山东省2023-2024学年高二上学期新高考数学期末模拟卷（含解析）

-2024年山东新高考高二（上）数学期末模拟卷考生注意：1.本场考试时间120分钟，满分150分.2.作答前，考生在答题纸正面填姓名、考生号.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在草稿纸、试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）抛物线的准线方程为A． B． C． D．2．（5分）等差数列中，已知，，则A．10 B．11 C．12 D．133．（5分）已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为A． B． C．或 D．4．（5分）近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为A． B． C． D．5．（5分）如图，已知正方体棱长为8，点在棱上，且，在侧面内作边长为2的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点在侧面运动时，的最小值是A．87 B．88 C．89 D．906．（5分）已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点，点的坐标为，则周长的最小值是A． B． C．9 D．7．（5分）已知点与不重合的点，共线，若以，为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，8．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为A． B． C． D．二．多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（5分）给出下列命题，其中是假命题的是A．若，，，是空间中的任意四点，则有 B．是，共线的充要条件 C．若，共线，则 D．对空间中的任意一点与不共线的三点，，，若，则，，，四点共面10．（5分）已知椭圆C：内一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是（）A．椭圆C的焦点坐标为（2，0），（﹣2，0） B．椭圆C的长轴长为4 C．直线MF1与直线MF2的斜率之积为 D．|AB|＝11．（5分）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法．商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，．设第层有个球，从上往下层球的总数为，则A． B． C． D．12．（5分）已知曲线，，分别为的左、右焦点，点在上，且△是直角三角形，下列判断正确的是A．曲线的焦距为 B．若满足条件的点有且只有4个，则的取值范围是且 C．若满足条件的点有且只有6个，则 D．若满足条件的点有且只有8个，则的取值范围是三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若空间向量共面，则实数．14．（5分）已知双曲线的右顶点为，以为圆心、为半径的圆与的一条渐近线相交于，两点，若，则的离心率为．15．（5分）斐波那契数列又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．已知在斐波那契数列中，，，，若，则数列的前2020项和为（用含的代数式表示）．16．（5分）如图，在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值等于．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点．（1）求的方程；（2）求圆心在轴上，且过，两点的圆的方程．18．（12分）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．（1）求直线的一般式方程；（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．19．（12分）在“①，；②，”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知正项等比数列的前项和为，满足_____．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．20．（12分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2．（1）求点B到直线AC的距离；（2）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．21．（12分）已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点向其准线作垂线，垂足为，当时，．（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于，两点，与，轴分别交于，（异于坐标原点，且，若，求实数的取值范围．22．（12分）已知为坐标原点，圆的圆心为点，点与关于原点对称，关于直线的对称点恰在圆上，直线与直线交于点，记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设不经过的直线与曲线交于两个不同点，，直线，，的斜率依次成等差数列，记点到直线的距离为，直线上两点，的纵坐标之差为，求的最小值．2023-2024年山东新高考高二（上）数学期末模拟卷答案解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）抛物线的准线方程为A． B． C． D．【答案】【详解】抛物线方程可化为，，抛物线的准线方程为．故选：．2．（5分）等差数列中，已知，，则A．10 B．11 C．12 D．13【答案】【详解】因为为等差数列，所以，所以．故选：．3．（5分）已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为A． B． C．或 D．【答案】【详解】，因为向量夹角范围为，，故两向量夹角为，故两平面夹角为，即，故选：．4．（5分）近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为A． B． C． D．【答案】【详解】甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，三人中恰有两人通过强基计划的概率为，故选：．5．（5分）如图，已知正方体棱长为8，点在棱上，且，在侧面内作边长为2的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点在侧面运动时，的最小值是A．87 B．88 C．89 D．90【答案】【详解】建系如图，则，8，，，8，，，8，，作，交于，连接，则，作，交于，则即为点到平面距离，设，8，，，则，点到平面距离等于线段的长，，由两点间距离公式可得，化简得，，，．在中，，，当且仅当时，的最小值是88．故选：．6．（5分）已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点，点的坐标为，则周长的最小值是A． B． C．9 D．【答案】【详解】为抛物线的焦点，为抛物线上一点，点的坐标为，可得，又抛物线的准线方程为，过作，垂足为，由抛物线的定义可得，，当，，三点共线时，取得最小值，且为，所以的周长的最小值为．故选：．7．（5分）已知点与不重合的点，共线，若以，为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，【答案】【详解】设点，，则以，为圆心，2为半径的两圆方程分别为，，因为两圆过，所以和，所以，两点的坐标满足圆，因为点与不重合的点，共线，所以为圆的一条弦，所以当弦长最小时，，因为，半径为2，所以弦长的最小值为，当过点时，弦长最长为4，因为，所以当弦长最小时，的最大值为，当弦长最大时，的最小值为，所以的取值范围为，．故选：．8．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为A． B． C． D．【答案】【详解】如图，设线段的中点为，连接，连接，则，椭圆的方程为，，，，即，，，，△是等边三角形，则，即直线的倾斜角为．故选：．二．多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（5分）给出下列命题，其中是假命题的是A．若，，，是空间中的任意四点，则有 B．是，共线的充要条件 C．若，共线，则 D．对空间中的任意一点与不共线的三点，，，若，则，，，四点共面【答案】【详解】由向量的加法运算，显然是真命题；若，共线，则（同向）或（反向），故是假命题；只有当时，，，，四点才共面，故是假命题，若，共线，则直线，平行或重合，故是假命题，故选：．10．（5分）已知椭圆C：内一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是（）A．椭圆C的焦点坐标为（2，0），（﹣2，0） B．椭圆C的长轴长为4 C．直线MF1与直线MF2的斜率之积为 D．|AB|＝【答案】【详解】因为椭圆，所以，,所以焦点坐标为，，A选项错误．长轴长2a＝4，B选项正确；，C选项正确．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减并化简得，，，即直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程为，，由，得6x2﹣12x+1＝0，根据根与系数的关系可得，，所以根据弦长公式可得：，所以D选项正确．故选：BCD．11．（5分）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法．商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，．设第层有个球，从上往下层球的总数为，则A． B． C． D．【答案】【详解】由题意得，，，，，由以上式子累加得，满足上式，，由已知，，，，，，故正确；，则，故错误；由通项公式得，故正确；，，故正确．故选：．12．（5分）已知曲线，，分别为的左、右焦点，点在上，且△是直角三角形，下列判断正确的是A．曲线的焦距为 B．若满足条件的点有且只有4个，则的取值范围是且 C．若满足条件的点有且只有6个，则 D．若满足条件的点有且只有8个，则的取值范围是【答案】【详解】．当表示椭圆时，因为，所以的焦点在轴上，且，所以，即，所以焦距为；当表示双曲线时，因为，即，所以的焦点在轴上，所以，即，所以焦距为；故正确；．若满足条件的点有且只有4个，则表示椭圆，如图1，以为直径的圆与没有公共点，所以，即，所以的取值范围是，故错误；．若满足条件的点有且只有6个，则表示椭圆，如图2，以为直径的圆与有2个公共点，所以，即，所以的取值范围是，故正确；．若满足条件的点有且只有8个，则当表示椭圆时，如图3，以为直径的圆与有4个公共点，所以，即，所以的取值范围是；当表示双曲线时，如图4，以为直径的圆与恒有8个公共点，所以，综上，的取值范围是或；故错误．故选：．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若空间向量共面，则实数．【答案】1【详解】由题可知，，故，2，，1，，0，，有，解得．故答案为：1．14．（5分）已知双曲线的右顶点为，以为圆心、为半径的圆与的一条渐近线相交于，两点，若，则的离心率为．【答案】【详解】如图所示，设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，由题意可得，所以与重合，所以，所以，又，所以，所以．故答案为：．15．（5分）斐波那契数列又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．已知在斐波那契数列中，，，，若，则数列的前2020项和为（用含的代数式表示）．【答案】【详解】因为，，，所以数列的前2020项和为．故答案为：．16．（5分）如图，在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值等于．【答案】【详解】由题意得：，，，，，，与的夹角的余弦值为．故答案为：．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点．（1）求的方程；（2）求圆心在轴上，且过，两点的圆的方程．【答案】（1）；（2）【详解】（1）依题意，抛物线的焦点在直线上，则，解得，所以的方程为．（2）由（1）知，抛物线的准线方程为，设，，，，的中点为，，由，消去得，则，有，，即，因此线段的中垂线方程为，即，令，得，设所求圆的圆心为，则，又过的焦点，则有，设所求圆的半径为，则，故所求圆的方程为．18．（12分）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．（1）求直线的一般式方程；（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由题意知，解得，直线和的交点为；设直线的斜率为，与直线垂直，；直线的方程为，化为一般形式为；（2）设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为，由垂径定理得，解得，圆的标准方程为．19．（12分）在“①，；②，”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知正项等比数列的前项和为，满足_____．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】见解析【详解】（1）设正项等比数列的公比为，选①：因为，，所以，又，两式相除得，，则，代入上式中可得，所以；选；②，，则，解得，，所以；（2）由（1）可知，，所以，所以，，两式相减得，，所以．20．（12分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2．（1）求点B到直线AC的距离；（2）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）以，，方向分别为x，y，z轴正方向，建系如图，则根据题意可得：A（0，0，3），B（2，0，0），C（0，3，0），∴，，，设，，则，，∴点B到直线AC的距离为；（2）设平面ABC的一个法向量为，则，取，设直线OB与平面ABC所成角为θ，则，∴直线OB与平面ABC所成角的正弦值为．21．（12分）已知抛物线的焦点为，过抛