矩阵的秩

11A1我们先回忆一下阶梯形矩阵

若在矩阵各行中位于第一个非零元素前面的

零的个数逐行增加，且矩阵的零行在最下方，则

称此矩阵为阶梯形矩阵。

定理任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可以

化称阶梯形矩阵。

例如，123。

-1323

设八一2101则可化A为阶梯形矩阵:

00-12

-

12301230-

①+②

-13230553-②+③)

-21012①+③0561()6/18/2013

_00-12_00-12.

12301230

o5530553

o01-001

00-120000

此为阶那矩阵。

11.4.2矩阵的秩的概念

定义矩阵A的阶梯形矩阵非零行的行数称为矩阵

A的秩。记作秩(A)或r(A)o

例如：

~123

A.则r(A)=2；

012()6/18/2013

_000

~1234

001

若0则r(B)2o

0000

0000

例3-3o70

1-1o21

设矩阵人=求o

1-1232r(A)

2-2253

解先用矩阵的初等行变换化A为阶梯形矩阵，即

因为「3-30701T021

1-1021①<•»②)3-3070

A=

2

1-1231-1232()6/18/2013

_2-2253_2-2253_

一1-1021

—3①+②1-1021

一①+③o0o1-3000

-2①+④)-③+④

oo21100211

0021100000

~1-1021

②一③0o211

0001-3

00000

所以r(A)=3

一个矩阵的阶梯形矩阵有多少个，但其秩是唯

一的，即有以下定理：

定理矩阵经初等变换后，其秩不变。()6/18/2013

11.4.3满秩矩阵

设A是n阶矩阵，若秩(A)=n,则称A为满秩

矩阵，或称非奇异的，或非退化的。

定理任何满秩矩阵都能经过初等行变换化成单位

矩阵。ro2-「

例设矩阵A=112判断A是否为满秩矩阵，若是

_1_]-1

将A化成单位矩阵。

解02-f~112~112

A=112①一②)02-102-1

—1-1-1-1-1-1001

()6/18/2013

112

02--

(r(A)=3,A为满秩矩阵)2

00I

105工③+②100

2-2------->

>o1110

50

*2-万③+①Q

00101

这样，即判明了A为满秩矩阵，也将A划成了

单位矩阵。■

()6/18/2013

11.5逆矩阵

11.5,1逆矩阵的概念

定义对于n阶矩阵A,如果存在n阶矩阵B使得

AB=BA=In,那么A则称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵。

A的逆矩阵用A-表示。

若A可逆，贝UA的逆矩阵是唯一的。

注意1）可逆矩阵一定是方阵，对非方阵无逆矩

阵可言。2）有逆矩阵的方阵称为可逆矩阵，无逆

矩阵的方阵称为不可逆矩阵。3）若A的逆矩阵是

B,则B的逆矩阵也是A。

()6/18/2013

Ml

11.5.2逆矩阵的求法

阵的初等行变换可以求某一方阵A的

逆矩阵。其方法为：先把所要求的矩阵旁添上一

个与其阶数相同的单位矩阵，成为（A,ln）的形］

式，然后对矩阵（A,ln）进行行的初等变换，将

其左半部A化为单位矩阵，这时右半部即为A的逆

1

矩阵（A,ln）变成（lnA-）o这样就把A的逆矩

例rio2

已知：A=。34求AT

-110

解r

10210oSMB02；100

(A/3)=03401o①+③)034：010

-iiooo1012；101

[②「102rrio2H°01

4.1

—>01-5001i：030

3.

L°|l2：1oo2:11

3()6/18/2013

I02：1

J0

4-0

2—>01---•30

3,3

•.1_3