2023-2024学年湖南省长沙市平高集团六校高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年湖南省长沙市平高集团六校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若1∈{a，a2}，则a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．±12．（5分）若α是第一象限角，则下列各角中第四象限的角是（）A．90°﹣α B．90°+α C．360°﹣α D．180°+α3．（5分）函数的定义域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（2，4）∪（4，+∞） D．（2，4）∩（4，+∞）4．（5分）f（x）＝lnx+2x﹣5的零点所在区间为（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（0，1）5．（5分）若，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．（5分）德国数学家狄里克雷（JohannPeterGustayDejeuneDirichlet，1805～1859）在1837年时提出“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数D（x）＝．若D（x0）＝1，则x0可以是（）A． B．π C．log2 D．log2π7．（5分）若函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝loga（|x|﹣1）的图象可以是（）A． B． C． D．8．（5分）若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（）A． B．（﹣∞，0）∪[1，+∞） C．[1，2） D．二、选择题，本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.（多选）9．（5分）已知角θ的终边经过点（2a，a）（a＞0），则（）A．sinθ＝ B．cosθ＝ C．tanθ＝ D．tanθ＝2（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝xa的图象经过点，则（）A．f（x）的图象经过点 B．f（x）为奇函数 C．f（x）在定义域上单调递减 D．f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）（多选）11．（5分）下列命题正确的是（）A．“x＜1”是“”的充分不必要条件 B．命题“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1” C．x+y＝0的充要条件是 D．若x+y＞2，则x，y至少有一个大于1（多选）12．（5分）设函数f（x）＝x3﹣2x+b，x∈[﹣a，a]，b∈Z，若f（x）的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（）A．4与3 B．5与3 C．6与4 D．8与4三、填空题，本题共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）计算：＝．14．（5分）扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长是10cm，则此扇形的面积为．15．（5分）若x＞1，则x+的最小值是．16．（5分）已知函数是R的递减函数，则实数a的取值范围是．四、解答题，本题共6小题，17题10分，其它各题12分，共70分.17．（10分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}．（1）求A∪B；（2）求∁U（A∩B）．18．（12分）已知二次函数f（x）＝x2﹣4x+c的图象过点（1，3）（1）求f（x）的解析式，并写出y＝f（x）的单调递增区间（不要求证明）；（2）求不等式f（x）＞4﹣x的解集．19．（12分）已知函数，且f（1）＝2．（1）求a．（2）用定义证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值和最小值．20．（12分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）命题q：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．21．（12分）为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于2020年在其扶贫基地投入150万元研发资金用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%．（1）写出第x年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金y（万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）该企业从第几年开始投入的研发资金将超过300万元？（参考数据：lg0.12≈﹣0.921，lg1.2≈0.079，lg0.112≈﹣0.951，lg1.12≈0.049，lg2≈0.301）．22．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝ln，g（x）的定义域关于原点对称，且f（0）＝4．（1）求b，c的值，判断函数g（x）的奇偶性并说明理由；（2）若关于x的方程[f（x）]2﹣（m﹣1）f（x）﹣2＝0有解，求实数m的取值范围．

2023-2024学年湖南省长沙市平高集团六校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若1∈{a，a2}，则a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．±1【分析】利用元素的互异性即可求出a的值．【解答】解：∵1∈{a，a2}，∴①当a＝1时，a2＝1，不满足元素的互异性，舍去；②当a2＝1时，由元素的互异性得a＝﹣1，此时集合为{﹣1，1}，∴a＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，是基础题．2．（5分）若α是第一象限角，则下列各角中第四象限的角是（）A．90°﹣α B．90°+α C．360°﹣α D．180°+α【分析】由α所在的象限判断出﹣α所在的象限是第四象限，再由任意角的定义判360°π﹣α所在的象限．【解答】解：∵α是第一象限的角，∴﹣α是第四象限角，则由任意角的定义知，360°﹣α是第四象限角．故选：C．【点评】本题考查象限角和任意角的定义还有终边相同的角，主要是对定义的理解，注意符号与角的旋转方向有关，本题是一个基础题．3．（5分）函数的定义域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（2，4）∪（4，+∞） D．（2，4）∩（4，+∞）【分析】由题意可知，求出x的取值范围即可．【解答】解：由，解得x＞2且x≠4，∴定义域为（2，4）∪（4，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查了具体函数的定义域，属于基础题．4．（5分）f（x）＝lnx+2x﹣5的零点所在区间为（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（0，1）【分析】由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据函数零点的判定定理可得f（x）＝lnx+2x﹣5的零点所在区间．【解答】解：∵f（x）＝lnx+2x﹣5，∴f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3+1＞0，∴f（2）f（3）＜0．根据函数零点的判定定理可得f（x）＝lnx+2x﹣5的零点所在区间为（2，3），故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．5．（5分）若，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】由对数函数和指数函数的性质可得．【解答】解：a＝log32＜log33＝1，且a＞0，，c＝20.8＞20＝1，所以b＜a＜c．故选：A．【点评】本题考查指数、对数的大小比较，涉及对数函数和指数函数的性质，属于基础题．6．（5分）德国数学家狄里克雷（JohannPeterGustayDejeuneDirichlet，1805～1859）在1837年时提出“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数D（x）＝．若D（x0）＝1，则x0可以是（）A． B．π C．log2 D．log2π【分析】根据题意，可知x∈Q．检验或化简各项，即可得到答案．【解答】解：根据函数的定义，知若D（x0）＝1，则x∈Q.，是个有理数．而其它选项都是无理数．故选：C．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．7．（5分）若函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝loga（|x|﹣1）的图象可以是（）A． B． C． D．【分析】利用指数函数的性质求出a的范围，利用对数函数的定义域，转化求解判断函数的图象即可．【解答】解：由函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为减函数，故0＜a＜1．函数y＝loga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为{x|x＞1或x＜﹣1}，函数y＝loga（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y＝logax的图象向右平移1个单位得到的，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．8．（5分）若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（）A． B．（﹣∞，0）∪[1，+∞） C．[1，2） D．【分析】分析可知，函数f（x）在（﹣∞，1）上有一个零点，在[1，+∞）上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围．【解答】解：当x＜1时，函数f（x）＝2x﹣m单调递增，则函数f（x）在（﹣∞，1）上至多一个零点，当x≥1时，函数f（x）＝x2﹣4mx+3m2＝（x﹣m）（x﹣3m）至多两个零点，因为函数f（x）有三个零点，则函数f（x）在（﹣∞，1）上有一个零点，在[1，+∞）上有两个零点，当x＜1时，令f（x）＝2x﹣m＝0，可得m＝2x，必有m＞0，解得x＝log2m，所以log2m＜1，解得0＜m＜2，当x≥1时，由f（x）＝（x﹣m）（x﹣3m）＝0，可得x＝m或x＝3m，所以，解得m≥1，综上所述，实数m的取值范围为[1，2）．故选：C．【点评】本题考查了分段函数的零点问题，属于中档题．二、选择题，本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.（多选）9．（5分）已知角θ的终边经过点（2a，a）（a＞0），则（）A．sinθ＝ B．cosθ＝ C．tanθ＝ D．tanθ＝2【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：由于角θ的终边经过点（2a，a）（a＞0），则sinθ＝＝，故A正确，cosθ＝＝，故B错误，tanθ＝＝，故C正确，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝xa的图象经过点，则（）A．f（x）的图象经过点 B．f（x）为奇函数 C．f（x）在定义域上单调递减 D．f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）【分析】将代入f（x）＝xa，求出函数解析式，根据幂函数性质判断选项即可．【解答】解：函数f（x）＝xa的图象经过点，得，得a＝﹣1，所以f（x）＝x﹣1，对于A．代入f（x）＝x﹣1，即成立，故A正确；对于B．f（x）＝x﹣1的定义域为{x|x≠0}，满足，是奇函数，故B正确对于C．在定义域内不单调，在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减．故C错．对于D．当x＞0时，，即f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）．故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查幂函数性质，属于基础题．（多选）11．（5分）下列命题正确的是（）A．“x＜1”是“”的充分不必要条件 B．命题“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1” C．x+y＝0的充要条件是 D．若x+y＞2，则x，y至少有一个大于1【分析】根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可．【解答】解：对于A选项，若x＜0则得不到，故不是充分条件；对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确；对于C选项，若x＝y＝0则得不到，故不是充要条件，C选项错误；对于D选项，若x，y均不大于1，则x+y≤2，故x，y至少有一个大于1，故D选项正确．故选：BD．【点评】本题考查向量不等式性质、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）12．（5分）设函数f（x）＝x3﹣2x+b，x∈[﹣a，a]，b∈Z，若f（x）的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（）A．4与3 B．5与3 C．6与4 D．8与4【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣b，利用奇函数的性质可得M+m＝2b，而2b为偶数，结合选项即可得解．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣b＝x3﹣2x，易知函数g（x）为奇函数，所以g（x）max+g（x）min＝0，即M﹣b+m﹣b＝0，所以M+m＝2b，又b∈Z，则2b为偶数，故选：BCD．【点评】本题考查奇函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．三、填空题，本题共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）计算：＝．【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答】解：＝＝（）2＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．14．（5分）扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长是10cm，则此扇形的面积为25cm2．【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为10cm，所以圆的半径为5cm，所以扇形的面积为：＝25（cm2）．故答案为：25cm2．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．15．（5分）若x＞1，则x+的最小值是3．【分析】x+＝x﹣1++1，利用基本不等式可求函数的最值．【解答】解：∵x＞1，∴x+＝x﹣1++1+1＝3，当且仅当x﹣1＝即x＝2时取等号，∴x＝2时x+取得最小值3，故答案为：3．【点评】该题考查基本不等式求函数的最值，属基础题，熟记基本不等式求最值的条件是解题关键．16．（5分）已知函数是R的递减函数，则实数a的取值范围是（0，）．【分析】由题意利用复合函数的单调性，对数函数、指数函数的性质，分类讨论，求得a的范围．【解答】解：由于函数是R的递减函数，故y＝是R的递增函数，∴＞1，∴①，或②．解①求得0＜a＜，解②求得a∈∅，则实数a的取值范围为（0，），故答案为：（0，）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、指数函数的性质，属于中档题．四、解答题，本题共6小题，17题10分，其它各题12分，共70分.17．（10分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}．（1）求A∪B；（2）求∁U（A∩B）．【分析】（1）利用并集的概念计算即可；（2）利用交集和补集的概念计算即可．【解答】解：（1）易知A∪B＝{﹣1，0，1，2}；（2）易知A∩B＝{0}，∴∁U（A∩B）＝{﹣1，1，2，3}．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．18．（12分）已知二次函数f（x）＝x2﹣4x+c的图象过点（1，3）（1）求f（x）的解析式，并写出y＝f（x）的单调递增区间（不要求证明）；（2）求不等式f（x）＞4﹣x的解集．【分析】（1）将点（1，3）代入解析式即可；（2）转化为解一元二次不等式即可．【解答】解：（1）由f（1）＝3，得c＝6，∴f（x）＝x2﹣4x+6，f（x）的单调递增区间为：[2，+∞）（写成：（2，+∞）同样给分）；（2）由f（x）＞4﹣x得x2﹣3x+2＞0，即（x﹣1）（x﹣2）＞0，解得x＜1或x＞2，∴不等式f（x）＞4﹣x的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查二次函数解析式的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．19．（12分）已知函数，且f（1）＝2．（1）求a．（2）用定义证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值和最小值．【分析】（1）根据f（1）＝2，列出方程，即可求解；（2）化简，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；（3）由（2）知，得到f（x）在[2，5]上为单调递增函数，进而求得函数的最值．【解答】（1）解：因为函数，且f（1）＝2，可得1+a＝2，解得a＝1；（2）证明：由（1）知，任取x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，则，因为x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，可得，则，所以，即f（x1）＜f（x2），即证得函数f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数；（3）解：由（2）知，函数f（x）在[2，5]上为单调递增函数，所以，．以函数f（x）在区间[2，5]上的最大值为，最小值为．【点评】本题考查了函数的单调性的证明，考查根据函数的单调性求出函数最值问题，考查转化思想，是基础题．20．（12分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）命题q：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据B⊆A可讨论B是否为空集：B＝∅时，可得出m＞2；m≠∅时，，然后解出m的范围即可；（2）根据题意得出B为非空集合且A∩B≠∅，从而得出B为非空集合时m≤2，然后可得出A∩B＝∅时，m＜﹣4，从而可得出m的取值范围．【解答】解：（1）①当B为空集时，m+1＜2m﹣1，m＞2成立，②当B不是空集时，∵B⊆A，，解得﹣1≤m≤2，综上①②，m的取值范围为[﹣1，+∞）；（2）∃x∈A，使得x∈B，∴B为非空集合且A∩B≠∅，∴m+1≥2m﹣1，m≤2，∵A∩B＝∅时，2m﹣1≥4或m+1＜﹣3，解得，∴m＜﹣4，∴A∩B≠∅，﹣4≤m≤2，∴m的取值范围为：[﹣4，2]．【点评】本题考查了子集的定义，空集的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．21．（12分）为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于2020年在其扶贫基地投入150万元研发资金用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%．（1）写出第x年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金y（万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）该企业从第几年开始投入的研发资金将超过300万元？（参考数据：lg0.12≈﹣0.921，lg1.2≈0.079，lg0.112≈﹣0.951，lg1.12≈0.049，lg2≈0.301）．【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域；（2）由（1）得y＞300，150•1.2x＞300，然后利用对数运算求解集．【解答】解：（1）第x年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金y（万元），则y＝150（1+20