信号与系统ch3-连续信号正交分解31-南航

连续信号的正交分解第三章1引言在频率域中信号分解三角级数：一个非正弦的周期信号，可以展成一个三角函数的级数信号分析角度一个周期为T的信号，被分解成一系列的信号分量，其中包含有直流分量，频率为Ω的基波分量，2Ω的二次谐波分量……信号分量正交函数集傅里叶级数2引言在频率域中信号分解三角级数：一个非正弦的周期信号，可以展成一个三角函数的级数参照时域分析法可以想像，在系统分析基本思想指导下，必有一套新的系统分析方法。信号在频域中分解，在频域求单元响应，在频域中迭加——频域分析法3内容正交函数集1傅里叶级数2周期信号频谱3非周期信号频谱4帕色伐尔定理与能量频谱5傅里叶变换64信号表示为正交函数集矢量分量与分解15信号表示为正交函数集矢量分量与分解正交矢量集分量系数C12在最小平方误差意义上反映两个矢量的相互近似程度（相关度）C12=1

两个矢量相同C12

两个矢量差异变大正交矢量集：互相垂直的两个矢量6信号表示为正交函数集矢量分量与分解二维平面-直角坐标系-二维正交矢量集单位正交矢量满足一个二维矢量可以分解为两个互相正交的矢量7矢量分量与分解二维平面-直角坐标系-二维正交矢量集一个二维矢量必须用二维正交矢量集表示若用一个一维矢量集表示二维矢量必有误差8信号表示为正交函数集矢量分量与分解三维空间-三维正交矢量集单位正交矢量满足一个三维矢量必须用三维正交矢量集表示若不用三维正交矢量集表示必有误差9信号表示为正交函数集矢量分量与分解n维空间-n维正交矢量空间集单位正交矢量满足一个n维矢量必须用n维正交矢量集表示10信号表示为正交函数集矢量分量与分解n维空间-n维正交矢量空间集一般正交矢量满足一个n维矢量用n维一般正交矢量集表示11信号表示为正交函数集矢量分量与分解完备正交矢量集矢量用完备集表示没有误差用不完备集表示必有误差，但只要按误差最小12信号表示为正交函数集信号分量与分解信号分量误差均方误差1t1≤t≤t213信号表示为正交函数集信号分量与分解信号均方误差最小时C12在最小平方误差意义上反映两个信号相互关联程度（相关度）相关系数14信号表示为正交函数集信号分量与分解信号二维正交函数集15信号表示为正交函数集信号分量与分解n维正交信号空间若Ki=1,则构成归一化n维正交信号空间16信号表示为正交函数集信号分量与分解一个任意信号f(t)在区间(t1,t2)上用n个正交函数表示成17信号表示为正交函数集信号分量与分解完备的正交函数集表示一个任意信号f(t)

，一般要无穷维,即包含无限多个信号分量。若用有限多项表示则必有误差若选误差最小18信号表示为正交函数集复数函数集复变函数的正交若复变函数f1(t),f2(t)在时间(t1,t2)区间上满足则f1(t),f2(t)在时间区间(t1,t2)上正交复变函数的正交函数集若复变函数g1(t),g2(t)…gn(t)满足则g1(t),g2(t)…gn(t)构成n维正交复变函数集119信号表示为正交函数集复数函数集一个任意函数（实或复）可表示成若选误差最小20信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数正交函数集时间间隔(t1,t1+T),互相正交221信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数完备正交函数集在区间(t1,t1+T)上构成正交函数集。当n→∞时，构成完备正交函数集任何一个周期为T的周期信号可用该正交中的函数表示成22信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数分量系数直流分量基波分量谐波分量基波频率谐波频率23信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数例题：求下列周期信号的基波角频率和周期讨论复合周期信号的角频率取各个信号角频率的最大公约数24信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数

25信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数An,

an是n

的偶函数

n,

bn是n

的奇函数振幅相位

26信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数说明物理意义：一个周期为T的信号可在频域分解成许多信号分量，将所有这些直流分量、基波分量、二次谐波、n次谐波分量迭加起来得到信号f(t)频率信号

f(t)必须满足狄里克莱条件才能展成三角傅里叶级数27信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数说明信号f(t)在周期内狄里克莱条件绝对可积具有有限极大值与极小值只有有限个间断点信号的误差n→∞时，正交函数集完备，即谐波分量取到无限多，则级数表示信号无误差n有限，正交函数集不完备。即谐波分量取到有限多，则级数表示信号有误差按分量系数关系选择an,bn则均方误差最小28信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数在一定区间内，任一信号可以用一直流分量和一系列谐波分量之和来表示级数n的增加，可以改善傅里叶级数表示信号的近似程度误差29信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数例题：三角傅里叶级数表示方波信号方波为非周期信号，首先将f(t)以T为周期进行延拓得到一个周期为T的周期信方波，再展成付里叶级数30信号表示为傅里叶级数方波信号直流基波谐波等分量组成N=0N=0,1N=0,1,2N=0,1,2,3N=0,1,2,3,4N=0,1,2,3,4,531信号表示为傅里叶级数方波信号误差情况比较32信号表示为傅里叶级数方波信号表示为傅里叶级数讨论项数取得越多，误差愈小只有在区间(0,T)内函数f(t)才符合此三角级数，区间外f(t)=0，展开式不适用，因此展开式必须注明区间一个周期信号可展成三角级数，而一个非周期信号只有通过延拓式周期信号后，才能展开付里叶级数Gibbs现象：随n趋向于无穷，在函数的间断点附近至少存在一点，其函数的分解误差收敛于函数在这点上的跳变值的9%.33信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数例题：求下列周期信号的傅里叶级数T/2-T/21f1(t)T/2-T/21f4(t)利用信号的处理简化求解过程f1(t+T/2)f1(-t-T/2)34信号表示为傅里叶级数指数傅里叶级数正交函数集2时间间隔(t1,t1+T),互相正交35信号表示为傅里叶级数指数傅里叶级数完备正交函数集在区间(t1,t1+T)上构成正交函数集。当n→∞时，构成完备正交函数集任何一个周期为T的周期信号可用该正交中的函数表示成36信号表示为傅里叶级数指数傅里叶级数分量系数37信号表示为傅里叶级数指数傅里叶级数38信号表示为傅里叶级数指数傅里叶级数常用表示三角级数、指数级数形式不同，实质相同。指数级数实用方便，只要求一个相关系数。39信号表示为傅里叶级数指数傅里叶级数例题：求下列图形所示信号的指数傅里叶系数-114-4

－101t40信号表示为傅里叶级数指数傅里叶级数例题：求周期锯齿波信号的指数傅里叶级数T/2-T/2T-T-1141信号表示为傅里叶级数指数与三角傅里叶级数常用表示指数级数，

n

正交函数集，三角级数，

n

正交函数集，指数级数不存在负频率。分量系数模An是n，Ω（频率）的偶函数相角

是n，Ω（频率）的奇函数42信号表示为傅里叶级数指数与三角傅里叶级数常用表示两种级数求分量系数时，t1可取任意值，为方便，积分区间常取(-T/2,T/2)周期信号可展成付里叶级数非周期信号通过延拓也能展成级数，但要注明适用区间43信号表示为傅里叶级数指数与三角傅里叶级数常用表示求法：用指数级数比用三角级数更方便，只需求出求频谱：第n次谐波分量的复数振幅（包括振幅和相位）44信号表示为傅里叶级数周期函数展开为傅里叶级数三角形式展开式傅里叶系数45信号表示为傅里叶级数周期函数展开为傅里叶级数指数形式展开式傅里叶系数46信号表示为傅里叶级数周期函数展开为傅里叶级数三角形式与指数形式各系数间关系47信号表示为傅里叶级数函数的奇偶性偶函数：对称于纵轴和t=T－T0Tt48信号表示为傅里叶级数函数的奇偶性偶函数：对称于纵轴和t=T

偶函数的三角付里叶级数中,只含余弦项(可能有直流分量),无正弦项。偶函数之和仍然是偶函数。249信号表示为傅里叶级数函数的奇偶性奇函数：对称于原点和t=T

－T/20T/2t50信号表示为傅里叶级数函数的奇偶性奇函数：对称于原点和t=T奇函数只含正弦项，不含余弦项和直流分量。奇函数之和仍然是奇函数。51信号表示为傅里叶级数函数的奇偶性例题：利用奇偶性质，求信号的傅里叶级数－T0Tt

－T/20T/2t52信号表示为傅里叶级数函数的奇偶性讨论任何函数都可分解成偶函数与奇函数两个部分.注意函数是否为奇(偶)函数不仅与周期函数的波形有关，而且与原点的选择有关。53信号表示为傅里叶级数函数的奇偶性例题：画出信号的奇分量和偶分量-1 12 311-T/20 T/254信号表示为傅里叶级数函数的奇偶性及奇偶谐特性注意函数是否为奇(偶)函数不仅与周期函数的波形有关，而且与原点的选择有关。偶函数奇函数非奇非偶55信号表示为傅里叶级数函数的奇偶谐特性奇谐函数：半周期镜像对称（上、下对称）

－T/20T/2t

f1(t)56信号表示为傅里叶级数函数的奇偶谐特性奇谐函数：函数相邻两个半周期，对横轴成镜像其付里叶级数中只含奇次谐波，不含偶次谐波求分量系数时只要在(T/2,0)积分奇函数与奇谐函数区别奇函数只含正弦项，可能有奇、偶次谐波奇谐函数只含奇次谐波，可能有正、余弦项57信号表示为傅里叶级数函数的奇偶谐特性偶谐函数：半周期重叠相邻两个半周期波形完全相同。其傅里叶级数只含偶次谐波，不含奇次谐波。

－T/20T/2t58信号表示为傅里叶级数函数的奇偶谐特性例题：判断图示信号的傅里叶级数中所含的频率分量-T/20 T/2-T/20 T/2-T/20 T/2-T/20 T/259信号表示为傅里叶级数函数的奇偶谐特性例题：求正弦交流信号经全波或半波整流后的傅里叶级数展开式讨论掌握奇偶性谐波关系十分重要，在展开付里叶级数前可判断其结构,简化计算，也可验证展开的级数是否正确。

－T/20T/2t

－T/20T/2t60周期信号的频谱频谱图周期信号可以展成三角或指数付里叶级数，信号分解后，可以看出信号包含哪些分量，每个分量的频率、幅度和相位如果将每个分量的频率、幅度和相位用图形表示出来，就是信号的频谱图。361周期信号的频谱周期性方波信号频谱既是一个奇函数又是一个奇谐函数，因此在傅里叶展开式中只有正弦分量，并且只有奇次谐波在求bn时只须在0到T/2之间积分.62周期信号的频谱周期性方波信号频谱63周期信号的频谱周期性方波信号频谱周期性方波含有Ω、3Ω、5Ω、…等奇次谐波，每个分量的幅度就是正弦函数的振幅。相位则是三角级数中的φn或从指数级数中得到。在本例中,就是-90度。64周期信号的频谱周期性方波信号频谱以角频率ω（或频率f）为横坐标，An为纵坐标作出的图形称为振幅谱。若以φn为纵坐标作出的图形称为相位谱。一般相位谱比较简单可以不必另外作图，可以将它标在振幅谱图旁。65周期信号的频谱周期性信号频谱特点离散性-频谱由一些离散的谱线构成，是离散谱。谐波性-每条谱线表示信号的一个分量。其频率是基频Ω的整数倍。收敛性-谐波的振幅随谐波的次数增高而减小，谐波次数无限增高则其振幅无限趋小。66周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱三角形式展开

f(t)

A-τ/2τ/2T67周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱指数形式展开抽样函数68周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱指数形式三角形式振幅相位69周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱

70周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱其相位比较简单可根据抽样函数的符号变化标在振幅谱旁边频谱结构与比值τ/T有关，下面是以T=5τ，T=10τ，T=20τ为例作出的频谱图71周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱T=5τ72周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱T=10τ73周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱T=20τ相位也可以不标直接根据抽样函数作图，称复数振谱74周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱根据指数级数的系数作出它的双边谱75周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱根据指数级数的系数作出它的双边谱76周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱周期矩形脉冲信号的频谱在信号分析中十分重要讨论

离散谱，谱线间隔

与其他周期信号一样也具有离散性、谐波性。

包络周期矩形脉冲信号频谱的包络为抽样函数，零点出现在77周期信号的频谱周期性矩形脉冲频谱讨论

收敛性：虽然An不是单调收敛但总的趋势是收敛的。

相位谱：不必另作，可参照抽样函数的符号变化标在幅度谱上，也可以干脆作复数谱或双边谱。

脉冲参数与频谱结构的关系：在周期矩形脉冲信号中有三个脉冲参数A,τ,T。其中A只影响各次谐波分量幅度的大小，不影响频谱的结构和形状。所