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文档简介

随机事件及其运算目录CONTENTS随机事件的定义与性质随机事件的运算条件概率与独立性概率的加法定理全概率公式与贝叶斯公式随机变量的概念与性质01CHAPTER随机事件的定义与性质在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件。随机事件随机试验中所有可能结果组成的集合。样本空间样本空间中的元素。样本点随机事件的定义03完备性样本空间中至少包含一个事件。01互斥性两个事件不能同时发生。02对立性一个事件发生,另一个事件就不发生。随机事件的性质必然事件在一定条件下,一定会发生的事件。不可能事件在一定条件下,一定不会发生的事件。必然事件与不可能事件02CHAPTER随机事件的运算123如果事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A。包含关系如果事件A与事件B不能同时发生,则称事件A与事件B为互斥事件。互斥关系如果事件A与事件B是互斥的,且它们的并集是全集,则称事件A与事件B为对立事件。对立事件事件的包含关系并事件(和事件)并事件若某事件发生,只要事件A或事件B发生,该事件就发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)。并事件的概率记作P(A∪B),简记为P(A+B),计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。若某事件发生,只有当事件A和事件B同时发生时,该事件才发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)。记作P(A∩B),简记为P(AB),计算公式为P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)。交事件(积事件)交事件的概率交事件差事件在某一试验中,若某事件发生,只有当在事件A发生的条件下,事件B不发生,则称此事件为事件A与事件B的差事件。差事件的概率记作P(A-B),计算公式为P(A-B)=P(A)-P(A∩B)。差事件对于任意两个样本点a和b属于基本空间S,由样本点a出现或样本点b出现所构成的事件称为对偶事件。对偶事件记作P(a+b),计算公式为P(a+b)=1-P(a)-P(b)+P(ab)。对偶事件的概率对偶事件03CHAPTER条件概率与独立性条件概率是指在某个已知事件B发生的情况下,另一个事件A发生的概率。数学上表示为P(A|B),读作“在B的条件下A的概率”。条件概率的定义公式为:P(A|B)=P(A∩B)/P(B),其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率,P(B)表示事件B发生的概率。条件概率的定义P(A|B)≥0。非负性规范性递推性全概率公式当事件B为必然事件时,P(A|B)=P(A)。如果事件A和事件B是相互独立的,那么P(A|B)=P(A)。如果事件B是n个互斥事件B1,B2,...,Bn的并集,则P(A|B)=ΣP(A|Bi)*P(Bi)/P(B)。条件概率的性质ABCD事件独立性的定义如果两个事件A和B相互独立,则P(A∩B)=P(A)*P(B)。独立事件的运算性质如果事件A和事件B相互独立,则它们的并集、交集等运算后的事件也相互独立。独立事件的实例掷一枚骰子出现偶数点和出现点数大于等于4点是两个独立事件。因为一个事件的发生不影响另一个事件的发生。独立性的性质如果事件A和事件B相互独立,则它们的任何子事件也相互独立。事件的独立性04CHAPTER概率的加法定理互斥事件两个事件不能同时发生,即$AcapB=emptyset$。概率加法定理对于任意两个互斥事件$A$和$B$,有$P(AcupB)=P(A)+P(B)$。应用场景在概率论中,互斥事件常常用于描述两个不可能同时发生的事件,例如抛掷一枚骰子出现奇数和出现偶数。互斥事件的概率加法定理一个事件的发生不影响另一个事件的发生,即$P(AcapB)=P(A)timesP(B)$。独立事件对于任意两个独立事件$A$和$B$,有$P(AcupB)=P(A)+P(B)-P(AcapB)$。概率加法定理在概率论中,独立事件常常用于描述两个事件之间没有相互影响的情况,例如抛掷一枚硬币两次,出现正面的次数与出现反面的次数。应用场景独立事件的概率加法定理概率加法定理对于任意两个完备事件$A$和$Omega$,有$P(AcupOmega)=P(A)+1-P(A)$。应用场景在概率论中,完备事件常常用于描述样本空间中所有可能的结果,例如掷一枚骰子出现的所有可能结果。完备事件样本空间中包含所有可能结果的集合,即样本空间$Omega$。完备事件的概率加法定理05CHAPTER全概率公式与贝叶斯公式全概率公式01全概率公式用于计算一个复杂事件发生的概率,通过将复杂事件分解为若干个互斥且完备的简单事件,并分别计算这些简单事件的概率,最后将这些概率相加得到复杂事件的概率。公式形式02如果事件A可以分解为n个互斥且完备的事件B1,B2,...,Bn,则事件A发生的概率为P(A)=P(B1)+P(B2)+...+P(Bn)。应用场景03全概率公式在概率论和统计学中有着广泛的应用,例如在风险评估、决策分析、可靠性工程等领域。全概率公式贝叶斯公式用于计算在给定一些信息条件下某个事件发生的概率,通过将先验概率与新信息结合,得到后验概率。贝叶斯公式如果事件A的先验概率为P(A),事件B为新信息,那么事件A的后验概率为P(A|B)=(P(B|A)*P(A))/P(B)。公式形式贝叶斯公式在许多领域都有应用,例如在机器学习、统计推断、决策分析等领域中用于更新和调整事件的概率。应用场景贝叶斯公式06CHAPTER随机变量的概念与性质离散随机变量其值可以一一列举出来,或者其值个数是有限的。连续随机变量其值充满在一个区间内,无法一一列举出来。随机变量在随机试验中,将试验结果与实数之间建立的一个对应关系。随机变量的定义确定性对于任意一个实数,要么随机变量取到该值,要么不取。可数性随机变量可以与自然数之间建立一一对应关系。可测性对于任意一个区间,事件的发生与否是可知的。随机变量的性质ABCD离散型随机变量与连续型随机变量离散型随

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