西南交大矩阵分析考试题型总结(复习备考必备-轻松拿下90分)

2013-2014考试题型：1、线性空间的定义及判别2、矩阵函数eA,sinAcosA的计算3、函数矩阵的微分、积分的计算4、矩阵四种范数的定义、计算5、Hamite-CaylayfxEAfA0可用于解逆矩阵6、V上两组基之间的过渡矩阵计算7、线性空间，线性变换在基下的矩阵的计算8、向量在基下的坐标（就是求解线性方程组）9、约当标准型的计算（P的计算）10、Smith标准型的计算11、schmit正交化方法（化成标准正交基）12Ax=b（ATAxATb）2014-2015考试题型：一、判断：线性空间的判定二、计算：1、最小二乘法解方程组、标准正交基的判定、矩阵的约当标准型4、变换称为线性变换的证明（项、和、维数）5、smith标准型（t的矩阵函数）7、矩阵范数的计算8、矩阵特征值的分布范围9A的计算10、标准正交基之间的性质定理证明自我补充题型：11、求过渡矩阵12、求向量在一组基下的坐标P题型总结：参考书目《矩阵分析引论（第五版）——罗家洪》【1】线性空间的判定：是否满足加法、数乘封闭。8条规则：零元素负元素1乘等于本身 1 1 1 112-13考题一集合SxxR3,Axb,A2 2 2,b2是否为线性空间 3 3 3 3 3 3 xR3xSyR3ySAxbAybAxy2bbb0，不满足加法封闭，所以不是线性空间。【2】矩阵级数的敛散性limA

Alima(k)a1

A1kk

kij ij2k1

A1A2Ak

NNSNAkA1A2AN

limSNA矩阵级数的收敛性：如果矩阵级数的部分和序列收敛于A，即N ，则称矩阵级数收敛于A，记做k1mn个数项级数是收A(a(k)),A(a)

AA

a(k)a敛的。即设k ij

kijk1

ij ij矩阵级数收敛的性质：若矩阵级数Ak收敛，则limAk0k1

k是绝对收敛的。aAkaIaA

aA2a

Akkkk

0 1 2 k3

ACnn,aCk矩阵复幂级数收敛定理：若复幂级数aAk的收敛半径为RACnn的谱半kk1A当AR时，方阵幂级数aAk当ARkk1kak时，方阵幂级数aAk发散。其中R由式akkk1

k R【3ATAXATBP322-9

x1x21xx21 3用最小二乘法解方程组xxx01 2 3x2xx

11 2 31 1 01 0 1

1 11 1

12解：由于A ，AT1 01 2，B 1 1 1

0 11

1

01 2

1

1 所以4 4 1x1 2ATAX4 6 1x1ATB 2 1 1 3x

3

3 ,x

13,x41 6 2

6 3 6【4】标准正交基的判定n维（或称单位正交基）1、标准正交基的判定 0,i P466方法：验证aiaj准正交基。基础解系的求法：我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系。,,n1

l

ln,i,i,,n n 11 2 2

n1，i

i,i例 求数域K上的齐次线性方程组 x1

3x4

x50, x x2x

0, 1 2 3 44x2x6x3x4x

0, 1 2 3 4 52x4x2x4x7x

0.的一个基础解系。

1 2 3 4 51010311103112100 2 2 2 1 263400031424700000111 422 x1x2 3x4x502x2x2x3xxx00移项，得x1x2 3x4x502x2x2x3xxx00移项，得x1x2 3x4x5,2x2x2xx,3xx.2 3 4 54 5（1、取

2 4 3 54 5x50，得一个解向量（2、取3

x51，得另一解向量0,1,1).2 66 31,2即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为解毕。

k11k22

(k1,k2K).2x1x2x3x43x50 5P467求齐次线性方程组xx

xx0

1 2 3 5标准正交基。解：用初等变换把系数矩阵化为行阶梯形：P262-5】【5】矩阵的约当标准型将EA化成对角阵，得出初级因子，将特征值作为对角元素，写出约当标准型。P55【6】变换称为线性变换的证明（项、和、维数）定义：保持向量加法、数量乘法的变换。TTTTkkT说明：线性变换就是保持线性组合的对应的变换。典型线性变换：(3)如果九(p)=l性变换T1(p+q)=1,但 九(p)+1(q)11=2,所以 九(p+q)＃九(p)+T1(q).例3 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间V,在这个空间中变换T(J(x))fJ心是一个线性变换r证明设 J(x)EV,g(x)EV.r则有T[f(x)+g(x)]= f(t)+g(t}ltfg(tlt=T[J(x)]+T[g(x)]T(kf(x))t't}itktftkT[/(x)l故命题得证．例4 线性空间V中的恒等变换（或称单位变换）E:E(a)=a,aEV.是线性变换证明设af)EV则有E(a+＝a+3＝E(a)+E(）E(kakakE(a).所以恒等变换E是线性变换例5 线性空间V中的零变换0:o(a)=0是线性变换．证明 设a,pEV,则有o(a+P)=o=o+o=o(a)+o(p)O(ka)=0=kO=kO(a).所以零变换是线性变换 例6 在矿中定义变换(x.,2,x3)=2+3,0)则TR一个线性变换证明\/a=(a.,a2'a31P=(b.,b2,b3)ER3,T(a+p)=T(a1h.,a2+b2,a3b3)（＋矿2+3+b2+b3,0J（2+3,

;,2+b3,0)T(aT(p). 证毕．【7】Smith标准型。注意做行列式变换，不能除带整式多项式，可以乘。×329个了，根本算不过来。0，再在子式里做行列调换，把次数小的换到左上角。方法二：用行列式因子、不变因子。用于简单形式的矩阵，特别是对角阵时。12-13考题六求多项式矩阵：120021 000011000010000

0 0 0 00 G

0的史密斯标准型 0 1 D1D2112 1221 ， 21 11 112 21 11 ， 11 1 1 ，12 21 11 1 ， 1 ， 1 1 1 1 所以331（），3级行列式因子：D3121,12,21,11=1例题，这种运算的意义是取括号内各多项式元素的公因式）4D412155D22225所以不变因子：d1d2d34dD41214D35dD51215D4所以史密斯标准型为：d1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 d 0 0 0 0 1 0 0 0 2 G0 0 d3 0 00 0 1 0 0 0 0 0 d 0 0 0 0 121 0 4 0 0 0

d 0 0 0 055

121 【8】矩阵函数的计算（含参数t）1、矩阵的微分与积分：将矩阵内函数分别微积分。注意积分常数项不能相同。lnt e5t

dAt 212-13考题七At

t1 ，求：

,Att,

Atdt。 解：dAt

1 5e5ttdAtdt

1 1t12 1tt1 5tlnttC 1e5tC 5 1 2 2Atdt2 3 1 23 t23 ttnt3

ln1t2C22ln2125 Atdt5

10e5 1 2 2arctan2arctan11ln5ln2 3 2 e2t矩阵分析模拟题七Atet

tet2e2t

0dAt,

1Atdt1 t 2t 0 0 2e2t

t1et 0dAt解：0dt0

et

4e2t 2 0 0 1e2tC t1etC tC2 1 2 3Atdt

et

e2t

C67 8 t2C C C 7 8 1 1e21

1 1Atdt 1e1 e21 00 1 0 0 2、求eAeAt,sinAcosAt3、求微分方程组的解【9】矩阵范数的计算amaxxi1in na1xiaa p

i1ni1

1xpp1pi 1A1AmaxAmaxAH AA 2nnj1aij2trAHA

最大列模和最大行模和AF 【10】矩阵特征值的分布范围P128AAH

aijajiBj

nn

2 2 Cj

AAH

aijajinn 2 2 nn2na2nnk1i,jnmax1i,jnmaxaij

i1

ij;1i,jnmaxbijRe1i,jnmaxbij1i,jnmaxcijlm1i,jnmaxcijnn12lmnn12

maxck圆盘定理：P129

1i,jnijRt【11A的计算AAHAH1AAH1AHM-P广义逆矩阵【12】标准正交基之间的性质定理证明【13】求A到B的过渡矩阵C：根据定义B=AC，所以CA1B，解可得。P5例1-5设线性空间R3

中有向量：11,0,02

,3, ，.11,2,3,22,3,1,33,1,2.（1）求abc在基1，2，3下的坐标；（2）求从基1，2，3123的过渡矩阵。1231 2 1在基，T,T,TT1231 2 1 1 1a的解。因为T,T,TT0 1

1 0 0ab0 1 0bc，故在1 2 3 0 01c 0 0 1 c 基1，23下的坐标为abbcc；（2）jj在基1，2，3下的坐标。1 111 2 3 1 0 01 1 2因T,T,T

T,T,T0 112 3 10 1 01 2 11 2

1 2 3 0 013 1 2 0 0 13 1 2 4列为第一个方程组的解，6列为第三个方程组的解。所以从基1，2，3123的过渡矩阵为1 1 21 2 1 3 1 2 12-13考题三设线性变换Tx110,1x2