几何直观让三角形内角和的理解走向深刻 论文

几何直观，让三角形内角和的理解走摘要：“三角形内角和”这节课，以往老师都是按教材要求让学生操作，得出三角形内角和是180°。走进学生我们发现仅有这些操作不能使他们信服。笔者根据课标解释，结合学生实际就利用几何直观，在学生操作的基础上展开推理想象，学生对此有更深刻的理解和感悟。几何直观是课标十个核心词之一，它的重要性不言而喻。几何直观就是利用图形直观，让学生对数学有更直观、更深刻的理解，在解决问题中提升学生的直观思维能力。关键词：几何直观，三角形内角和，推理，直观思维，深刻理解引言：数学家徐利治先生对几何直观曾这样描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知。”由此可见，几何直观是借助“形”来表达，但这个“形”可以是眼睛见到的，可以是思考后画出来的，也可以是大脑想象的。小学生天天与数学打交道，随着年级的增加学生对数学的畏难情绪越来越大。在很多人眼里，数学是一门最难的学科。这是什么原因呢？根据以往的从教经验笔者认为主要有以下三方面：一是学习的知识越来越难了，家长不能辅导了。二是学习方法出现了问题，现在的学生遇到难题很少主动思考，遇到稍难一点的题目总会想到“家长帮”、“老师帮”、“作业帮”等。三是直观思维在解决问题中出现断层。学生能用数直接解决的，坚决不画图，认为画图很麻烦，浪费时间。当然也有一些学生画图能力不强，所以在遇到问题时，也是极力避免用图解决问题。想让学生保持对数学的兴趣，几何直观就是最好的桥梁，它能让数学变得看得见、摸得着、想得通、理得透。一提到直观，我们会联想到教材中出现的：小棒图、点子图、数线图、线段图、面积模型等，这也是北师大2014版教材的一个亮点。下面是笔者在教学“三角形内角和”时，立足几何直观，促进学生深刻理解的一些实践和思考。一、动手操作是深刻理解三角形内“三角形内角和”是北师大版小学数学四年级下册第二单元“认识三角形和四边形”第三节内容。教材的定位是“探究与发现”，专家编写的意图是通过内角和比大小的情境，引导学生用测量+计算的方法，发现三角形内角和都在180°左右，再用撕拼、折叠的方法去验证。对于这节课，有经验的老师都知道，大约一半的学生知道了三角形内角和是180°。基于学生的实际情况，笔者在教学时顺学而导。师：关于三角形内角和，你已经知道了什么？生1：三角形内角和是180°（我顺势板书）。生2：知道其中两个角的度数，可以用180°减去另外两个角，就能求出第三个角。师：你想了解什么？生3：什么是内角和？生4：为什么是180°？生5：内角和一定是180°吗？生6：用哪些方法可以验证？根据学生需要，笔者灵机一动，把探究新知改为验证新知。师：谁能结合三角形说说什么是内角？有人对三角形内角和是180°有疑问（在180°后面打了一个大问号）。如果我们要探究三角形内角和是不是180°，会用哪些方法呢？学生想到的验证方法几乎和书上一致：测量、撕拼、折叠（在学生想到的方法后面写上他们的名字，学生的积极性很高）。师：每个小组可以选择自己喜欢的方法去研究，真实记录过程，看看你们能发现什么。交流汇报时，很多同学发现测量得出的内角和在180°左右，撕拼和折叠后得到的内角和大约是平角。其实折叠验证的方法并不简单，需要学生沿着三角形的中位线往下折，三角形的顶点正好落到底边上，折痕和底边平行。学生没学过中位线也想不到这么多的要求，于是就随手一折，结果上面一个角往下折偏了，那么这三个角折在一起就拼不成平角。对比人教版和北师大版教材，笔者发现人教版教材没有呈现折叠的方法。折叠过程相对比较麻烦，很多学生折不出，有些老师干脆就直接忽略了这种方法。那为何教材还要渗透这种方法呢，笔者百思不得其解，直到听了曹培英老师的讲座，才豁然开朗，原来折叠是为五年级学习三角形面积做铺垫（图6三角形转化成长方形）。学生只有经历操作过程，才能在活动中积累经验，才能和后面的学习产生关联，因此动手操作是深度理解的基础。图6三角形折叠转化成长方形二、反思顿悟是深刻理解三角形内学生经历以上操作活动，得出了三角形内角和是180°。于是笔者继续引导。师：你们很了不起，用多种方法验证了三角形内角和大约是180°。这个问号能擦去吗？你还有什么想法？一石激起千层浪，这个问题让学生原本确认的眼神出现了疑惑，有学生开始质疑。生1：老师，刚才我们从测量中得出三角形内角和在180°左右，从撕拼和折叠中得出三角形内角和大约是平角，这些操作好像都不能确定三角形内角和是180°。生2：操作会有误差，好像都不能确定。有没有确定三角形内角和的方法？生3：老师，我觉得直角三角形可以确定。您看我的这副三角尺（他从文具盒里拿出一副直角三角尺），我买的时候就标注了各个角30°、60°、90°，三个角加起来正好是180°，再看这个三角尺是45°、45°、90°，加起来也刚好是180°，所以我可以确定直角三角形内角和是180°。这时全班响起了热烈的掌声。上学期我们学习过角的度量，个别孩子购买的三角尺确实标了度数，从孩子的回答来看可以确定直角三角形内角和是180°。师：看来用三角尺的度数来说理，大家比较认可。师：教材上有一种更妙的推导方法，不用测量，不用撕拼，7，教材练习中的第三题）。需要你用数学的眼光去观察，用聪明的大脑去思考，看看你能推导出什么？图7长方形分割成三角形图8直角三角形内角和推理一分钟后十多个学生发出“哦”的声音，这是数学课堂上最美妙的感悟声。生：把长方形通过对折，得到两个完全一样的直角三角形，每个直角三角形内角和都是180°（只有几个学生鼓掌）。师：看来，只有他们几个听懂了你的意思。老师把这个分割后的这个长方形放大（8），你能具体说出每一步的推导过程吗？生：我们在二年级就学习过长方形有四个直角，90°，那么这个方形的内角和就是90°×4=360°。长方形的对角线把它分成两个同样的直角三角形，每个三角形的内角和都是长方形内角和的一半，360°÷2=180°（这时全班响起了热烈的掌声）。师：你说得很清楚，大家听得很明白。师：有同学用三角尺上的度数去说理，有同学从长方形去推导，我们都能确定直角三角形内角和是180°，你们太棒了。我们确定了直角三角形内角和是180°，那么锐角三角形内角和该怎么说理呢？笔者出示锐角三角形让学生思考。师：我们能不能像长方形那样，用一条线段把锐角三角形生还没学习三角形的高）？学生认真地用手比划着，有同学似有所悟，低头兴奋地在草稿本上写写画画……教学一周后，我在牛献礼老师的公众号上看到“三角形内角和”教学札记，很欣喜，也很兴奋，因为我和他的观点不谋而合。有时候不是学生不思考，而是我们没有找到合适的问题去撬动学生思考。如果我们照搬教材的顺序去教学，不考虑学生的实际情况，那么学生对操作得出的结论“三角形内角和是180°”就不会有真正的反思和顿悟。站在几何直观的角度来看，学生经历操作的过程很重要，它能为后面的学习积累经验。相比操作，学生的反思和顿悟更重要，它能促进学生真正去深入思考，因此顿悟后的直观思维才是学生深度理解三角形内角和的核心和重点。三、推理想象是深刻理解三角形内2005年3月初，姜伯驹院士在全国会议上指出：三角形内角和等于180°这样的基本定理，只让学生用测量，计算，拼接实验的方法，归纳猜想，发现规律。不说理，不证明数学课就失去了理性精神。我们通常认为说理和证明是初中生要达到的水平，其实不然，从教材练习题的设计和学生的实际表现来看，学生经历操作后，是能进行推理说明的。学生有了前面的推理经验，就会采用类比的方法对锐角三角形内角和进行推理。学霸王梓豪第一个上台展示（图9），为了让其他同学深刻理解锐角三角形内角和，笔者开始追问。师：左右两个小直角三角形内角和都是180°，180°+180°=360°，你为何还要减去180°？王梓豪：（他指着减去的180°）这个180°是两个直角拼成的平角，它不是大锐角三角形的内角，因此要减去这个平角180°（他边说边画，还用红笔特别标出平角，写上“去掉”）。师：眼光厉害，头脑清晰，表达清楚。我们可以确信地说180°了吗？为什么？生：不能，还有钝角三角形没有推理呢。笔者放手，让学生用已有的学习经验去推导钝角三角形的内角和，他们推导出钝角三角形内角和也是180°（图10）。图9锐角三角形内角和推理，图10钝角三角形内角和推理如果说上面的推理过程是对三角形内角和的再认识，那么下面的两个练习（推理第三个角的度数和推导多边形内角和），更是推理想象后对三角形内角和的进一步深化和提升（图11和图12）。图11推理第三个角的度数，图12推理多边形内角和回头思考这节课，三角形内角和数学本质是什么？这节课蕴含的数学思想有哪些？三角形内角和的教学不能只停留在让学生经过简单的测量、撕拼、折叠等操作活动上，而应该让学生感悟到三角形内角和是三角形认识的一次延伸，是从三角形外在特征到图形内在本质的一个转折，一次飞跃。这节课蕴含的数学思想方法有：分类，归纳，变和不变，转化，推理等，这节课实质上是对三角形特征的再认识（图13）。图13再认三角形计算是数学的童子功，推理是数学的命根子，这节课笔者让计算和推理同时落地。一直以来，几何直观与想象、推理是不可分开的。几何直观，会让学生把看到的与前后所学的结合起来，通过思考、想象、猜测出一些可能的结论和论证思路，这也是这节课要渗透的合情推理。可能有人认为，这节课你经历了那么久的探究过程，就为180°，“浪费”了那么多时间，值吗？当然值，实际上这是磨刀不误砍柴工！学生只有经历直观的学习过程，才会发展直观思维，才会产生喜爱之情，才会对知识有深刻的理解和感悟。几何直观是什么？笔者的教学感悟：它是提升直观思维的一条途径，是借助图形去思考的一种能力，是解决数学问题的一个策略，是启迪智慧的一把钥匙。当然我们也不能因为知道了几何直观的重要性，就急着寻找与几何直观有关的问题紧抓不放，那样的理解是错误的。教学是一个慢的过程，即使我们预设的内容一节课学不完，那也不能说是失败的。因为这节课结束了，我们还有下节课、下下节课……学生对几何直观的认识也是一个慢的过程。几何直观不仅用图形解决问题，它更深远的意义是借助图形去思考问题，使学生形成直观思维。因此，教学时我们要尽