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文档简介
2024届广东省广州越秀区培正中学数学高一下期末质量检测试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知数列满足,且,其前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是()A.5 B.6 C.7 D.82.在复平面内,复数满足,则的共轭复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数的最小正周期为,则图象的一条对称轴方程是()A. B. C. D.4.已知等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,则等于()A. B. C. D.5.点直线与线段相交,则实数的取值范围是()A. B.或C. D.或6.已知函数,点A、B分别为图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点,O为坐标原点,若△OAB为锐角三角形,则的取值范围为()A. B. C. D.7.执行如图所示的程序框图,输出S的值为()A.- B. C.- D.8.已知为递增等比数列,则()A. B.5 C.6 D.9.关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是()A. B.C. D.10.设的内角所对的边分别为,且,已知的面积等于,,则的值为()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.若数列满足(),且,,__.12.关于函数,下列命题:①若存在,有时,成立;②在区间上是单调递增;③函数的图象关于点成中心对称图象;④将函数的图象向左平移个单位后将与的图象重合.其中正确的命题序号__________13.正六棱柱各棱长均为,则一动点从出发沿表面移动到时的最短路程为__________.14.函数在的值域是__________________.15.已知向量,若,则________.16.在直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值是_____________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.设函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)当时,求函数的值域.18.已知数列满足且,设,.(1)求;(2)求的通项公式;(3)求.19.如图,平行四边形中,,分别是,的中点,为与的交点,若,,试以,为基底表示、、.20.设是两个相互垂直的单位向量,且(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)若,求的值.21.已知的三个内角的对边分别为,且,(1)求证:;(2)若是锐角三角形,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】
首先分析题目已知3an+1+an=4(n∈N*)且a1=9,其前n项和为Sn,求满足不等式|Sn﹣n﹣6|<的最小整数n.故可以考虑把等式3an+1+an=4变形得到,然后根据数列bn=an﹣1为等比数列,求出Sn代入绝对值不等式求解即可得到答案.【题目详解】对3an+1+an=4变形得:3(an+1﹣1)=﹣(an﹣1)即:故可以分析得到数列bn=an﹣1为首项为8公比为的等比数列.所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整数n=7故选C.【题目点拨】此题主要考查不等式的求解问题,其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题,属于不等式与数列的综合性问题,判断出数列an﹣1为等比数列是题目的关键,有一定的技巧性属于中档题目.2、A【解题分析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.【题目详解】由z(1﹣i)=2,得z=,∴.则z的共轭复数对应的点的坐标为(1,﹣1),位于第四象限.故选D.【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.3、D【解题分析】
先根据函数的周期求出的值,求出函数的对称轴方程,然后利用赋值法可得出函数图象的一条对称轴方程.【题目详解】由于函数的最小正周期为,则,,令,解得.当时,函数图象的一条对称轴方程为.故选:D.【题目点拨】本题考查利用正弦型函数的周期求参数,同时也考查了正弦型函数图象对称轴方程的计算,解题时要结合正弦函数的基本性质来进行求解,考查运算求解能力,属于中等题.4、C【解题分析】
由条件可得a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,解得q=1.代入所求运算求得结果.【题目详解】∵等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,故公比q不等于1.∴a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,解得q=1.∴3+2,故选:C.【题目点拨】本题主要考查等差中项的性质,等比数列的通项公式,考查了整体化的运算技巧,属于基础题.5、C【解题分析】
直线经过定点,斜率为,数形结合利用直线的斜率公式,求得实数的取值范围,得到答案.【题目详解】如图所示,直线经过定点,斜率为,当直线经过点时,则,当直线经过点时,则,所以实数的取值范围,故选C.【题目点拨】本题主要考查了直线过定点问题,以及直线的斜率公式的应用,着重考查了数形结合法,以及推理与运算能力,属于基础题.6、B【解题分析】
△OAB为锐角三角形等价于,再运算即可得解.【题目详解】解:由题意可得,,由△OAB为锐角三角形,则,即,解得:,即的取值范围为,故选:B.【题目点拨】本题考查了三角函数图像的性质,重点考查了向量数量积的运算,属中档题.7、D【解题分析】试题分析:由已知可得,故选D.考点:程序框图.8、D【解题分析】
设数列的公比为,根据等比数列的性质,得,又由,求得,进而可求解的值,得到答案.【题目详解】根据题意,等比数列中,设其公比为,因为,则有,又由,且,解得,所以,所以,故选D.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用,其中解答中熟练应用等比数列的性质,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.9、C【解题分析】关于的不等式,即的解集是,∴不等式,可化为,解得,∴所求不等式的解集是,故选C.10、D【解题分析】
由正弦定理化简已知,结合,可求,利用同角三角函数基本关系式可求,进而利用三角形的面积公式即可解得的值.【题目详解】解:,由正弦定理可得,,,即,,解得:或(舍去),的面积,解得.故选:.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、1【解题分析】
由数列满足,即,得到数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列,利用等比数列的极限的求法,即可求解.【题目详解】由题意,数列满足,即,又由,,所以数列的奇数项构成首项为1,公比为,偶数项构成首项为,公比为的等比数列,当为奇数时,可得,当为偶数时,可得.所以.故答案为:1.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的定义,以及无穷等比数列的极限的计算,其中解答中得出数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.12、①③【解题分析】
根据题意,由于,根据函数周期为,可知①、若存在,有时,成立;正确,对于②、在区间上是单调递减;因此错误,对于③、,函数的图象关于点成中心对称图象,成立.对于④、将函数的图象向左平移个单位后得到,与的图象重合错误,故答案为①③考点:命题的真假点评:主要是考查了三角函数的性质的运用,属于基础题.13、【解题分析】
根据可能走的路径,将所给的正六棱柱展开,利用平面几何知识求解比较.【题目详解】将所给的正六棱柱下图(2)表面按图(1)展开.,,,故从A沿正侧面和上表面到D1的路程最短为故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了空间几何体展形图的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.14、【解题分析】
利用反三角函数的性质及,可得答案.【题目详解】解:,且,,∴,故答案为:【题目点拨】本题主要考查反三角函数的性质,相对简单.15、【解题分析】
直接利用向量平行性质得到答案.【题目详解】,若故答案为【题目点拨】本题考查了向量平行的性质,属于简单题.16、【解题分析】
先找出线面角,运用余弦定理进行求解【题目详解】连接交于点,取中点,连接,则,连接为异面直线与所成角在中,,,同理可得,,异面直线与所成角的余弦值是故答案为【题目点拨】本题主要考查了异面直线所成的角,考查了空间想象能力,运算能力和推理论证能力,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)函数递增区间为,(2)【解题分析】
(1)化简,再根据正弦函数的单调增区间即可.(2)根据(1)的结果,再根据求出的范围结合图像即可.【题目详解】解:(1)由,则函数递增区间为,(2)由,得则则,即值域为【题目点拨】本题主要考查了三角函数的性质,常考三角函数的性质有:对称轴、单调性、最值、对称中心.属于中等题.18、(1),,,;(1),;(3).【解题分析】
(1)依次代入计算,可求得;(1)归纳出,并用数学归纳法证明;(3)用裂项相消法求和,然后求极限.【题目详解】(1)∵且,∴,即,,,,,,,,,∴;(1)由(1)归纳:,下面用数学归纳法证明:1°n=1,n=1时,由(1)知成立,1°假设n=k(k>1)时,结论成立,即bk=1k1,则n=k+1时,ak=bk-k=1k1-k,,ak+1=(1k+1)(k+1),∴bk+1=ak+1+(k+1)=(1k+1)(k+1)+(k+1)=1(k+1)1,∴n=k+1时结论成立,∴对所有正整数n,bn=1n1.(3)由(1)知n1时,,∴,.【题目点拨】本题考查用归纳法求数列的通项公式,考查用裂项相消法求数列的和,考查数列的极限.在求数列通项公式时,可以根据已知的递推关系求出数列的前几项,然后归纳出通项公式,并用数学归纳法证明,这对学生的归纳推理能力有一定的要求,这也就是我们平常所学的从特殊到一般的推理方法.19、【解题分析】分析:直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.详解:由题意,如图,,连接,则是的重心,连接交于点,则是的中点,∴点在上,∴,故答案为;;∴.点睛:向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何问题解答(求最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单).20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解题分析】
(Ⅰ),则存在唯一的使,解得所求参数的值;(Ⅱ)若,则,解得所求参数的值.【题目详解】解:(Ⅰ)若,则存在唯一的,使,,当时,;(Ⅱ)若,则,因为是两个相互垂直的单位向量,当时,.【题目点拨】
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