模拟试卷02-【高考冲刺】2022年高考数学考前冲刺预测模拟刷题卷（新高考专用）（解析版）

冲刺2022年高考数学(新高考)

模拟试卷02

满分：150分时间：120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4={x|logg(x-2)>0},8={小20},则()

A.[-2,2]B.(-2,1]C.[-2,3)D.0

【答案】C

【解析】由题意A={x|0<x—2<1}={X[2<X<3},B={x|-2<x<2},

所以AUB={X|-24X<3}=[-2,3).

故选：C.

2.己知(l+i)?z=2+4i3,则z=()

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

【答案】A

、,1_7；；_7；2

【解析】由(l+i)-z=2+41,有2iz=2—4i,司得z=------=--------=-2-i,

i-1

故选：A

3.己知圆锥SO的底面半径为1,若其底面上存在两点A3,使得N4SB=90,则该圆锥侧面积的最大值为

()

A.Q兀B.27rC.26■兀D.4%

【答案】A

【解析】设圆锥的母线长为/,

ZASB=90,:.AB=-j2b又Q4+OB2AB(当且仅当A8为底面圆直径时取等号)，

:.AB<2,即

•••圆锥侧面积S=刀X1X/=M4叵兀,即所求最大值为正兀.

故选：A.

4.若函数/(x)=6sin6yx-cosox,<y>0,xeR,又/(5)=2,/(々)=0,且值一回的最小值为£,

O

则。的值为()

A.-B.-C.4D.—

333

【答案】A

【解析】/(JC)="V3sin6wx-cos<ax=2sin>0),

所以-24f(x)=2sin(ryxq)42,

因为卜-X2I的最小值为函数产/㈤的最小正周期的｝，

所以，函数y=〃x)的最小正周期为T=4x?=彳，

82

”212^x24

因此，勿=一=-----=-.

T3兀3

故选：A

5.已知点K、鸟分别是椭圆\+，=1(4>6>0)的左、右焦点，过8的直线交椭圆于A、B两点,且满

\AF.\4

足扁二§,则该椭圆的离心率是()

A.|B.@C.3D.亚

3333

【答案】B

【解析】如下图所示：

设|州|=4犬，则|阴=3x,因为A耳J_A8,则忸耳|=J|A邸+|A制2=5-

由椭圆的定义可得|"1|+|AB|+忸用=（|"；|+k勾）+（忸周+|%|）=4a=12x,则x=],

所以，\AFt\=4x=y,贝”4用=2〃一与=等,

由勾股定理可得|A与「+恒心『=忻名「，则则c=a

3

因此，该椭圆的离心率为e=£=@.

a3

故选：B.

4贝i|sin|a+f

6.已知cosa=一,0<av—,=（）

52I4J

A四B.逑

C.D.772

101010

【答案】B

4JT3

【解析】由cosa=—,0<cr<—,得sina=-，

525

所以sinL+4=gina+旦。sa=^x3+变&述

（4）22252510

故选:B.

7.甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图,中间一列的数字表示零件个数的十位数,

两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）

甲乙

98179

8732135

A.在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同

B.在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同

C.在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数

D.在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差

【答案】C

【解析】甲在5天中每天加工零件的个数为：18,19,23,27,28；乙在5天中每天加工零件的个数为:

17,19,21,23,25

对于A,甲加工零件数的极差为28-18=10,乙加工零件数的极差为25-17=8,故A错误;

对于B,甲加工零件数的中位数为23,乙加工零件数的中位数为21,故B错误；

对于C,甲加工零件数的平均数为2丁“丁丁丁j-23,乙加工零件数的中位数为

17+19+21+23+25〜

--------------------------=21故C正确;

5

对于D,甲加工零件数的方差为,+不+0一+'+夕=16.4,乙加工零件数的方差为4。+2。+0-+2?+4?=8,

55

故D错误;

故选：C

8.将曲线G：孙=2（x>0）上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的得到曲线C?,则G上到直线

x+16y+2=0距离最短的点坐标为（）

A.（用卜（号）C.（8,1）D.（周

【答案】B

【解析】将孙=2化为y=42,

x

则将曲线G上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的g,

21

得到曲线G：2y=—,即C,:y=—（x>0）,

xx

要使曲线C?上的点到直线x+16y+2=0的距离最短,

只需曲线G上在该点处的切线和直线x+16y+2=0平行，

设曲线C?上该点为P（a」），

a

因为>'=—4,且x+16y+2=0的斜率为-J,

X216

所以-!=-4，解得a=4或a=T（舍），

a16

即该点坐标为P（4,J）.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再

从乙罐中随机取出一球.A表示事件”从甲罐取出的球是红球“，&表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B

表示事件“从乙罐取出的球是红球则下列结论正确的是（）

A.A、&为对立事件B.P(B|A)4

c.P(B)=-D.尸国A)+尸国4)=1

【答案】AB

【解析】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当A发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时8

43

发生的概率为百，故B正确；当A?发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时8发生的概率为石，故

D不正确；P(B)=-x—+-x—=—,故C不正确.

21121122

故选：AB

10.在AABC中，已知8C=6,且而=瓦=抚,ADAE=8.则()

A.AD=-AB+-AEB.AE=-AB+-AC

2233

C.AB+AC=36D.ABLAC

【答案】ACD

【解析1因为丽=诙=正，所以。、E是线段3c的三等分点，且AO两点相邻，

—■1—1—

由平面向量的加法的几何意义可知：AD=-AB+-AE,故选项A正确；

—1—I—11—1—1—1—1—1—

AE=-AD+-AC=-(-AB+-AE)+-AC=-AB+-AE+-AC,化简得：

222222442

___I___2__.

AE=-AB+-AC,故选项B不正确；

—1—1—1—11—2—2—1—

因此AD=-AB+—AE=—A/?+—(—A3+—AC)=—A3+—AC,

22223333

而亚•府=8,所以(§A月+痛+§A0=8,化简得：

AB+^ACAB+AC2=36,因为BC=6,所以由余弦定理可知：

36=AB+AC-2|/1C|-|/1B|COSA=AB+AC-2ACAB,

BPAB+-ACAB+AC2=AB2+AC-2ACABAC-AB=0,

2

所以进而而2+汨5=36，因此选项CD都正确，

故选：ACD

11.已知直线/：丘7-&+1=0,圆C的方程为(x-2)2+(y+2)?=16,则下列选项正确的是()

A.直线/与圆一定相交

B.当上0时，直线/与圆C交于两点M,N,点E是圆C上的动点，则AMNE面积的最大值为3a

C.当/与圆有两个交点M,N时，|MN的最小值为2#

D.若圆C与坐标轴分别交于A,B,C,。四个点，则四边形ABC。的面积为48

【答案】AC

【解析】直线/:丘-yd+l=O过定点P(Ll),(1-2)2+(1+2><16,尸在圆内,因此直线/一定与圆相交，

A正确；

4=0时，直线为y=l,代入圆方程得(x-2)?+9=16,X=2±J7，因此|MN|=2",

圆心为C(2,-2),圆半径为r=4,圆心到直线/的距离为d=3,因此E到直线，的距离的最大值为

/?=4+3=7,AMNE的血积最大值为S=gx7x2a=7近，B错；

当/与圆有两个交点M,N时，|MN|的最小时，PCVI,\PC\=7(1-2)2+(1+2)2=710,

因此=2"-(回丫=2娓,C正确；

在圆方程(x-2>+(y+2)2=16中分别令x=0和y=0可求得圆与坐标轴的交点坐标为

A(2-2有,0),8((2+2点0),C(0,-2+2遂),£)(0,-2-2拘，

|43|=4后，1cq=46，四边形ABCD面积为S'=；X46X4G=24,D错.

故选：AC.

12.如图所示，三棱锥P-43c中，AC±BC,AC^BC=PC=\,。为线段A8上的动点(。不与AB重

合)，且相>=PD,则()

A.PAA.CD

B.ZDPC=45°

C.存在点。，使得E4_L3C

D.三棱锥P-BCZ)的体积有最大值走

24

【答案】ABD

【解析】三棱锥P-43c中，取刚中点E,连接DE,CE,如图,

因AC=BC=PC=1,AD=PD,则£>E_LPACEJL%,而DEcCE=E,DE,CEu平面CZ)E,

则有R41.平面COE,又Su平面CZ)£,所以24，Ct>,A正确；

因AC_LBC,AC=BC=PC=\,则NC4B=45=,又AD=PD,则APC£>=AAC£),

于是得ZDPC=ZCAB=45.B正确；

假设存在点。，使得H4_L3C，由选项A知B4LCD,又CDcBC=C,CD,BCu平面ABC,

则PA_L平面A8C,而ACu平面ABC,于是得线段AC是平面ABC的斜线段PC在平面ABC上的射影,

必有尸C>AC,与AC=PC=1矛盾，所以假设是错的，C不正确；

令叨=4。=武0<彳<虚)，则8O=a-x，令尸。与平面ABC所成角为。(0<夕吟，

因此，点/>到平面45。的距离〃=/>£>$m，=心缶。，而5的>=108-力加始(=孝(近-x)，

则三棱锥P-BCD的体积y=gSa，•%=,x(忘-x)sin。4((x+f-与sin^<^|,

当且仅当彳=也，且。=1时取心"，所以当D是AB中点，且PD_L平面ABC时三棱锥P-BCD的体积

22

取最大值也，D正确.

24

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数“X)是定义域为R的奇函数，当x>0时，/(x)=e\则.

【答案】-2

【解析】由题设，/(In=/(-In2)=-/(In2),又加2>0,

所以/(、；)=_©、2=_2.

故答案为：—2.

14.过双曲线C：方=1(“>0,6>0)的左焦点片且垂直于x轴的直线交C与M,N两点，若AMNF?为

直角三角形，则C的离心率为.

【答案】72+1

22^2

【解析】由题可得MN:x=-c,代入双曲线C:=-*=l(a>0,"0),解得产土幺，

a-b-a

为直角三角形，则忻M|=|耳闻，

,,——2c，

a

/.c123-a1=lac，

-2e-1=0,

=1±5/2，乂e>l,

.0.e=5/2+1-

故答案为：>/2+1.

15.已知直线'=/分别与函数/(x)=2x+l和g(x)=21nx+x的图象交于点A,B,则|A例的最小值为

【答案】|-ln2

【解析】N=，与f(x)=2x+1的交点为A(q,t),

2

函数g(x)=2Inx+x,gf(x)=一+1>0,所以g(x)在区间(0,+8)上单调递增，

x

令g(%)=r,对于一个f的值，有唯一的X。使g(x())=f,所以

X—t

有21nx0+/-1=。='=-In/,

所以IAB|=|为一?R+++与-lnxo+；|,

r111

令h(x)=——lnx+—,则〃'(1)=----,

222x

当xe(0,2)时，〃(幻<0,在。2)上单调递减；

当xs(2,”)时，〃'(x)>0,〃(幻在(2,+00)上单调递减.

213

所1以〃(©mg=——ln2+—=——In2>0,

'/，、、/mm220

3

故1ABim产］-ln2.

3

故答案为：^-ln2

(1〃

16.已知数列｛q｝满足4>0,槃=彳=y(〃eN*),则4/=;若数列的前〃项和为

则，2020。2021=---------

【答案】12020

afi

【解析】因为数列｛4｝满足”“>0,—=2_,(neN-).

an十+〃1

a、1

所以当〃=1时，有一整理得：44=1;

4ax+1-1

，…4+in<…〃+/7-1n-\,nn-\

因为一=------,所以一=------=a„+——，所以区,=---------,

4,an+n-\。a”a„«„+la„

=a

所以S,\+«2+«3+•••+«„

所以S/e=〃，

当“=2020时，有S2O2Oa2(12l=2020.

故答案为：1;2020.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列｛%｝满足4=1,《,>0,4一。3=2〃-15乞2).

(1)求｛4｝的通项公式.

111c

(2)证明二+~7+"，+-7<2.

4a2an

【答案】⑴4=〃；⑵证明见解析

【分析】⑴解：由4-。3=2〃—1522),

得-。：-2=2〃-3,d_2-。3=2"-5,…，a；-a：=3,

由累力口法得a；-a；=3+5+…+2”-1

(n-l)(2n-l+3)

2

=«2-1,

所以42=〃2(〃22),

又4=1满足，

又因为。“>0,

所以=n.

I1111/

(2)因为-7=-7<7~=-7--(〃》2),

ann[n-i)nn-in

111I11

所以当〃22时，—+—+—=TT+TT+---+—

q跖an12n

<1i4----1-----1-----1-----1-…+------1------

1x22x3(〃-

=l+l--<2,

n

当〃=1时，靛=1<2成立，

1I1c

所以=+=+…+=<2.

4a2an

18.(12分)某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况(评价结果仅有“好评”、“差评”)，从

平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示(单位：人)：

好评差评合计

男性68108

女性60

合计216

(1)请将2x2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？

(2)若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的

男性观众的人数，求X的分布列；

参考公式：A-2=----八,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据：

尸(片次)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)列联表答案见解析，有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”;

(2)答案见解析.

【分析】(1)2x2列联表补充完整如下:

好评差评合计

男性4068108

女性6048108

合计100116216

221660x684Qx48

K=(-)^7448>6,635，因此有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”.

100x116x108x108

402

(2)从观影平台的所有给H广好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率=砺=丁且各次抽取之间互相独

,1,2,3,其分布列为:

,且(sinA+sin8)sinC+cos2C=1

(1)求证5。=3。；

⑵若“IBC的面积为156，求J

【答案】(1)证明见解析；(2)10.

【分析】(1)证明：(sinA+sinB)sinC+cos2C=1

(sinA+sinB)sinC+1-2sin2C=1

,(sinA+sinB)sinC=2sin2C

sinC0

sinA+sin/?=2sinC,HPa+b=2c

u■，人pm-c-b一口口1+c--•b~

由余弦定理得cos8=---------------,即一-=----------

2ac22ac

1a~+c~—(2c—Ci)"

2lac

整理可得5a=3c.

3

⑵山（1）知。=1。，

2

故AABC的面枳为S,Br=—izcsinB=—x—xcx^-=15-73

“sc2252

得c2=i（）o，解得。=10或c=-10（舍）

故c=10.

20.（12分）如图，在直三棱柱A8C-A4G中，AABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，点0,

E分别为棱8C,B£上的点，且熊=舞=，（°<«）.

（1）若，=；,求证：AO〃平面AEB；

（2）若二面角G-AQ-C的大小为?，求实数r的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）r=2-正

1BDC,E1

【分析】（1）证明：当，=彳时，—=7?^=?=0>即点。，E分别为BC,8C的中点,

2oCCjD,z

在直三棱柱ABC-ASG中，AA,//BBI，AAI=BBI,

所以四边形BBMA为平行四边形，

连接DE,则DE//BBt,DE=BBt,

所以。£//AA，OE=AA，

所以四边形。EAA是平行四边形，

所以AO//AE.

又因为ADO平面AE8，AEu平面AE8,

所以AD〃平面AEB.

(2)方法一：如图所示:

在平面ABC内，过点C作A。的垂线，垂足为“，连结GH,

则NGHC为二面角G-A。一C的平面角，即ZC.WC=1,

在直角三角形G”c中，GC=3,所以CH=由.

在直角三角形CH4中，CH=®AC=3,

所以sinNC4，=g^=3〈也，

AC32

又因为NCAH为锐角，

所以cosNCA〃=远且0<NCA，<f,

34

所以点，在线段AD的延长线匕

△GM中，sinZCDH=sinK+ZCAH底+26

6

CD=———=6-372

sinZCD7/

所以，W还牛叵=2一日

BC3近

方法二：平面ABC,又/54C=90°,

以｛丽，/，丽｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则点A（0,0,0）,8（3,0,0）,C（0,3,0）,C,（0,3,3）,

所以菊=（0,3,3）,BC=（一3,3,0）,而=tBC=（-3/,3f,0）,

所以而=（3-3f,3f,0）.

设平面AG。的一个法向量为或=(x,y,z),

[3（1T）X+3”=0,

则

•AD=0'[3y+3z=0

取“=(r,r-l,l-r),

又平面ADC的一个法向量为无>(0,0,1),

因为二面角G-A。-c的大小为gIT,

“一出”式1

所以郦冶=子

\-t1

即，3*-今+2=5'

得产-4f+2=0,

又因为0<r<l,

所以t=2-应.

21.(12分)设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C上一点A的横坐标为七(3>0),过点

A作抛物线C的切线4,与x轴交于点。与)，轴交于点E,与直线/：y=5交于点当|回=2时，

ZAFD=60°.

(1)求抛物线C的方程;

(2)若8为y轴左侧抛物线C上一点，过8作抛物线C的切线3与直线《交于点P,与直线/交于点N,求

△PMN面积的最小值，并求取到最小值时为的值.

【答案】⑴/=4%⑵5nli„=竽，%=半

【分析】⑴解：由题知小用，丫金,

所以y=j,4=微，切点A3告)

22

切线4方程为：y=&(x—xj+g=±x-),

P2PP2P

令),=0=0住,()}x=O=E(O,*),

所以。为AE的中点，

因为根据焦半径公式得：恒川=%+《=《"+与=|闭，NAfD=60。.

22p2

所以。尸_LAE,ZOFD=ZAFD=60°,

因为|叫=2,

所以|OF|=1,即p=2,

所以抛物线C的方程为-=4y；

/2A->

(2)解：设8私号，由(1)得4方程：y=2x-2①

、4J24

同理4方程产强x-名■②，联立①②=与=百/，

242

所以小=牛，

因为直线/的方程为：y=i,

所以"(2+?1],7vf-+^,ll

<x\2Jvx22J

所以|MN|=：+5_:专，

令一MW=r(r>0),

t21

—l---1—

8/2

。加2/八\

=in,S=——+—+〃？("？>(),

8mv7

32,3“+8/一16(3"-4)(/+4)

3=-m2-+1=----------；------=---------------------

8nr8/w8"

当0cme.,S单调递减，〃，>g