人教版八年级数学下册（第十八章 平行四边形）18.2 特殊的平行四边形（学习、上课资料）

18.2特殊的平行四边形第18章平行四边形18.2.1矩形逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2矩形的定义和性质直角三角形斜边上的中线的性质矩形的判定知识点矩形的定义和性质知1－讲感悟新知11.定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.特别提醒●矩形必须具备两个条件：1.它是一个平行四边形；2.它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.●由矩形的定义知：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法.知1－讲感悟新知2.性质矩形的性质如下表：图形性质数学表达式矩形的四个角都是直角∵四边形ABCD

是矩形，∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°矩形的对角线相等∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC=OB=OD矩形是轴对称图形，它有两条对称轴知1－讲感悟新知矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常转化成直角三角形或等腰三角形来解决.感悟新知知1－练如图18.2-1，在ABCD

中，点E，F为BC边上的点，且BE=CF，AF=DE.求证：ABCD是矩形.例1解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.感悟新知知1－练证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B+∠C=180°.∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.又∵AF=DE，∴△

ABF≌△DCE(SSS).∴∠B=∠C=90°.∴ABCD是矩形.感悟新知知1－练1-1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC

于点D，分别过点A，D

作AE∥BC，DE∥AB，AE

与DE

相交于点E，连接CE.求证：四边形ADCE

是矩形.感悟新知知1－练证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AE＝BD.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，AD⊥BC.∴AE＝CD，∠ADC＝90°.又∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形且有一个角是直角．∴四边形ADCE是矩形．感悟新知知1－练如图18.2-2，在矩形ABCD

中，对角线AC，BD

相交于点O，∠BOC=120°，AB=6.解题秘方：紧扣矩形的“角、对角线的性质”进行计算.例2感悟新知知1－练求：(1)对角线的长；解：∵四边形ABCD

是矩形，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD.又∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°.∴△AOB

是等边三角形.∴OA=AB=6.∴BD=AC=2OA=2×6=12.感悟新知知1－练(2)BC

的长；解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠

ABC=90°.∴BC=(3)矩形ABCD的面积.解：S矩形ABCD=AB·BC=6×感悟新知知1－练2-1.[中考·铜仁]如图，在矩形ABCD中，A(－3，2)，B(3，2)，C(3，－1)，则D的坐标为()A.(－2，－1)B.(4，－1)C.(－3，－2)D.(－3，－1)D感悟新知知1－练2-2.若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为()A.8cm2B.4cm2C.2cm2D.8cm2B知识点直角三角形斜边上的中线的性质知2－讲感悟新知2直角三角形斜边上的中线的性质定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.数学语言：如图18.2-3，在Rt△ABC

中，∵∠ACB=90°，AD=BD，∴

CD=

AB(或CD=AD=BD).知2－讲感悟新知说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的.将矩形沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型.知2－讲感悟新知特别提醒●直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形.●此性质与“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”都是解决线段倍分关系的重要依据.感悟新知知2－练如图18.2-4，BD，CE是△ABC

的两条高，M，N

分别是BC，DE

的中点.求证MN⊥DE.解题秘方：紧扣条件“N

为DE

的中点”和结论“MN⊥DE”，建立等腰三角形“三线合一”模型，结合直角三角形斜边上中线的性质进行证明.例3知2－讲感悟新知证明：如图18.2-4，连接EM，DM.∵BD，CE

为△ABC

的两条高，∴

BD⊥AC，CE⊥AB.∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt△BEC中，∵

M为斜边BC的中点，∴EM=BC.知2－讲感悟新知在Rt△CDB中，∵

M为斜边BC

的中点，∴DM=BC.∴EM=DM.又∵

N为DE

的中点，∴MN⊥DE.感悟新知知2－练3-1.如图，在△ABC

中，∠C=2∠B，点D为BC上一点且AD⊥AB，点E是BD

的中点，连接AE.感悟新知知2－练(1)求证∠

AEC=∠C；感悟新知知2－练(2)求证BD=2AC；证明：由(1)可知BD＝2AE，∠AEC＝∠C，∴AC＝AE.∴BD＝2AC.感悟新知知2－练(3)若AE=8.5，AD=8，求△

ABE的周长.知识点矩形的判定知3－讲感悟新知31.判定定理1对角线相等的平行四边形是矩形.数学语言：如图18.2-5，在ABCD

中，AC=BD，∴四边形ABCD

是矩形.知3－讲感悟新知2.判定定理2有三个角是直角的四边形是矩形.数学语言：如图18.2-6，在四边形ABCD

中，∠A=∠B=∠

C=90°，∴四边形ABCD

是矩形.知3－讲感悟新知特别提醒矩形判定的常见思路：1.从角的角度证明.(1)四边形矩形；(2)平行四边形矩形；2.从对角线的角度证明.(1)平行四边形矩形；(2)四边形矩形.感悟新知知3－练如图18.2-7，在四边形ABCD

中，AD∥BC，E，F两点在边BC

上，AB∥DE，AF∥DC，且四边形AEFD

是平行四边形.例4解题秘方：紧扣“平行四边形”这一前提，从“对角线相等”入手(或有一直角入手)进行证明.感悟新知知3－练(1)AD

与BC

有何数量关系？请说明理由.解：BC=3AD.理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED

和四边形AFCD

都是平行四边形.∴AD=BE，AD=FC.又∵四边形AEFD

是平行四边形，∴AD=EF.∴AD=BE=EF=FC.∴BC=3AD.感悟新知知3－练(2)当AB=DC

时，求证：AEFD

是矩形.证明：∵四边形ABED

和四边形AFCD

都是平行四边形，∴DE=AB，AF=DC.∵AB=DC，∴DE=AF.又∵四边形AEFD

是平行四边形，∴四边形AEFD

是矩形.感悟新知知3－练4-1.如图，在四边形ABCD

中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC.求证：四边形ABCD是矩形.感悟新知知3－练证明：∵AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC.∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC.∴OA＝OB.∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．感悟新知知3－练如图18.2-8，ABCD

的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH

是矩形.解题秘方：题中证明矩形的条件是建立在四边形基础上，且都与角相关，可从证直角入手进行判定.例5感悟新知知3－练证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴

AB∥CD.∴∠ABC+∠BCD=180°.∵BG

平分∠ABC，CG

平分∠BCD，∴∠GBC+∠GCB=∠ABC+∠BCD=(∠ABC+∠BCD)=×180°=90°.∴∠BGC=90°.同理可得∠AFB=∠AED=90°，∴∠GFE=∠FEH=∠FGH=90°.∴四边形EFGH是矩形.感悟新知知3－练5-1.如图，在△ABC

中，AB=AC，AD，AE

分别是∠BAC

和△BAC

的外角∠BAF的平分线，BE⊥AE.感悟新知知3－练(1)求证DA⊥AE；感悟新知知3－练(2)试判断四边形AEBD的形状，并证明你的结论.解：四边形AEBD是矩形．证明如下：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°.由(1)知∠DAE＝90°，∴四边形AEBD是矩形．课堂小结矩形矩形定义直角三角形斜边上的中线的性质边的关系角的关系对角线的关系判定性质边的性质角的性质对角线的性质18.2特殊的平行四边形第18章平行四边形18.2.2菱形逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2菱形的定义和性质菱形的判定知识点菱形的定义和性质知1－讲感悟新知11.定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.特别提醒(1)菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和；(2)如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形；(3)菱形的面积=底×高=两条对角线乘积的一半.知1－讲感悟新知2.性质菱形的性质如下表：图形性质数学表达式菱形的四条边都相等∵四边形ABCD

是菱形，∴AB=BC=CD=AD菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角∵四边形ABCD

是菱形，∴BD⊥AC，∠DAC=∠BAC，∠ACD=∠ACB，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB菱形是轴对称图形，有两条对称轴知1－讲感悟新知3.矩形与菱形的区别(1)矩形和菱形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等；(2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形，而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形；(3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线.感悟新知知1－练如图18.2-16，在△

ABC中，CD

平分∠ACB

交AB

于点D，DE∥AC

交BC

于点E，DF∥BC

交AC

于点F.四边形DECF是菱形吗？为什么？例1解题秘方：紧扣菱形的定义中“两个条件”进行判断.感悟新知知1－练解：四边形DECF是菱形.理由如下：∵

DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF

为平行四边形.∵AC∥DE，∴∠2=∠3.∵CD

平分∠ACB，∴∠1=∠2.∴∠1=∠3.∴DE=EC.∴平行四边形DECF为菱形.感悟新知知1－练1-1.[中考·丹东]如图，在平行四边形ABCD中，点O

是AD

的中点，连接CO并延长交BA

的延长线于点E，连接AC，DE.感悟新知知1－练(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE.∵点O是AD的中点，∴AO＝DO.感悟新知知1－练(2)若AB=AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由.解：四边形ACDE是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.∵AB＝AC，∴CD＝AC.∴四边形ACDE是菱形．感悟新知知1－练如图18.2-17，在菱形ABCD

中，E，F

分别是BC，CD上的点，且∠

B=∠EAF=60°，∠BAE=18°.求∠

CEF的度数.解题秘方：紧扣菱形的性质、三角形外角的性质求解.例2感悟新知知1－练解：如图18.2-17，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B=60°.∴△ABC和△ACD

为等边三角形.∴AB=AC，∠B=∠ACF=∠BAC=60°.在菱形中如果出现“30°”“60°”“120°”“一边等于最短对角线”这些词语时，往往都指向等边三角形，我们需用等边三角形的知识来解决.感悟新知知1－练∵∠EAF=60°，∴∠BAC=∠EAF.∴∠BAE=∠CAF.∴△ABE≌△ACF(ASA).∴AE=AF.又∵∠EAF=60°，∴△EAF

是等边三角形.∴∠AEF=60°.∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴60°+18°=60°+∠CEF.∴∠CEF=18°.感悟新知知1－练2-1.[中考·南充]如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：感悟新知知1－练(1)△ADE≌△CDF.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA=DC，∠

DAE=∠DCF，AB=CB.∵BE=BF，∴AE=CF.在△ADE和△CDF中，∴△ΑDΕ≌△CDF(SAS)感悟新知知1－练(2)ME＝NF.证明：由(1)知△ADE≌△

CDF，∴∠ADM=∠CDN，DE=DF.∵DA=DC，∴∠DAM=∠DCN.∴∠

DMA=∠DNC.∴∠DMN=∠DNM.∴

DM=DN.∴DE－DM=DF－DN.∴ME=NF.感悟新知知1－练如图18.2-18，在菱形ABCD中，∠

ABC与∠BAD

的度数比为1∶2，菱形ABCD

的周长是48.解题秘方：紧扣菱形的性质和面积公式求解.例3感悟新知知1－练解：∵在菱形ABCD

中，∠

ABC与∠

BAD的度数比为1∶2，∴∠

ABC=60°，∠BAD=120°，AC⊥BD.∴∠ABO=30°.∵菱形ABCD的周长是48，∴AB=BC=DC=AD=12.∴AO=6.∴BO=∴AC=12，BD=12.求：(1)菱形ABCD

的两条对角线的长度；感悟新知知1－练解：菱形ABCD

的面积为(2)菱形ABCD的面积.感悟新知知1－练3-1.[中考·达州]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长为_______．52感悟新知知1－练3-2.[中考·乐山]已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD

的长分别是8cm和6cm，则菱形的面积为______cm2．24知识点菱形的判定知2－讲感悟新知21.判定定理1对角线互相垂直的平行四边形是菱形.数学语言：如图18.2-19，在ABCD

中，∵四边形ABCD

是平行四边形，AC

⊥BD，∴平行四边形ABCD

是菱形.知2－讲感悟新知2.判定定理2四条边相等的四边形是菱形.数学语言：如图18.2-20，在四边形ABCD

中，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD

是菱形.知2－讲感悟新知特别提醒●菱形的判定定理和性质定理是互逆定理.●判定菱形的常见思路:可依据题目特点选取不同的方法.感悟新知知2－练如图18.2-21，在平行四边形ABCD

中，对角线AC，BD相交于点O，过点O

作直线EF⊥BD，分别交AD，BC

于点E

和点F，连接BE，DF.求证：四边形BEDF

是菱形.解题秘方：紧扣对角线垂直这一条件，从判定平行四边形入手判定菱形.例4知2－讲感悟新知证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AD∥BC.∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB.∴△OED≌△OFB(AAS).∴DE=BF.∵DE∥BF，∴四边形BEDF

是平行四边形.又∵EF⊥BD，∴四边形BEDF

是菱形.感悟新知知2－练4-1.如图，在三角形纸片ABC

中，AD

是△

ABC的角平分线，把△

ABC进行折叠，使点A

与点D

重合，折痕与AB相交于点E，与AC相交于点F.求证：四边形AEDF是菱形.知2－讲感悟新知证明：设AD与EF相交于点O.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵点A与点D关于直线EF对称，∴EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°.知2－讲感悟新知又∵点A与点D重合，∴AO＝DO.∴EF，AD互相平分．∴四边形AEDF是平行四边形．又∵AD⊥EF，∴四边形AEDF是菱形．感悟新知知2－练如图18.2-22，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC

的中点.试证明：四边形EFGH

是菱形.解题秘方：紧扣题中中点条件与线段相等这一特征，从证四条边相等入手判定菱形.例5知2－讲感悟新知证明：∵点E，H分别为AD，AC

的中点，∴EH为△ACD

的中位线.∴EH=CD.同理可得：EF=AB，FG=CD，HG=AB.∵AB=CD，∴EH=EF=FG=HG.∴四边形EFGH

是菱形.感悟新知知2－练5-1.[中考·岳阳]如图，点E，F

分别在▱ABCD的边AB，BC

上，AE=CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1=∠2；②

DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．感悟新知知2－练(1)你添加的条件是__________(填序号)；(2)添加了条件后，请证明ABCD

为菱形．①或③证明：添加①.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C.在△ΑDE和△CDF中，∴△ΑDE≌

△CDF(AAS)∴AD=CD.∴▱ABCD为菱形，感悟新知知2－练添加③.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C.在△ΑDE和△CDF中，∴△ΑDE≌

△CDF(ASA)∴AD=CD.∴▱ABCD为菱形，课堂小结菱形菱形定义轴对称性判定边的关系对角线的关系性质边的性质角的性质对角线的性质18.2特殊的平行四边形第18章平行四边形18.2.3正方形逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2正方形的定义正方形的性质正方形的判定知识点正方形的定义知1－讲感悟新知11.正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.知1－讲感悟新知2.特殊四边形定义间的关系知1－讲感悟新知特别提醒正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.感悟新知知1－练如图18.2-32，在△

ABC中，∠ABC=90°，BD

平分∠ABC

交AC

于点D，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形BEDF

是正方形.例1解题秘方：紧扣定义中“四条边都相等，四个角都是直角”进行判定.感悟新知知1－练证明：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∠ABC=90°，∴∠DEB=∠EBF=∠BFD=90°.∴四边形BEDF

是矩形.∴∠DEB=∠EBF=∠BFD=∠FDE=90°，BE=FD，BF=ED.又∵BD

平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF.∴DE=DF=BF=BE.∴四边形BEDF是正方形.感悟新知知1－练1-1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE

垂直平分AC，DF⊥BC.当△ABC满足条件____________________时，四边形DECF

是正方形.(要求：①不再添加任何辅助线；②只需填一个符合要求的条件)AC＝BC(答案不唯一)知识点正方形的性质知2－讲感悟新知21.正方形的性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即：(1)边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；知2－讲感悟新知(4)对称性：是轴对称图形，有4条对称轴；(5)面积：边长的平方或对角线长平方的一半.2.特殊四边形的性质间的关系矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图18.2-33所示.知2－讲感悟新知特别提醒正方形的特殊性质：1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形.2.周长相等的四边形中，正方形的面积最大.感悟新知知2－练如图18.2-34，在正方形ABCD中，E

为CD

上一点，F为BC

延长线上一点，CE=CF.例2解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息求解.知2－讲感悟新知证明：∵四边形ABCD

是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF(SAS).(1)求证△BCE≌△DCF；知2－讲感悟新知解：∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠

ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC－∠CFE=60°－45°=15°.(2)若∠BEC=60°，求∠

EFD的度数.感悟新知知2－练2-1.[中考·随州]如图，在平行四边形ABCD

中，点E，F

分别在边AB，CD

上，且四边形BEDF为正方形．感悟新知知2－练(1)求证：AE＝

CF．证明：四边形BEDF为正方形，∴DF=EB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB.∴DC－DF=AB－EB.∴CF=AE，即AE=CF.感悟新知知2－练(2)已知平行四边形ABCD

的面积为20，AB=5，求CF

的长．解：∵平行四边形ABCD的面积为20，AB=5，四边形BEDF为正方形∴5DE=20，DE=EB.∴DE=EB=4.∴AE=AB－EB=5－4=1.由(1)知AE=CF，∴CF=1.知识点正方形的判定知3－讲感悟新知31.判定方法(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发：