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文档简介
第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性学习目标素养要求1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义数学抽象2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期数学运算3.了解三角函数的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性逻辑推理|自学导引|
周期函数1.周期函数条件①设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个________常数T②对每一个x∈D都有x+T∈D,且__________=f(x)结论函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期非零f(x+T)
2.最小正周期条件如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的________结论这个最小________叫做f(x)的最小正周期正数正数【预习自测】判断下列说法是否正确.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)周期函数y=f(x)的定义域可以为[a,b](a,b∈R). (
)(2)任何周期函数都有最小正周期. (
)(3)若存在正数T,使f(x+T)=-f(x),则函数f(x)的周期为2T. (
)【答案】(1)×
(2)×
(3)√【解析】(1)周期函数的定义域一定为无限集.(2)常数函数f(x)=c,任意一个正实数都是其周期,因而不存在最小正周期.(3)f(x+2T)=f((x+T)+T)=-f(x+T)=-(-f(x))=f(x),所以f(x)的周期为2T.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y=sinxy=cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期____________奇偶性__________________函数y=Asinωx+φ及y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的周期T=_____.2π
2π
奇函数偶函数【答案】D
|课堂互动|(3)作图如下:
观察图象可知最小正周期为π.【答案】(1)D
(2)13
(3)因为f(x)=(ln|x|)·sinx的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(-x)=(ln|-x|)·sin(-x)=-(ln|x|)·sinx=-f(x),所以f(x)=(ln|x|)·sinx为奇函数.判断函数奇偶性的方法解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称,又因为f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)由1-cosx≥0且cosx-1≥0,得cosx=1,从而x=2kπ,k∈Z,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.【答案】(1)D
(2)D
【例题迁移】
(变换条件)若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,结果如何?三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用公式求解.(2)判断函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asinωx(Aω≠0)或y=Acosωx(Aω≠0)其中的一个.|素养达成|2.判断函数的奇偶性,必须坚持“定义域优先”的原则,准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,从而判断奇偶性(体现了数学运算和逻辑推理核心素养).【答案】B
【答案】D
3.(题型2)下列函数中是偶函数的是 (
)A.y=sin2x B.y=-sinxC.y=sin|x| D.y=sinx+1【答案】C
【解析】A
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