2024届江西名校学术联盟数学高一第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届江西名校学术联盟数学高一第二学期期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数在上单调递增，且的图象关于对称.若，则的解集为（）A． B．C． D．2．与圆关于直线对称的圆的方程为（）A． B．C． D．3．已知且为常数,圆,过圆内一点的直线与圆相交于两点,当弦最短时,直线的方程为,则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．在中，设角的对边分别为．若，则是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．如下图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象，可由函数的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位7．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的体积为()A． B． C． D．8．中，角的对边分别为，且，则角（）A． B． C． D．9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则是（）A．纯角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形10．的值等于（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．不等式的解集为________.12．设数列的前项和，若，，则的通项公式为_____．13．不等式的解集是______．14．已知，，若，则______．15．从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人到一个单位实习，余下的两人到另一单位实习，则甲、乙两人不在同一单位实习的概率为________.16．方程组的增广矩阵是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若集合，写出集合的所有子集.18．已知函数.（1）若函数的周期，且满足，求及的递增区间；（2）若，在上的最小值为，求的最小值.19．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别是240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动。（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作，求事件M“抽取的2名同学来自同一年级”发生的概率。20．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，点，分别是，的中点．求证：（1）直线∥平面；（2）平面平面．21．已知分别为三个内角的对边长，且（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

首先根据题意得到的图象关于轴对称，，再根据函数的单调性画出草图，解不等式即可.【题目详解】因为的图象关于对称，所以的图象关于轴对称，.又因为在上单调递增，所以函数的草图如下：所以或，解得：或.故选：D【题目点拨】本题主要考查函数的对称性，同时考查了函数的图象平移变换，属于中档题.2、A【解题分析】

设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.【题目详解】由题意，圆的圆心坐标，设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，满足，解得，即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，所以所求圆的方程为，故选A.【题目点拨】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、B【解题分析】

由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x﹣y＝0垂直，再由斜率的关系列式求解．【题目详解】圆C：化简为圆心坐标为，半径为．如图，由题意可得，当弦最短时，过圆心与点（1，2）的直线与直线垂直．则，即a＝1．故选：B．【题目点拨】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.4、D【解题分析】

根据正弦定理，将等式中的边a,b消去，化为关于角A,B的等式，整理化简可得角A,B的关系，进而确定三角形．【题目详解】由题得，整理得，因此有，可得或，当时，为等腰三角形；当时，有，为直角三角形，故选D．【题目点拨】这一类题目给出的等式中既含有角又含有边的关系，通常利用正弦定理将其都化为关于角或者都化为关于边的等式，再根据题目要求求解．5、B【解题分析】

作出异面直线PA与BC所成角，结合三角形的知识可求.【题目详解】取的中点，连接，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以；所以或其补角是异面直线PA与BC所成角；设，则,；因为，所以；因为平面ABCD，所以,在三角形中，.故选：B.【题目点拨】本题主要考查异面直线所成角的求解，作出异面直线所成角，结合三角形知识可求.侧重考查直观想象的核心素养.6、B【解题分析】

根据图象可知，根据周期为知，过点求得，函数解析式，比较解析式，根据图像变换规律即可求解.【题目详解】由在一个周期内的图象可得,，解得，图象过点，代入解析式得，因为，所以，故，因为，将函数图象上点的横坐标变为原来的得，再向右平移个单位得的图象，故选B.【题目点拨】本题主要考查了由部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.7、B【解题分析】

在三棱锥中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,进而得到三棱锥外接球的直径，得到，利用体积公式，即可求解.【题目详解】由题意知，在三棱锥中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径为，即，所以球的体积为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8、B【解题分析】

根据题意结合正弦定理，由题，可得三角形为等边三角形，即可得解.【题目详解】由题：即，中，由正弦定理可得：，即，两边同时平方：，由题，所以，即，所以，即为等边三角形，所以.故选：B【题目点拨】此题考查利用正弦定理进行边角互化，根据边的关系判断三角形的形状，求出三角形的内角.9、B【解题分析】

利用正弦定理结合条件，得到，再由，结合余弦定理，得到，从而得到答案.【题目详解】在中，由正弦定理得，而，所以得到，即，为的内角，所以，因为，所以，由余弦定理得.为的内角，所以，所以，为等边三角形.故选：B.【题目点拨】本题考查正弦定理和余弦定理判断三角形形状，属于简单题.10、D【解题分析】

利用诱导公式先化简，再利用差角的余弦公式化简得解.【题目详解】由题得原式=.故选D【题目点拨】本题主要考查诱导公式和差角的余弦公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

将三阶矩阵化为普通运算，利用指数函数的性质即可求出不等式的解集.【题目详解】不等式化为，整理得，，，即，，即不等式的解集为故答案为：【题目点拨】此题考查了其他不等式的解法，指数函数的性质，以及三阶矩阵，是一道中档题.12、【解题分析】

已知求，通常分进行求解即可。【题目详解】时，，化为：．时，，解得．不满足上式．∴数列在时成等比数列．∴时，．∴．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。13、【解题分析】

由题可得，分式化乘积得，进而求得解集．【题目详解】由移项通分可得，即，解得，故解集为【题目点拨】本题考查分式不等式的解法，属于基础题．14、【解题分析】

首先令，分别把解出来，再利用整体换元的思想即可解决．【题目详解】令所以令，所以所以【题目点拨】本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程．整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握．15、.【解题分析】

求得从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人的总数和甲、乙两人不在同一单位实习的方法数，由古典概型的概率计算公式可得所求值．【题目详解】解：从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人的方法数为种，甲、乙两人不在同一单位实习的方法数为种，则甲、乙两人不在同一单位实习的概率为．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查运算能力，属于基础题．16、【解题分析】

理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵.【题目详解】由题意，方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵，故方程组的增广矩阵是.故答案为：【题目点拨】本题考查了二元一次方程组与增广矩阵的关系，需理解增广矩阵的涵义，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）求解二次不等式从而求得集合A，利用指数函数的图像求出集合B，再进行并集运算即可；（Ⅱ）依次求出，，即可写出集合C的子集.【题目详解】（Ⅰ）由，得，即有，于是.作出函数的图象可知，于是,所以，（Ⅱ），，集合的所有子集是：.【题目点拨】本题考查集合的基本运算，集合的子集，属于基础题.18、（1），；（2）2.【解题分析】

（1）由函数的性质知，关于直线对称，又函数的周期，两个条件两个未知数，列两个方程，所以可以求出，进而得到的解析式，求出的递增区间；（2）求出的所有解，再解不等式，即可求出的最小值．【题目详解】（1），由知，∴对称轴∴，又，,由，得，函数递增区间为；（2）由于，在上的最小值为，所以，即，所以，所以.【题目点拨】本题主要考查三角函数解析式、单调区间以及最值的求法，特别注意用代入法求单调区间时，要考虑复合函数的单调性，以免求错．19、(1)应分别从甲、乙、丙三个年级分别抽取3人，2人，2人(2)P【解题分析】

（1）由分层抽样的性质可得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，可得抽取7名同学，应分别从甲、乙、丙三个年级分别抽取3人，2人，2人；(2)从抽出的7名同学中随机抽取2名的所有可能结果为21种，其中2名同学来自同一年级的所有可能结果为5种，可得答案.【题目详解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2因为采取分层抽样的方法抽取7名同学，所以应分别从甲、乙、丙三个年级分别抽取3人，2人，2人（2）从抽出的7名同学中随机抽取2名的所有可能结果为：ABACADAEAFAGBCBDBEBFBGCDCECF共21种CGDEDFDGEFEGFG不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则2名同学来自同一年级的所有可能结果为：AB，AC，BC，DE，FG共5种P【题目点拨】本题主要考查分层抽样及利用列举法求时间发生的概率，相对简单.20、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）取中点，连接，，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得直线∥平面；（2）利用线面垂直的判定定理，证得，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面．【题目详解】（1）取中点，连接，．在中，，分别为，中点，则且，又四边形为矩形，为中点，且，所以，故四边形为平行四边形，从而，又，，所以直线．（2）因为矩形，所以，又平面，面，，所以，又，则，又，，所以，又，所以平面平面．【题目点拨】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类