新教材2024版高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词课件新人教A版必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词学习目标素养要求1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义数学抽象2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定逻辑推理3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定逻辑推理|自学导引|

全称量词命题1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做___________，并用符号“______”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．2．通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为________________．全称量词∀

∀x∈M，p(x)

3．一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”．4．全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”．【预习自测】下列命题是全称量词命题的是________(填序号)．①每个四边形的内角和都是360°；②任何实数都有算术平方根；③∀x∈Z，2x＋1是整数；④存在一个x∈R，使2x＋1＝3．【答案】①②③

存在量词命题1．短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“_______”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．2．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为_______________．存在量词

x∈M，p(x)3．一个存在量词命题可以包含多个变量，如“

a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”．4．含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．【预习自测】下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．①任意一个自然数都是正整数；②存在整数n，使n能被11整除；③∀x∈R，x2＋1≥1；④有些整数只有两个正因数．【答案】②④

全称量词命题和存在量词命题的否定1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：________________．2．存在量词命题：

x∈M，p(x)，它的否定：_______________．

x∈M，¬p(x)

∀x∈M，¬p(x)

【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)命题¬p的否定是p．

(

)(2)

x0∈M，p(x0)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反． (

)(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．

(

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√|课堂互动|题型1全称量词命题与存在量词命题的判断

判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x－2y＝10有整数解．解：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．(2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)可改写为：存在整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题．全称量词命题与存在量词命题的判断思路提醒：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．1．给出下列命题：①存在实数x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为 (

)A．1

B．2C．3

D．4【答案】C

【解析】①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C．题型2全称量词命题、存在量词命题的真假判断

判断下列命题的真假．(1)

x∈Z，x3＜1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2＞0．解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，所以“

x∈Z，x3＜1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2＞0”是假命题．判断全称量词命题与存在量词命题真假的技巧(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可．(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．2．(多选)下列结论中正确的是

(

)A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．

n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．

n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题【答案】CD

【解析】当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B错误，C，D正确．故选CD．题型3全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是 (

)A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1(2)命题“∀x∈R，

n∈N*，使得n≥x2”的否定是 (

)A．∀x∈R，

n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．

x∈R，

n∈N*，使得n＜x2D．

x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【答案】(1)C

(2)D

【解析】(1)利用存在性命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为“对于任意的实数x，都有x≤1”．故选C．(2)由于存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀x∈R，

n∈N*，使得n≥x2”的否定为“

x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．故选D．全称量词命题与存在量词命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，

同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．3．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则¬p是 (

)A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形【答案】C

【解析】在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词，“有些”改为“所有”，否定结论，“是等腰三角形”改为“都不是等腰三角形”，故¬p为“所有三角形都不是等腰三角形”．题型4根据命题的真假求参数的取值范围

已知命题“∀x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”是假命题，求实数a的取值范围．解：全称量词命题“∀x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”的否定为“

x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴有两个公共点”．由命题真假求参数的范围的两个关注点(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．(2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围．4．命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题，求实数a的取值构成的集合．解：命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题，所以此命题的否定“任意x＞a，使得2x＋a≥3”是真命题．因为对任意x＞a有2x＋a≥3，所以3a≥3，解得a≥1．所以实数a的取值范围是{a|a≥1}．易错警示对含量词命题的否定把握不准

“∀x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是____________．错解：

x∈R，若y≤0，则x2＋y≤0易错防范：本题答案看似正确，量词由“∀”改为“

”，结论中“＞”改为“≤”，但是“若y＞0”改成了“若y≤0”就出现了错误，原因是“若y＞0”不是结论，而是条件．防范措施是记准两点：一是否定量词，二是否定结论．正解：

x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0|素养达成|1．全称量词命题与存在量词命题(体现了数学抽象核心素养)．(1)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”．(2)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．2．全称量词命题和存在量词命题的否定(体现了逻辑推理核心素养)．对全称量词命题和存在量词命题的否定，我们可以这样理解：(1)要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬p(x)”成立；(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立．在书写这两种命题的否定时，要将相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．1．(题型1)(2022年南京期中)已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0．其中，含存在量词的命题的个数是(

)A．1

B．2 C．3

D．4【答案】A

【解析