2022-2023学年黑龙江省牡丹江第三高级中学高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年黑龙江省牡丹江第三高级中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知zi＝1﹣2i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）在△ABC中，，则＝（）A． B． C． D．3．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝3：5：7，则cosC的值为（）A．﹣ B．0 C． D．4．（5分）数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位数为（）A．7 B．7.2 C．7.5 D．85．（5分）从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（）A． B． C． D．6．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．π7．（5分）若m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（）A．若m∥α，m⊂β，α∩β＝nα∩β＝n则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m∩n＝O，m∩n＝O，则α∥β D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积是（）A．36π B． C． D．50π二、多选题（共4小题，每小题5分，总20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）（多选）9．（5分）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（）A．该试验样本空间共有4个样本点 B． C．A与B为互斥事件 D．A与B为相互独立事件（多选）10．（5分）某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（）A．长度在[70，80）的产品数最多 B．a＝0.015 C．不合格的产品数为100件 D．产品长度的平均值约为70.5（多选）11．（5分）已知向量，则下列说法正确的是（）A． B．若，则k＝﹣2 C．在上的投影向量为 D．若（）∥，则k＝1（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为直角三角形 B．若sinA＞sinB，则A＞B C．若a＝12，b＝10，B＝60°，则符合条件的是△ABC有两个 D．若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是．14．（5分）i是虚数单位，已知|ω﹣2|＝|ω﹣2i|，写出一个满足条件的复数ω．．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，，a2+c2＝3ac，则b＝．16．（5分）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为4m的正△ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．四、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知平面向量＝（﹣1，﹣1）．（1）求|2|的值；（2）若向量与2夹角为，求的值．18．（12分）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120，140）的两组学生中抽取6人，则成绩位于[130，140）有几人；（3）估计所抽取的100名学生成绩的中位数（保留一位小数）．19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，其外接球与内切球的表面积之和为16π，过点A1的平面α与正方体的面相交，交线围成一个正三角形．（1）在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；（2）平面α将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积．20．（12分）北京2022年冬奥会，向世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛．（Ⅰ）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；（Ⅱ）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，AC1交A1C于点O，∠BAC＝90°，D为BC中点．（1）求证：C1A⊥平面A1B1C；（2）求直线B1C1与平面A1B1C所成的角．22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若b＝3，求△ABC周长的取值范围．

2022-2023学年黑龙江省牡丹江第三高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知zi＝1﹣2i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由zi＝1﹣2i，得z＝＝＝﹣2﹣i，∴在复平面内复数z对应的点的坐标为（﹣2，﹣1），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）在△ABC中，，则＝（）A． B． C． D．【分析】＝+，再结合＝及＝﹣，可解决此题．【解答】解：＝+＝+＝+（﹣）＝+．故选：D．【点评】本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．3．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝3：5：7，则cosC的值为（）A．﹣ B．0 C． D．【分析】由正弦定理可得a：b：c＝3：5：7，进而可用b表示a，c，代入余弦定理化简可得．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC＝3：5：7，∴由正弦定理可得a：b：c＝3：5：7，∴a＝，c＝，由余弦定理可得cosC＝＝＝﹣．故选：A．【点评】本题考查正、余弦定理的应用，用b表示a，c是解决问题的关键，考查了转化思想，属于基础题．4．（5分）数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位数为（）A．7 B．7.2 C．7.5 D．8【分析】利用9×80%＝7.2，进而可以求解．【解答】解：因为9×80%＝7.2，故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8，故选：D．【点评】本题考查了百分位数的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．5．（5分）从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算．【解答】解：有三件正品（用1，2，3表示）和一件次品（用0表示）的产品中任取两件的样本空间Ω＝{（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）}，恰有一件次品A＝{（0，1），（0，2），（0，3）}，由古典概型得．故选：D．【点评】本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．6．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．π【分析】求出底面半径和高，利用圆锥的体积公式即可求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l＝2，∵圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，∴πrl＝2πr＝2π，解得r＝1，∴h＝＝，∴该圆锥的体积为：V＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的结构特征、侧面积公式、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）若m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（）A．若m∥α，m⊂β，α∩β＝nα∩β＝n则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m∩n＝O，m∩n＝O，则α∥β D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β【分析】选项A，B，C分别为线面平行的性质定理，线面垂直的性质定理，面面平行的判定定理的符号表示，对选项D举反例即可．【解答】解：若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n是线面平行的性质定理；故是真命题；若m⊥α，n⊥α，则m∥n是线面垂直的性质定理，故是真命题；若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m∩n＝O，则α∥β是面面平行的判定定理，故是真命题；若α⊥β，m⊂α，则m⊥β是假命题，反例：m＝α∩β．故选：D．【点评】本题考查了线面位置关系的判断，同时考查了学生对定理的理解与记忆，属于基础题．8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积是（）A．36π B． C． D．50π【分析】由题意画出图形，求出三棱锥的高，利用勾股定理求外接球的半径，再由球的体积公式求解．【解答】解：如图，设O′为△ABC外接圆的圆心，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心．∵AB＝AC＝BC＝，∴＝2．∵PA＝PB＝PC＝，∴．设三棱锥P﹣ABC外接球的半径为R，则（4﹣R）2+4＝R2，解得R＝，故三棱锥P﹣ABC外接球的体积是．故选：B．【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、多选题（共4小题，每小题5分，总20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）（多选）9．（5分）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（）A．该试验样本空间共有4个样本点 B． C．A与B为互斥事件 D．A与B为相互独立事件【分析】根据相互独立事件的定义以及概率乘法公式可解．【解答】解：对于A，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则有{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}四个样本点，故A正确，对于B，事件A与事件B相互独立，则P（AB）＝＝，故B正确，对于C，D，事件A与事件B相互独立，故A与B为相互独立事件不为互斥事件，故C错误，D正确，故选：ABD．【点评】本题考查相互独立事件的定义以及概率乘法公式，属于基础题．（多选）10．（5分）某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（）A．长度在[70，80）的产品数最多 B．a＝0.015 C．不合格的产品数为100件 D．产品长度的平均值约为70.5【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1、频数及平均数公式计算即可．【解答】解：对于A项，因为频率分布直方图中[70，80）的矩形的高度最高，所以长度在[70，80）的产品数最多，故A项正确；对于B项，由0.01×10+10a+0.02×10+0.03×10+10a+0.01×10＝1，得a＝0.015，故B项正确；对于C项，因为4000×（0.01×10+0.015×10）＝1000，所以不合格产品数为1000件，故C项错误；对于D项，，故D项正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．（多选）11．（5分）已知向量，则下列说法正确的是（）A． B．若，则k＝﹣2 C．在上的投影向量为 D．若（）∥，则k＝1【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量投影的运算求解即可．【解答】解：已知向量，对于选项A，，即选项A正确；对于选项B，若，又，则（﹣1）×4+4k＝0，即k＝1，即选项B错误；对于选项C，在方向上的投影向量为＝，即选项C正确；对于选项D，因为，又，则﹣k＝4×4，即k＝﹣16，即选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量投影的运算，属基础题．（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为直角三角形 B．若sinA＞sinB，则A＞B C．若a＝12，b＝10，B＝60°，则符合条件的是△ABC有两个 D．若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理，余弦定理的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：若sin2A＝sin2B，故2A＝2B或2A＝π﹣2B，整理得：A＝B或A+B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B：若sinA＞sinB，整理得：2RsinA＞2RsinB，故a＞b，即A＞B，故B正确；对于C：由于a＝12，b＝10，B＝60°，则b＜asinB，故△ABC无解，故C错误；对于D：若sin2A+sin2B＜sin2C，根据正弦定理：a2+b2＜c2，故cosC＝，故：，故△ABC是钝角三角形，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是．【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率P＝1﹣P（A），代入即可求解．【解答】解：设数学题没被解出来为事件A，则，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：P＝1﹣P（A）＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率公式及独立事件的概率公式的应用，属于基础题．14．（5分）i是虚数单位，已知|ω﹣2|＝|ω﹣2i|，写出一个满足条件的复数ω．ω＝1+i（答案不唯一，满足ω＝a+ai（a∈R）均可）．【分析】运用复数的模的运算公式计算即可．【解答】解：设ω＝a+bi，（a，b∈R），则，，因为|ω﹣2|＝|ω﹣2i|，所以，解得：a＝b，所以ω＝a+ai（a∈R），所以可以取ω＝1+i．故答案为：ω＝1+i（答案不唯一，满足ω＝a+ai（a∈R）均可）．【点评】本题主要考查复数的模，属于基础题．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，，a2+c2＝3ac，则b＝4．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求ac＝8，进而利用余弦定理即可求解b的值．【解答】解：因为△ABC的面积为，，所以＝acsinB＝ac，可得ac＝8，又a2+c2＝3ac，则b＝＝＝＝＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．16．（5分）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为4m的正△ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．【分析】利用圆锥的展开图，连接BP即为所求．【解答】解：轴截面是边长为4米的正△ABC，则圆锥底面直径为4，底面半径为2，所以底面周长为4π，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为4，所以其展开图为一个半径为4的半圆．由图可知，|AB|＝4，|AP|＝2，所以．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的展开图和最短距离问题，考查运算求解能力，是中档题．四、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知平面向量＝（﹣1，﹣1）．（1）求|2|的值；（2）若向量与2夹角为，求的值．【分析】（1）已知平面向量＝（﹣1，﹣1），则，然后结合平面向量的模的运算求解即可；（2）已知向量与2夹角为，则＝，然后求解即可．【解答】解：（1）已知平面向量＝（﹣1，﹣1），则，则|2|＝＝；（2）已知向量与2夹角为，又，则＝，即，即＝1．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的坐标运算，属基础题．18．（12分）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120，140）的两组学生中抽取6人，则成绩位于[130，140）有几人；（3）估计所抽取的100名学生成绩的中位数（保留一位小数）．【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1可求出x的值，再利用平均数的定义求解；（2）根据分层抽样的定义求解；（3）根据中位数的定义求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，（0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005）×10＝1，解得x＝0.02，平均分为95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×0.1+145×0.05＝116.5（分）；（2）由频率分布直方图得出成绩位于[120，130）和[130，140）上的人数比为，抽取的6人中成绩位于[130，140）上的有2人；（3）因为（0.005+0.03）×10＝0.35＜0.5，（0.005+0.03+0.03）×10＝0.65＞0.5，所以中位数落在[110，120），设其为m，则0.35+（m﹣110）×0.03＝0.5，解得m＝115，即中位数为115分．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和中位数的计算，属于基础题．19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，其外接球与内切球的表面积之和为16π，过点A1的平面α与正方体的面相交，交线围成一个正三角形．（1）在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；（2）平面α将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积．【分析】（1）从A1作两条面对角线，再连接另外两点即可；（2）设正方体的棱长为a，正方体的体对角线即为外接球的直径，正方体的棱长即为内切球的直径，根据球的表面积公式得到方程，求出a，再求出两部分的体积，最后再求表面积即可．【解答】解：（1）连接A1D，A1B，BD，则△A1BD为所求三角形（作法不唯一），如图所示：（2）设正方体的棱长为a，正方体的体对角线即为外接球的直径，正方体的棱长即为内切球的直径，所以，解得a＝2，平面α将正方体截成三棱锥A1﹣ABD和多面体BCD﹣A1B1C1D1两部分，所以，，因此体积较大的几何体是多面体BCD﹣A1B1C1D1，其体积为，又BD＝，所以，又，，所以多面体BCD﹣A1B1C1D1的表面积为＝．【点评】本题考查正方体的截面问题，正方体的外接球问题，多面体的表面积的求解，属中档题．20．（12分）北京2022年冬奥会，向世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛．（Ⅰ）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；（Ⅱ）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率．【分析】根据古典概型可解．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设3个趣味项目分别为A1（跳绳），A2（踢毽子），A3（篮球投篮），2个弹跳项目分别为B1（跳高），B2（跳远）．从5个项目中随机抽取2个，其可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10种情况，抽取到的这2个项目都是趣味项目的有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种情况，故所求概率为．（Ⅱ）根据题意，从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共6种情况，这2个项目包括跳绳但不包括跳高的基本事件为{A1，B2}，共1种情况故所求概率为．【点评】本题考查古典概型的定义，属于基础题．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，AC1交A1C于点O，∠BAC