全国普通高等学校2023届招生统一考试模拟（三）数学试卷(含答案)

全国普通高等学校2023届招生统一考试模拟（三）数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知集合4={小(1一2)<3},B=<则A/=()

A.{x|-l<x<3}B.|x|-1<x<41C.1x|x<41D.|x|-l<x<4|

2、已知复数三为纯虚数，且三=1,则z=()

1+i1+i

A.l-iB.l+iC.—1+i或1-iD.-l—i或1+i

22

3、已知双曲线C:二-4=1(。>0,8>0)的离心率为2,点M为左顶点，点尸为右

ah

焦点，过点尸作X轴的垂线交C于A,8两点，则=()

A.45°B.60°C.90°D.120°

4、函数/（力=言录的部分图像大致为（）

5、北京2022年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件

作为奖品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形状完全

相同的6张卡片，上面分别标有编号1,2,3,4,5,6,现从中不放回地抽取两次卡

片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中

奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（）

A.—B.-C.-D.-

15535

6、在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为正方形，△PBC为等边三角形，二面角

P-3C-A为30°,则异面直线PC与所成角的余弦值为（）

7、已知△ABC中，ZBAC=nO°,AC=343=3,DC=2AD,在线段8。上取点

E,使得6E=3EO,贝hosNA£B=()

A.叵R历cV21

D.----------

377

8、已知函数为定义在R上的偶函数，当xe（0,+oo）时,f'（x）>2x,“2）=4,

则不等式灯1（工一1）+2%2>d+x的解集为（）

A.（-1,0）U（3,-HX）B.（-l,l）J（3,-+w）C.（F,T）J（0,3）D.（-l,3）

二、多项选择题

9、随着我国碳减排行动的逐步推进，我国新能源汽车市场快速发展，新能源汽车产销

量大幅上升，2017-2021年全国新能源汽车保有量y（单位：万辆）统计数据如下表所

示：

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代码X12345

保仃量:了/万

153.4260.8380.2492784

辆

由表格中数据可知》关于x的经验回归方程为>=以-33.64,则（）

A.&=150.24

B.预测2023年底我国新能源汽车保有量高于1000万辆

C.2017-2021年全国新能源汽车保有量呈增长趋势

D.2021年新能源汽车保有量的残差（观测值与预测值之差）为71.44

10、已知圆O：f+y2=],圆Q：（x—攵Y+（y—君攵『=4,则（）

A.无论攵取何值，圆心或始终在直线y=6x上

B.若圆。与圆G有公共点，则实数2的取值范围为1,|

C.若圆。与圆。的公共弦长为半，则人士1或女=±：

D.与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这

条公切线叫做这两个圆的外公切线，当Z=±。时，两圆的外公切线长为20

2

11、已知函数/（X）=25m（5+9）-0（其中69>0,0〈夕〈兀）的图像与X轴相邻两个

交点之间的最小距离为当时，/（X）的图像与无轴的所有交点的横坐标

4\22/

之和为方，则（）

A"n=1-0B./（x）在区间W内单调递增

C.f（x）的图像关于点卜,，-向对称D./（x）的图像关于直线x=1对称

12、已知抛物线。:/=2〃），（2>0）的焦点为尸，斜率为z的直线4过点尸交。于A,B

两点，且点8的横坐标为4,直线4过点8交C于另一点M（异于点A），交C的准线于

点。，直线AM交准线于点E,准线交y轴于点N,则（）

AC的方程为V=4y=:

C.\BD\<\A£\D.|A©H隅=4

三、填空题

2」

13、已知log53=—,则3'・272=.

x

14、若1-何（爪+JJ的展开式中存在常数项，则〃的一个值可以是.

15、已知数列｛./，用｝是以2为公比的等比数列，q=1,4=2,记数列｛%｝的前几项

和为S“，若不等式邑对任意xe（0,2023］恒成立，则〃的最小值为

4a2”x

16、我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六

面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体43C。-EFG”,其中ABCQ是边长为4的

正方形，EFG”为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，EF=4,FG=2,

AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH

所成角的余弦值为.

四、解答题

17、在数列｛”“｝中，q=20,an+l=\an—3|.

(1)求｛为｝的通项公式；

⑵求｛q｝的前〃项和S”.

18、如图，在平面四边形A8CO中，CDLDB,CD=1,DB=6/M=2.

(l)^ZDAB=60°,求cosZACB；

⑵求的取值范围.

19、近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推

出了两套方案，并分别在A,8两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活

动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意

义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣

传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前

端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、

自动积分等一系列操作.建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换

礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类.经过一

段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们

对试行方案的满意度得分(满分100分)，将数据分成6组：[40,50),[50,60),

L60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图:

顿率

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾

分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表)；

⑵估计A小区满意度得分的第80百分位数；

(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于

70分说明居民不太赞成推行此方案.现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小

区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望.

20、如图，在多面体aiBCFE中，B4_L平面ABC,PA//CF//BE,且

PA=2CF=4BE,。为出的中点，连接BO,PC,点N满足。M=2MB,

PN=INC.

B

(1)证明：MN〃平面PEB

(2)若P1=2A8=23C=4,COS/PEF=N^~,求直线PC与平面PM所成角的正弦

65

值.

22

21、已知椭圆C:,+专■=l(a>6>0),左顶点为A,上顶点为8,且=过右

焦点厂作直线/,当直线/过点8时，斜率为-G.

(1)求。的方程；

(2)若/交C于尸，。两点，在/上存在一点M,且。M=则在平面内是否存在两

个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定

值；若不存在，请说明理由.

22、已知函数/(%)=e'cosx.

(1)求/(X)在区间(0,内的极大值；

⑵令函数尸(对="4一_1,当。>逑时，证明：/(x)在区间(0,巴］内有且仅有两个

零点.

参考答案

1、答案：D

解析：由x(x—2)<3得/一21-3<0,解得A=k|—l<x<3},由告N1得

54—r

—--1>0,即一->0,即(4-x)(x+l)20且X+1A0,解得5={x|_l<xW4},所

以A8={x[—l<x〈4}.故选D项.

2、答案：C

々刀4■匚、几1­z7c\m.iza+bi(。+历)(1-i)a+bb-a.巾*后

角牛析：以z=〃+Z?i(Q,/?GR),贝ij-----=-----------------1----i9因为复

1+i1+i222

%+8=0,

数三为纯虚数，所以，2’解得，又三=1,所以生工=1或

1+i曰b-aw。„，a*b,1+i2

%—1,解得b=l或匕=一1,所以z=—1+i或z=l—i.故选C项.

2

3、答案：C

解析：由题意得0=工=2,即c=2a,又/=/+/,所以b2=3q2,设点A在X轴上

a

(力2、/2

方，则A[G:]，又亍=3%所以|Aq=3a,„+c=3a,因为NAFM=90。，

所以N/M=45。，所以NAMB=90。.故选C项.

4、答案：C

解析：由题知/(力的定义域为R,又/(-x)=芈苧=-©吟=-“X),所以“X)

为奇函数，排除A,B项；〃1)=苧＜0,排除D项.故选C项.

5、答案：B

解析：若事件a为“第一次抽到卡片中奖”，事件A为“第二次抽到卡片中奖”，则

尸(3=黑卡P⑷系4故尸⑷介露H•故选8项・

6、答案：A

解析：如图，由AB〃C£>,得NPC£>为异面直线AB与PC所成的角或其补角，设E,

产分别为BC,AO的中点，连接PE,PF,EF,由底面ABC。为正方形，△P8C为等

边三角形，得PE工BC,FEA.BC,所以NP砂=30。.设43=2,则=由余

弦定理得尸尸=1,又尸产，AD,FD=1,所以产。=血，又PC=CD=2,所以

cosNPCD=4+4"=▲.故选A项.

2x2x24

解析：由题意知Z4E3是向量AE与向量8。的夹角，BD=BA+AD=-AB+-AC,

3

311

AE=AB+BE=AB+」BD=—AB+—AC,

444

BD-AE=\-AB+-AC\-\-AB+-AC\=-\-AB2--AB-AC+-AC\=-,

I3只44J4(33)4

IM不叫qs版卜梅+河当

3

则cosZ.AEB==——生下=立^.故选D项.

任也7

MM4

解析：因为r(x)>2x,所以r(x)-2x>0,构造函数F(x)=/(x)-%2,当

xe(0,4w)时，尸(x)=/'(x)-2x>0,*x)在区间(0,+8)内单调递增，且

尸(2)=0,又“X)是定义在R上的偶函数，所以网力是定义在R上的偶函数，所以

尸(x)在区间(-8,0)内单调递减，且/(-2)=0.不等式M"(x-l)+2f>d+x整理得

xf(^x-t^+2x1-x}-x>0,即x/(x-l)-(x-l)->0,当尤>0时，

/(%-l)-(x-l)2>0,则％—1>2,解得x>3；当x<0时，/(x-l)-(x-l)2<0,则

-2<x-l<0,解得又x<0,所以-1cx<0.综上，不等式

1)+2/>%3+》的解集为(_I,O)U(3,4W).故选A项.

9、答案：BCD

解析：由题得7=3,亍=414.()8,代入可得心=149.24,A项错误；2023年的年份代码

为7,代入y=149.24%-33.64得y=1011.04,高于1000万辆，B项正确；C项显然正

确；将x=5,代入y=149.24x-33.64得y=712.56,相应的残差为

784-712.56=71.44,D项正确，故选BCD项.

10、答案：ACD

解析：圆心C*的坐标为在直线y=6x上，A项正确；若圆。与圆G有公

共点，则1W|OC/W3,所以灸<3,B项错

误；将圆。与圆G的方程作差可得公共弦所在直线的方程为

2履+26h-4攵？+3=0,则圆心。到直线的距离4则

|-4公+3]33

解得々=±二或z=±1,C项正确;当女=±±时，圆。与圆

442

G外切，圆心距为3,半径差为1,则外公切线长为了=20,D项正确.故选

ACD项.

11、答案：AB

解析：令/(x)=0,贝！Jsin(o>x+e)=——,所以。工+0=三+2&兀，ZcZ或

24

4——夕+2攵兀---9+2%兀

QX+9=」+2&兀，左$Z,解得X=-----,k^Z^x=-------，kwZ,

4coCD

所以/(X)的图像与X轴相邻两个交点之间的最小距离为三,所以，_=二，解得

2G2(04

①=2,所以/（x）=2sin（2x+o）-山，所以〃尢）的周期7=亨=兀，当xw兀71

292

时，2尢+0£（—兀+0,兀+0）,令/（x）=0,即sin（2x+e）=^-,又0<°<兀，所以

2x+°=三或2x+o=电，所以％=色一2或尢=型一由巴一？+理一2二二得

44828282823

（p=—y所以〃元）=ZsinRx+C]-血，/f—=1-V2,A项正确；由_/<工<2,

6\6/v3J66

zg7T_7TTC,所以/（x）在区间（-2仁]

得——<2x+—<—内单调递增,B项正确;

662

=6-&#±2-&,所以“X）的图像不关于直线x=2对称,D项错误.故选

AB项.

12、答案：ABD

解析：由题意得《0,9，8（4,£），所以3,=勺2=:，以整理得

p2+6p-16=0,又p>0,解得p=2,所以。的方程为f=4y,A项正确；准线方

程为y=-l,B（4,4）,F（0,l）»直线4的方程为y=2x+l,与f=4y联立解得x=-l

或x=4,所以,一1,；）,则|AM=J（4+1）2+（4—=彳，B项正确；设点

M,由题意知，〃。±1且加。±4,所以直线取4:丁-；='『（％+1）,令

y=-l,得》=-1，即竺吧所|以加同=1.同理可得

m-\（m-1）11m-1

他2i]&T,所以加口加国=处4.311=4,D项正确；当

加=2时，£（-6,-1）,所以|AE|=等7,忸。|=生叵，则忸£）|>|A£|,C

项错误.故选ABD项.

1

13、答案:5-

22

解析：由log53=—,得％=----=21og35=log325,则

xlog53

x3311

3、x27-3=3咋/x3-5%'=25x25《=25个=-

5

14、答案：4（答案不唯一）

、

211

解析:X-2xy/x++—+7的展开式的通项

X

1\n-7r

公式为&产=C"k,取〃=4,r=l,得］=C%"=’,可得

2

A-7x

（x—五）（加+《

的展开式的常数项为*±=4,所以〃的一个值可以是4.

X

15、答案：9

解析:由题知qa,=2,则a,,%=2x2"T=2",所以勺+必2=2"T,所以%1=2,所

以数列｛4a｝是以1为首项，2为公比的等比数列，数列｛&,｝是以2为首项，2为公比

的等比数列，则

$2"+1=（《+q++。2"+1）+（42+“4++a2n

1-21-2

S„22-+2-1对任意

4“=2x2"T=2",那么2+I+1一击，因为S2"+I+2>3

4%,4x2"x

xe（0,2023］恒成立，则只需1一击〉x-1

即可,令"x）=，则/（X）在区间

maxX

12022o..11

（。,2。23］上单调递增，所以八式「黑，所以1->----,BP——<-----，BR|MJ

2"*220232”+22023

2,,+2>2023,解得〃29,又〃eN*,所以〃的最小值为9.

16、答案：上叵

165

解析：如图，把此六面体补成正方体，连接A”，AC,由题可知所以

ZAHC是异面直线BG与CH所成角或其补角，在中，47=序不=5,

CH=Vl2+42+42=733,AC=4日则

ciC=3C“2_『25+334迪

2xAHxC/72x5xv33165

43〃-3"

,n<1,

2

(2)S,,=

3n+265+(-1)

>8

T

解析：(1)因为4=20,且20—3x6=2>0,20-3x7=-l<0,

所以当时，an+l=an-3,

此时｛4｝是以20为首项，-3为公差的等差数列，

贝iJa“=20-3x(〃-l)=23-3〃；

—

当〃28时，a8—\cij3|=|2—3|=1>%=|4—3|=|1—3|=2,=]%_3|=|2-3|=1,

%-3|=|1-3|=2,…，

可得数列｛为｝是个摆动数列，则4=上早

23-3«,n<7,

?，1

综上，an=<3+(-1).

—,/z>8

2

⑵当“47时，s,,=生三二皿=也二生；

22

3/?213n+33

当〃28,且〃为奇数时，S„=S7+lx-^+2x-^2=77+-=1

"72222

当/也8,且〃为偶数时，S.=S“T+4J区?+133+]=笞%,

所以+竺十上

43n-3n2八

——；——，"47,

2

综上，Sn—<

3〃।265+(-广

,n＞8

I24

5H

18、答案：(l)cos/ACB=*

(2)(16-473,20)

解析：(1)在△ABD中，因为。3=百，D4=2,NZMB=60。,

由余弦定理得(省『=2?+AB?-2x2xABcos60°,解得AB=\,

由432+032=ZM?,得

此时RtACDB^RtAABD,可得ZABC=120°.

在△ABC中，AB=\,BC=2,

由余弦定理得472=12+22一2乂1*2*8$120。=7,解得AC=V7,

所以cosNACB=2-+7—匚=短.

2x2x7714

(2)设NAOB=6,由题意可知

在中，由余弦定理得=2?+(6『一2x2x6cos8=7-46cos。,

7T

在△ACD中，AADC=0+-,

2

由余弦定理得AC?=2?+/一2x2xlxcos[e+])=5+4sin。，

所以4发+靖+人。?=7—4月cos6+5+4sine+22=16+8sin/一方

因为0＜6＜二，所以—四＜6—巴〈巴，一走＜sin(8—四]＜，，

23362(3j2

所以AB?+8。2+AC?的取值范围是(16-46,20).

19、答案：(1)方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎

⑵第80百分位数为85分

(3)分布列见解析，数学期望是4

解析：(1)设A小区方案一满意度平均分为"

则口(45x0.006+55x0.014+65x0.018+75x0.032+85x0.020+95x0.010)x10=72.6,

设B小区方案二满意度平均分为工，则

亍=(45x0.005+55x0.005+65x0.010+75x0.040+85x0.030+95x0.010)x10=76.5,

因为72.6<76.5,

所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.

⑵因为前4组的频率之和为0.06+0.14+0.18+0.32=().7<0.8,

前5组的频率之和为0.06+0.14+0.18+0.32+0.2=0.9>0.8,

所以第80百分位数在第5组，

设第80百分位数为x,WJ0.7+(x-80)x0.020=0.8,解得x=85,

所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分.

⑶由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为0.8,低于70分的频率为0.2,

现从B小区内随机抽取5个人，

贝IX〜8(5,些)，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,

X的分布列为

X01234

P

31256256256253125

4

由二项分布知E（X）=5x—=4.

20、答案：（1）证明见解析

(2)直线PC与平面PEF所成角的正弦值为叵

21

解析：(1)证明：连接AF交PC于点N',

因为B4//C/7,PA=2CF,所以±PN±'=£P3A=2,

N'CCF

又PN=2NC,则点N'与点N重合，所以AN=2NF,

同理，连接AE交OB于点例，得所以MN//EF,

又MN①平面PEF,£Fu平面PEG所以用N〃平面PEE

(2)解：由题意可知PE=/452+弓2《|=V22+32=713,

EF=^BC2+(⑴=V22+12=V5,

在APEF,PF2=PE2+EF2-2PExEFxcosNPEF

=13+5-2x713x75x^^=12,

65

2

22C1A

AC=PF-\-PA=8,所以AC2=A§2+BC2,所以

12)

以B为坐标原点，BC,BA,BE所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间

B

所以尸(0,2,4),E(0,0,l),尸(2,0,2),C(2,0,0),PC=(2,-2,-4),EF=(2,0,1),

£P=(O,2,3),

EF•〃=2x+z=0,

设平面PEF的法向量为〃=(x,y,z),则

EP-n-2y+3z=0,

不妨取x=l,则y=3,z=-2,即“=(1,3,—2),

设直线PC与平面PEF所成的角为0,

,vPCn

sin6=cos(PC-/?)=---n—•

'/PC^n

=|2xl+(—2)x3+(-4)x(—2)|=4=V21

百+(—2)+(-4.#+3；+(—2)22日屈21

所以直线PC与平面PEE所成角的正弦值为亘.

21

22

21、答案：⑴二+匕=1

43

(2)存在两个定点分别为(-J。)，点M到这两个定点的距离之和为定值2

a2+h2=7,

解析：(1)由题意知Ibr-

c

又片=Z?2+c2,解得a=2,b=A/3,c=l9

2