2024届河北省三河市第三中学高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届河北省三河市第三中学高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在平面直角坐标系xOy中，直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．设是复数，从，，，，，，中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（）A．3个元素 B．4个元素 C．5个元素 D．6个元素3．若等差数列和的公差均为，则下列数列中不为等差数列的是（）A．（为常数） B．C． D．4．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．5．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．只有一次中靶C．两次都中靶D．两次都不中靶6．已知变量满足约束条件，则的最大值为（）A．8 B．7 C．6 D．47．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A． B． C． D．8．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯A．81盏 B．112盏 C．162盏 D．243盏10．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，且，则的最小值为________.12．在公差为的等差数列中，有性质：，根据上述性质，相应地在公比为等比数列中，有性质：____________.13．在矩形中，，现将矩形沿对角线折起，则所得三棱锥外接球的体积是________.14．已知圆锥的母线长为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积是______.15．给出下列五个命题：①函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点（,0）对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若，则，其中；⑤函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围为.以上五个命题中正确的有（填写所有正确命题的序号）16．若，则__________.（结果用反三角函数表示）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若,且,求的值.18．记为数列的前项和，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，求满足等式的正整数的值．19．某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，第二年是万元，第三年是万元，…，以后逐年递增万元汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用年的维修费用的和为，年平均费用为.(1）求出函数，的解析式；(2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？20．如图所示，在平面四边形中，为正三角形.（1）在中，角的对边分别为，若，求角的大小；（2）求面积的最大值.21．已知向量，，.（1）若、、三点共线，求；（2）求的面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

设直线的倾斜角为，，，可得，解得．【题目详解】设直线的倾斜角为，，．，解得．故选：B．【题目点拨】本题考查直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2、A【解题分析】

设复数分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案.【题目详解】解：设复数，，，，故由以上的数组成的集合最多有，，这个元素，故选：【题目点拨】本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.3、D【解题分析】

利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项.【题目详解】数列和是公差均为的等差数列，则，，.对于A选项，，数列（为常数）是等差数列；对于B选项，，数列是等差数列；对于C选项，，所以，数列是等差数列；对于D选项，，不是常数，所以，数列不是等差数列.故选：D.【题目点拨】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.4、C【解题分析】由三视图可知，三棱锥的体积为5、D【解题分析】

根据互斥事件的定义逐个分析即可.【题目详解】“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故A错误.“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故B错误.“至少有一次中靶”与“两次都中靶”均包含中靶两次的情况.故C错误.根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.故选：D【题目点拨】本题主要考查了互斥事件的辨析,属于基础题型.6、B【解题分析】

先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【题目详解】满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线把直线向上平移可得过点时最小当，时，取最大值1，故答案为1．【题目点拨】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．7、B【解题分析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.8、C【解题分析】

结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.【题目详解】对于选项A,“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;对于选项B,“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;对于选项C,“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球,与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;对于选项D,“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.故选C.【题目点拨】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.9、D【解题分析】

从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为1．由等比数列的知识可得．【题目详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为a1,a2,a3故选D．【题目点拨】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．10、D【解题分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【题目详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由，可得，然后利用基本不等式可求出最小值.【题目详解】因为，所以，当且仅当，时取等号.【题目点拨】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件.12、【解题分析】

根据题中条件，类比等差数列的性质，可直接得出结果.【题目详解】因为在公差为的等差数列中，有性质：，类比等差数列的性质，可得：在公比为等比数列中，故答案为：【题目点拨】本题主要考查类比推理，只需根据题中条件，结合等差数列与等比数列的特征，即可得出结果，属于常考题型.13、【解题分析】

取的中点，连接，三棱锥外接球的半径再计算体积.【题目详解】如图，取的中点，连接.由题意可得，则所得三棱锥外接球的半径，其体积为.故答案为【题目点拨】本题考查了三棱锥的外切球体积，计算是解题的关键.14、【解题分析】

根据题意得，解得，求得圆锥的高，利用体积公式，即可求解．【题目详解】设圆锥底面的半径为，根据题意得，解得，所以圆锥的高，所以圆锥的体积.【题目点拨】本题主要考查了圆锥的体积的计算，以及圆锥的侧面展开图的应用，其中解答中根据圆锥的侧面展开图，求得圆锥的底面圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、①②⑤【解题分析】试题分析：①将代入可得函数最大值,为函数对称轴；②函数的图象关于点对称,包括点；③,③错误；④利用诱导公式,可得不同于的表达式；⑤对进行讨论,利用正弦函数图象,得出函数与直线仅有有两个不同的交点，则．故本题答案应填①②⑤.考点：三角函数的性质．【知识点睛】本题主要考查三角函数的图象性质.对于和的最小正周期为.若为偶函数,则当时函数取得最值,若为奇函数,则当时,.若要求的对称轴,只要令,求.若要求的对称中心的横坐标,只要令即可.16、；【解题分析】

由条件利用反三角函数的定义和性质即可求解.【题目详解】，则，故答案为：【题目点拨】本题考查了反三角函数的定义和性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

本题首先可根据以及诱导公式得出，然后根据以及同角三角函数关系计算出，最后根据即可得出结果．【题目详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以解得，．【题目点拨】本题考查同角三角函数关系的应用，考查的公式有、以及，考查计算能力，是简单题．18、（1）；（2）【解题分析】

（1）首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求出数列的和，解出即可．【题目详解】（1）由为数列的前项和，且满足．当时，，得．当时，，得，所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列，则数列的通项公式为．（2）由，得由，解得．【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式的求法，裂项相消法求数列的和，属于基础题．19、（1），；（2）时，年平均费用最小，最小值为3万元．【解题分析】试题分析：根据题意可知，汽车使用年的维修费用的和为，而第一年的维修费用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前项和即可求出的解析式；将购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和除以即可得到年平均费用，根据基本不等式即可求出平均费用的最小值．试题解析：（1）根据题意可知，汽车使用年的维修费用的和为，而第一年的维修费用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前项和公式可得：因为购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和为，所以年平均费用为；（2）因为所以当且仅当即时，年平均费用最小，最小值为3万元．考点：本题考查了等差数列的前项和公式以的掌握，以及基本不等式的应用，同时考查了学生解决实际应用题的能力．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角的大小;（2）在中,设,由余弦定理及正弦定理用表示出.再根据三角形面积公式表示出,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值.【题目详解】（1）由题意可得：∴整理得∴∴∴又∴（2）在中,设,由余弦定理得：,∵为正三角形,∴,在中,由正弦定理得：,∴,∴,∵,∵,∴为锐角,,,,∵∴当时,