人教版八年级数学上册（第十三章 轴对称）13.4 课题学习 最短路径问题（学习、上课资料）

13.4课题学习最短路径问题第十三章轴对称逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2最短路径问题建桥选址问题知识点最短路径问题知1－讲11.

直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题如图13.4-1，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C，使CA＋CB最小，这时点C就是线段AB与直线l的交点.知1－讲2.

直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题如图13.4-2，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C，使CA＋CB最小，这时先作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点C(也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C)，此时点C就是所求作的点.知1－讲特别解读●直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题是根据“两点之间，线段最短”来设计的.●直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的两点，依据异侧两点的方法找点.知1－练例1某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B两个居民小区送电.解题秘方：扣住两点是在直线同侧还是异侧两种类型解决.知1－练解：如图13.4-3，连接AB，与l的交点即为所求的分支点M.(1)如果居民小区A，B在主干线l的两侧，如图13.4-3，那么分支点M在什么地方时总线路最短？知1－练解：如图13.4-4，作点B关于l的对称点B1，连接AB1交l于点M，连接BM，此时AM＋BM最短，则点M即为所求的分支点.(2)如果居民小区A，B在主干线l的同侧，如图13.4-4，那么分支点M在什么地方时总线路最短？知1－练方法点拨：解决“一线两点”型最短路径问题的方法当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点.知1－练1-1.如图，四边形OABC为正方形，边长为3，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为(1，0)，P是OB上的一动点，则“求PD＋PA的最小值”要用到的数学依据是()A.两点之间，线段最短B.轴对称的性质C.两点之间，线段最短及轴对称的性质D.以上都不正确C知1－练如图13.4-5，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.例2知1－练解题秘方：要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，利用轴对称的性质进行转化.知1－练解：如图13.4-5，作点P关于直线a的对称点P1，关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接PA，PB.由轴对称的性质知，PA＝P1A，PB＝P2B，则先沿PA到点A处吃草，再沿AB到点B处饮水，最后沿BP回到营地，此时PA＋AB＋PB＝P1A＋AB＋P2B＝P1P2，按这样的路线放牧所走的总路程最短.知1－练方法点拨：解决“两线一点”型最短路径问题的方法分别以两线为对称轴，作已知点的对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为连接两个对称点的线段.知1－练2-1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，当△AMN的周长最小时，求∠AMN＋∠ANM的度数.知1－练解：如图，分别作点A关于直线BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则

A′A″的长即为△AMN的周长的最小值．作DA的延长线AH.知1－练∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.知1－练例3如图13.4-6，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1上吃草，然后赶羊到河边l2处饮水，之后再回到B处的家.假设山娃赶羊所走的路都是直路，请你为他设计一条最短的路线，并指明羊吃草与饮水的位置.知1－练解题秘方：要使总路程最短，需要将三条线段想办法转化到一条线段上，可通过两次轴对称构造出最短路线.知1－练解：如图13.4-6，作出点A关于l1的对称点E，点B关于l2的对称点F，连接EF，分别交l1，l2于点C，点D，连接AC，BD，则A→C→D

→B是山娃所走的最短路线，其中点C是羊吃草的位置，点D是羊饮水的位置.知1－练方法点拨：解决“两线两点”型最短路径问题的方法以两线为对称轴，分别作靠近线的点的对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为连接两个对称点的线段.知1－练3-1.如图，已知点P，Q在锐角∠AOB内部，分别在边OA，OB上求作点M，N，使得PM＋MN＋NQ的值最小.知1－练解：如图，作点P关于直线OA的对称点P′，点Q关于直线OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N，则点M，N即为所求．连接PM，QN，此时，PM＋MN＋NQ的值最小，就是P′Q′的长．知2－讲知识点建桥选址问题21.

解决“建桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题.2.

解决“建桥选址”问题的关键就是要通过平移桥，使除桥外的其他路径平移后在一条直线上.知2－讲特别解读解决连接河两边两地的最短路径问题时，可以通过平移桥的方法转化为求直线异侧两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.知2－练如图13.4-7，从A地到B地要经过一条小河(河的两岸平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？例4知2－练解题秘方：如图13.4-8，从A到B要走的路线为A→M→N→B，因为河宽MN不变，所以要使路程最短，只要AM＋BN最小即可；由平移MN到AC可知，连接B，C的线段长是AM＋BN的最小值，此时BC与GH的交点N为桥的一端，MN就是所建的桥的位置.知2－练解：(1)如图13.4-8，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC，与河岸GH相交于点N，过点N作NM⊥EF于点M，则MN为所建桥的位置.知2－练4-1.如图，要求只挖一条水渠把水送到A，B两地，请你