2022-2023学年云南省曲靖市师宗县平高中学（第四中学）高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年云南省曲靖市师宗县平高中学（第四中学）高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x||x|＜3}，则A∩B＝（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，3）2．（5分）若扇形的半径和面积都相等，且R＝5时，扇形圆心角的弧度数为（）A． B．1 C． D．3．（5分）函数的定义域是（）A．（0，7） B．[1，7） C．（0，7）∪（7，+∞） D．（0，1）∪（1，7）4．（5分）当α∈[0，2π]，若，则α的取值范围为（）A． B． C． D．5．（5分）已知幂函数f（x）＝（k+2）xα的图象过点，则k﹣α的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．16．（5分）“”是“x＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（1﹣x）＞f（1）的x的取值范围是（）A．（0，2） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，2）8．（5分）若，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在苺小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列函数中，与函数y＝2﹣x是同一函数的是（）A． B．y＝2﹣t C． D．（多选）10．（5分）以下结论正确的是（）A．若x∈R，y∈R时，则 B．当x＞1时，x﹣1＞1 C． D．若角α的终边在第三象限，则角的终边在第二、四象限（多选）11．（5分）下列函数既是偶函数，又在区间（0，+∞）内单调递增的函数是（）A． B．y＝3|x| C．y＝x3 D．y＝|tanx|（多选）12．（5分）下列四个结论，其中结论正确的是（）A．函数的最大值为 B．函数（a＞0，且a≠1），当a＞1时，函数f（x）在定义域内单调递减 C．在同一个平面直角坐标系中，函数y＝3x与的图象关于x轴对称 D．在同一个平面直角坐标系中，函数y＝log3x与y＝3x的图象关于y＝x对称三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若a∈{a2，sinπ，cosπ}，则a的值为．14．（5分）a＜0时，不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0的解集是．15．（5分），则＝．16．（5分）任意x∈R，有2f（x）＝f（x+1）+f（x﹣1），若，则f（2023）＝．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知2sinθ+cosθ＝0．（1）求tanθ的值；（2）求的值．18．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣ax﹣a．（1）当a＝1时，求函数f（x）＜0的解集；（2）是否存在实数a，使得任意x∈R，都有f（x）＞0恒成立，若存在，请求出求实数a的取值范围，若不存在，请证明．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）＝f（1﹣x）．（1）求f（2）的函数值；（2）证明：f（x）为周期函数．20．（12分）已知函数f（x）＝log2（x+2）．（1）求函数f（x+2）恒过哪一个定点，写出该点坐标；（2）令函数g（x）＝f（x）﹣ax﹣1﹣1，当时，证明：函数g（x）在区间（1，2）上有零点．21．（12分）已知．（1）写出f（x）的最小正周期以及的值；（2）求f（x）的单调递增区间．22．（12分）巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为v（单位：海里/小时），船只的密集度为x（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当5≤x≤50时，船只的速度是船只密集度x的一次函数．（1）当0≤x≤50时，求函数v（x）的表达式；（2）当船只密度x为多大时，单位时间内，通过的船只数量f（x）＝xv（x）可以达到最大值，求出最大值．（取整）

2022-2023学年云南省曲靖市师宗县平高中学（第四中学）高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x||x|＜3}，则A∩B＝（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，3）【分析】求得集合A，B，根据集合的交集运算，即可求得答案．【解答】解：由题意得A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，故A∩B＝（﹣2，2）．故选：A．【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2．（5分）若扇形的半径和面积都相等，且R＝5时，扇形圆心角的弧度数为（）A． B．1 C． D．【分析】根据扇形的面积公式可求得扇形弧长，再根据弧度的定义即可求得答案．【解答】解：设扇形的面积为S，弧长为l，由题意知R＝5，，则l＝2，故扇形圆心角的弧度数为．故选：D．【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题．3．（5分）函数的定义域是（）A．（0，7） B．[1，7） C．（0，7）∪（7，+∞） D．（0，1）∪（1，7）【分析】利用根式函数和对数函数的定义域求解．【解答】解：由题意得，，即，解得1≤x＜7，故选：B．【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．4．（5分）当α∈[0，2π]，若，则α的取值范围为（）A． B． C． D．【分析】由题意，根据余弦函数的单调性解三角不等式，即得答案．【解答】解：由题意α∈[0，2π]，，当时，，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，在[π，2π]上单调递增，故α的取值范围为．故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．5．（5分）已知幂函数f（x）＝（k+2）xα的图象过点，则k﹣α的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据幂函数定义求得k，再根据图象过的点求得α，即可得答案．【解答】解：由题意f（x）＝（k+2）xα是幂函数，则k+2＝1，∴k＝﹣1，即f（x）＝xα，将代入可得，∴α＝﹣1，故k﹣α＝0．故选：C．【点评】本题考查函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）“”是“x＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】求解再根据充分与必要条件的性质求解即可．【解答】解：当x＜0时，不满足；当x＞0时，即x2+1＞2x，（x﹣1）2＞0，解得x∈（0，1）∪（1，+∞）．综上：等价于0＜x＜1或x＞1，故“”是“x＞0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题．7．（5分）f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（1﹣x）＞f（1）的x的取值范围是（）A．（0，2） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，2）【分析】利用f（x）的奇偶性、单调性可得|1﹣x|＜1，求解即可得出答案．【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），又f（x）在[0，+∞）上单调递减，则在（﹣∞，0）上单调递增，∵f（1﹣x）＞f（1），∴|1﹣x|＜1，即﹣1＜1﹣x＜1，解得0＜x＜2，故满足f（1﹣x）＞f（1）的x的取值范围是（0，2）．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．（5分）若，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】易得，再根据对数函数的单调性可得b＞2，即可．【解答】解：，b＝log25＞log24＝2，．故b＞a＞c．故选：C．【点评】本题考查对数值及三角函数值大小的比较，属于基础题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在苺小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列函数中，与函数y＝2﹣x是同一函数的是（）A． B．y＝2﹣t C． D．【分析】判断各选项中函数的定义域、值域以及对应关系与函数y＝2﹣x的定义域、值域以及对应关系是否相同，即可判断答案．【解答】解：由题意知函数y＝2﹣x的定义域为R，值域为R，的定义域为（﹣∞，2]，与函数y＝2﹣x不是同一函数，A错误；y＝2﹣t定义域、对应关系以及值域与y＝2﹣x相同，为同一函数，B正确；，定义域、对应关系以及值域与y＝2﹣x相同，为同一函数，C正确；的定义域为{x∈R|x≠﹣2}，与函数y＝2﹣x的定义域不同，二者不是同一函数，D错误；故选：BC．【点评】本题主要考查判断同一函数，属于基础题．（多选）10．（5分）以下结论正确的是（）A．若x∈R，y∈R时，则 B．当x＞1时，x﹣1＞1 C． D．若角α的终边在第三象限，则角的终边在第二、四象限【分析】取特数值判断A；根据实数的倒数性质判断B；利用诱导公式结合特殊值的三角函数判断C；根据象限角的判断判断D．【解答】解：对于A，取x＝1，y＝﹣1，则，故A错误；对于B，当x＞1时，，B错误；对于C，，C正确；对于D，角α的终边在第三象限，即k•360°+180°＜α＜k•360°+270°，k∈Z，则，当k为偶数2n，n∈Z时，表示第二象限角；当k为奇数2n+1，n∈Z时，表示第四象限角，D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．（多选）11．（5分）下列函数既是偶函数，又在区间（0，+∞）内单调递增的函数是（）A． B．y＝3|x| C．y＝x3 D．y＝|tanx|【分析】根据函数奇偶性的定义以及复合函数的单调性性质可判断A；根据函数奇偶性的定义以及函数的单调性性质可判断B；根据函数奇偶性可判断C；根据函数单调性取特殊值可判断D．【解答】解：对于A：设，定义域为{x∈R|x≠0}，∵，∴为偶函数；当x∈（0，+∞）时，t＝x2为增函数，y＝log2t为增函数，故在区间（0，+∞）内单调递增，故A正确；对于B：设g（x）＝y＝3|x|，定义域为R，又g（﹣x）＝3|﹣x|＝g（x），则g（x）＝y＝3|x|为偶函数；当x∈（0，+∞）时，g（x）＝3x为增函数，故B正确；对于C：y＝x3为奇函数，不合题意，故C错误；对于D：设h（x）＝|tanx|，定义域为，又h（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝h（x），则h（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，不妨取，此时h（x）＝|tanx|无意义，故h（x）＝|tanx|在区间（0，+∞）内不具有单调性，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（多选）12．（5分）下列四个结论，其中结论正确的是（）A．函数的最大值为 B．函数（a＞0，且a≠1），当a＞1时，函数f（x）在定义域内单调递减 C．在同一个平面直角坐标系中，函数y＝3x与的图象关于x轴对称 D．在同一个平面直角坐标系中，函数y＝log3x与y＝3x的图象关于y＝x对称【分析】由题意，根据指数函数单调性可判断A；根据对数函数性质可判断B；根据指数函数性质可判断C；根据反函数的性质可判断D．【解答】解：对于A，由于函数由函数y＝2t，t＝x2+2x复合而成，t＝x2+2x＝（x+1）2﹣1≥﹣1，而y＝2t是R上的增函数，故有最小值，故A错误．对于B，当a＞1时，，故在定义域内单调递减，故B正确．对于C，由于，即它与y＝3x图象关于y轴对称，故C错误．对于D，由于函数y＝log3x与y＝3x互为反函数，故二者的图象关于y＝x对称，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查复合函数的性质，函数的单调性以及图象的对称性，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若a∈{a2，sinπ，cosπ}，则a的值为﹣1或1．【分析】根据元素和集合的关系，分类讨论，即可求得答案．【解答】解：因为sinπ＝0，cosπ＝﹣1，故由a∈{a2，sinπ，cosπ}，可得当a＝0时，{a2，sinπ，cosπ}＝{0，0，﹣1}，违反集合元素的互异性，不合题意；当a＝﹣1时，{a2，sinπ，cosπ}＝{1，0，﹣1}，符合题意；当a＝a2时，a＝0（不合题意）或a＝1，a＝1时，{a2，sinπ，cosπ}＝{1，0，﹣1}，符合题意；故a的值为﹣1或1．故答案为：﹣1或1．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14．（5分）a＜0时，不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0的解集是{x|3a＜x＜﹣a}．【分析】令不等式左边的多项式等于0，列出关于x的一元二次方程，求出方程的解，根据a小于0判断出两解的大小，即可写出原不等式的解集．【解答】解：∵x2﹣2ax﹣3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝﹣a．又a＜0，∴不等式的解集为{x|3a＜x＜﹣a}．故答案为：{x|3a＜x＜﹣a}【点评】此题考查了一元二次不等式求解集的方法，是一道综合题．15．（5分），则＝4．【分析】由题意，根据诱导公式化简求解即可．【解答】解：由诱导公式，，显然cosα≠0，故，解得．则．故答案为：4．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．16．（5分）任意x∈R，有2f（x）＝f（x+1）+f（x﹣1），若，则f（2023）＝．【分析】根据条件构造等差数列，求得公差，根据等差数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵2f（x）＝f（x+1）+f（x﹣1），，∴2f（2）＝f（3）+f（1）＝⇒，当x取正整数n时，令an＝f（n），则2an+1＝an+2+an，∴数列{an}是以为首项，以为公差的等差数列，∴，即．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的定义和通项公式，属于中档题．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知2sinθ+cosθ＝0．（1）求tanθ的值；（2）求的值．【分析】（1）根据同角的三角函数关系即可求得答案；（2）根据三角函数齐次式法求值，即得答案．【解答】解：（1）由2sinθ+cosθ＝0，可知cosθ≠0，故2sinθ＝﹣cosθ，则；（2）＝﹣1．【点评】本题考查三角恒等变换，属于基础题．18．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣ax﹣a．（1）当a＝1时，求函数f（x）＜0的解集；（2）是否存在实数a，使得任意x∈R，都有f（x）＞0恒成立，若存在，请求出求实数a的取值范围，若不存在，请证明．【分析】（1）代入a＝1求解一元二次不等式即可；（2）分a＞0，a＝0与a＜0三种情况讨论即可．【解答】解：（1）由题意，可得x2﹣x﹣1＜0，即，所以，，即．所以当a＝1时，函数f（x）＜0的解集为．（2）当a＜0时，二次函数开口向下，f（x）＞0不恒成立；当a＝0时，f（x）＝0不满足；当a＞0时，若ax2﹣ax﹣a＞0恒成立，则x2﹣x﹣1＞0恒成立，由（1）可知，x2﹣x﹣1＞0不恒成立．故不存在实数a，使得任意x∈R，都有f（x）＞0恒成立．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）＝f（1﹣x）．（1）求f（2）的函数值；（2）证明：f（x）为周期函数．【分析】（1）根据函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到f（0）＝0，再由f（x+1）＝f（1﹣x），利用赋值法求解；（2）由函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到f（﹣x）＝﹣f（x），再由f（x）＝f（2﹣x），利用周期函数的定义求解．【解答】解：（1）根据题意，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又因为f（x+1）＝f（1﹣x），所以f（x）＝f（2﹣x），则f（2）＝f（0）＝0；（2）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），又f（x）＝f（2﹣x），所以f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（2+x）＝﹣f（x），则f（4+x）＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数．【点评】本题考查函数奇偶性、周期性的判断和证明，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．20．（12分）已知函数f（x）＝log2（x+2）．（1）求函数f（x+2）恒过哪一个定点，写出该点坐标；（2）令函数g（x）＝f（x）﹣ax﹣1﹣1，当时，证明：函数g（x）在区间（1，2）上有零点．【分析】（1）根据题意，可得函数f（x+2）的解析式，再由对数函数过定点，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得函数g（x）的解析式，再由零点存在定理判断即可．【解答】解：（1）由题意知函数f（x）＝log2（x+2），故f（x+2）＝log2（x+4），令x+4＝1，∴x＝﹣3，log2（x+4）＝0，即函数f（x+2）恒过定点（﹣3，0），该点坐标为（﹣3，0）；（2）证明：由题意，当时，，∴，即，则g（1）＝log23﹣2＜0，又，故函数g（