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文档简介
2.2.3向量数乘运算及其几何意义知识回顾BAbao.O.Ca+bbaABba+ba1.向量加法三角形法则:2.向量加法平行四边形法则:首尾相连首尾接起点相同连对角o.BAa-bab3.向量减法法则:共起点,连终点,方向指向被减数例3.在ABCD中,你能用表示吗?DBAC变式一:本例中,当满足什么条件时,
与互相垂直?变式二:本例中,当满足什么条件时,
变式三:本例中,可能是相等向量吗?
-a-a-aPQMNaaaABCOa已知非零向量a,作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)
当λ>0时,λa的方向与a方向相同;当λ<0时,λa的方向与a方向相反;
|λa|=|λ|·|a|
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa。一、向量的数乘定义它的长度和方向规定如下:(1)长度(2)方向特别地,当λ=0或a=0时,λa=0二、向量数乘的几何意义a-3a3a几何意义:将的长度扩大(或缩小)倍,改变(或不改变)的方向,就得到了λa
|λ|aa结论:2a+2b=2(a+b)结论:
3(2a)=6a(1)根据定义,求作向量3(2a)和(6a)(a≠0),并比较。(2)已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并比较。=观察总结①λ(μa)=
运算律:设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有:②(λ+μ)a=
③λ(a+b)=(λμ)a
λa+μa
λa+λb(-λ)a=-(λa)=λ(-a)特别地,λ(a-b)=λa-λb结合律第一分配律第二分配律三、向量数乘运算满足的运算律:(2)对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2恒有λ(μ1a±μ2b)=解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=计算:(口答)(1)(-3)×4a(2)3(a+b)–2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)–(3a-2b+c)
(3-2-1)a+(3+2)b=5b
(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c
-12aλμ1a±λμ2b牛刀小试结论:(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。例1:把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积.1、如果b=λa,那么,向量a与b是否共线?
对于向量a(a≠0)、b,以及实数λ:2、如果a与b共线,那么是否有λ,使b=λa??自主探究对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使得b=λa,那么,由数乘向量的定义知:向量a与b共线。当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa,所以始终有一个实数λ,使b=λa。若向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是a的长度的μ(μ>0)倍,即有|b|=μ|a|,且四、向量共线定理向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.即:思考:解:作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴
A、B、C三点共线.abbbba例2、已知任意两非零向量a、b,试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?∵AB=OB-OA∴
AC=2AB又
AC=OC-OA
=a+3b-(a+b)=2b
=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A,AEDCB解:
=3AC
=3(AB+BC)∵AB+BC=AC
=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC与AE共线如图,已知AD=3AB、DE=3BC,试证明AC与AE共线。摇身一变例3:又AC与AE有公共点A,∴
A、C、E三点共线.定理应用向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。
判断下列各小题中的向量a与b是否共线.
二、知识应用:
1.证明向量共线;
2.证明三点共线:
一、概念与定理①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线?C.A.B.2.设是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是().D.1.下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个
BC练习3.在中,设D为边BC的中点,求证:ABCD解:因为(2)所以,所证等式成立ABCDE过点B作BE,使连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点,则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有解2:(C
)分析:由所以在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于______4.5.ABCD6.如图,在平行四边形
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