黑龙江省哈尔滨第九中学2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨第九中学2022届高三第二次模拟考试数学（理）试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x|x=2"+l,〃eZ},B=1.r|Vx-l<3^,则4口8=（）

A.{1,3}B.{3,5,7,9}

C.{3,5,7}D.{1,3,5,7,9}

2.已知某公交车早晨5点开始运营，每20分钟发一班车，小张去首发站坐车，等车时间少于5分

钟的概率为（）

A.-B.-C.D.-

3423

'x+y<3

3.若x，V满足约束条件,x-y4T,则z=2x+y的最小值为（）

x>0

A.1B.2C.3D.4

4.已知抛物线的焦点是凡点P的坐标为（a,-2a）.若归尸|=6,则a的值是（）

A.4B.3C.4或一4D.3或一3

5.已知数列{%}满足6=15,«2=y,且2a向=a.+a“+2.若则正整数k=

A.21B.22C.23D.24

6.2019年1月3日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传

回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱.如图所示，地球「和月球

。都绕地月系质心。做圆周运动，PO=rt,OQ=r2,设地球质量为“，月球质量为机，地月距离

PQ为R,万有引力常数为G,月球绕。做圆周运动的角速度为口，且空?

二M①",则

()

B.CD=

v-亡

D.rx=-^—R

M+m

7.有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选.有人走访了四位同学，甲说：“是乙

或丙当选“，乙说：“甲、丙都未当选“，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了“，若四位同学的话

只有两句是对的，则当选的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7T

8.函数/（x）=cosy（x-l）在区间［-3,5］上的所有零点之和等于（）

A.-2B.0C.3D.2

9.习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计.哈九中落实讲

话内容，组织研究性学习.在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇

报，如果B成果不能最先汇报，而月、C、。按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排

种数为（）

A.100B.120C.300D.600

10.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，

将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六

边形、正八边形等.已知圆。是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆。的圆周上，点尸是圆。内

部一点，若网=2,且丽丽=_2,则|西+国的最小值是（）

A.3B.4C.9D.16

11.偶函数满足〃4+X）=/（4—x）,当x«0,4］时,〃x）=¥，不等式/（x）+）（x）＞0在

［-200,200］上有且只有100个整数解，则实数。的取值范围是（）

A.I--In3,-ln2B.--In3,--ln21

（32」L32J

C.（--In3,--ln2D.|--In3,-ln2|

（32」I32）

12.在钝角AABC中，。,瓦。分别是的内角A,B,C所对的边，点G是AABC的重心，若AGJ.3G,

则cosC的取值范围是（）

二、填空题

13.复数z满足zi=2-i（其中i为虚数单位），则忖=.

14.在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于.

22

15.双曲线C:=-2=1（。＞0力＞0）,尸为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的

h-

距离之积为1,则双曲线的半焦距C的取值范围.

16.在梯形ABC。中，ZABC=ZBAD=90.AB=BC=-AD=\,M为AC的中点，将AABC沿

2

直线AC翻折成VA8C，当三棱锥瓦-AC。的体积最大时，过点M的平面截三棱锥4-AC。的外

接球所得截面面积的最小值为.

三、解答题

17.2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟

十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆

满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要

零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对4型材料进行应用

改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：

序号123456789101112

X2346810132122232425

y1522274048546068.56867.56665

当0<xW17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：P=4.1x+10.9,模型②：y=2l.3^-14.4；

当x>17时，确定y与x满足的线性回归方程为y=-0.7x+«.

(1)根据下列表格中的数据，比较当0<x417时模型①，②的相关指数2的大小，并选择拟合精度

更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；

回归模型模型①模型②

回归方程9=4.1x+10.97=21.3^-14.4

79.1320.2

/=1

(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方

程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司

收益(直接收益+国家补贴)的大小.

>(M_y.y

附：刻画回归效果的相关指数R2=l-芸一二，且当心越大时，回归方程的拟合效果越好.用

Z(x-y)2

1=1

最小二乘法求线性回归方程》=九+15的截距：a=y-hx.J万=4.1

18.己知数列｛4｝满足4%…=2-2。,,，〃eN*.

(I)证明：数列是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

⑵记"=就弓-求也｝的前“项和s”

19.三棱锥尸一ABC中，AC_L8C,平面PAC平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,尸分别

为PC和尸B的中点，平面ABCn平面=

P

(1)证明：直线/〃BC；

(2)设M是直线/上一点,且直线PB与平面4EF所成的角为a，直线PM与直线EF所成的角为夕，

满足a+尸=],求|AM|的值.

尤2y

20.在平面直角坐标系中，已知椭圆之=1(。>匕>0)的左、右顶点分别为小B,右焦点凡

且椭圆「过点(0,6)、(2,|),过点F的直线/与椭圆「交于P、。两点(点P在x轴的上方).

(1)求椭圆厂的标准方程；

(2)设直线AP、8。的斜率分别为&、k2,是否存在常数2,使得仁+4&=。？若存在，请求出4的

值；若不存在，请说明理由.

21.已知函数〃x)=(x+3(e'-a)”>0)在(-lj(-l))处的切线方程为(e-l)x+ey+e-l=0.

⑴求a,。的值；

(2)若方程=机有两个实数根和三，

①证明：m>--；

2

②当机<0时，|七一不|>2加+1是否成立？如果成立，请简要说明理由.

।尤,—3x

22.在直角坐标系xOy中，曲线6&2+丁=1经过伸缩变换，一；后得到曲线G，以原点。为

[y=2y

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为：psin^+^=-2V2.

(1)写出曲线C,的参数方程和直线/的直角坐标方程；

(2)在曲线G上求一点P，使点尸到直线/的距离最小.

23.已知函数/。)=|2犬-"|-|2*+3|，8(犬)=|》一2].

⑴当。=1时，解不等式f(x)*0；

⑵若/(x)4g(x)在xe[l,2]时有解，求实数a的取值范围.

参考答案:

1.D

【解析】

【分析】

根据集合交集运算直接求解可得.

【详解】

由得14XC10,则An8={1,3,5,7,9}.

故选：D

2.B

【解析】

【分析】

利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

若小张等车时间少于5分钟，则他至多在发车前5分钟到达车站即可，

由几何概型的概率公式可知，小张等车时间少于5分钟的概率为?=

204

故选：B.

3.A

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，求出8点的坐标，将z=2x+y转化为y=-2x+z,结合图像求出z

的最小值.

【详解】

根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域如阴影部分，可以看出当z=2x+y经过点2时，目

标函数取得最小值,则8(0,1),此时Zmm=2x0+1=1.

故选：A.

4.D

【解析】

【分析】

求出抛物线的焦点，利用距离公式可得答案

【详解】

由题意知尸（。,0）,则|PF|=|2《=6,所以“=±3.

故选：D.

5.C

【解析】

【详解】

由山=a〃+〃“+2知，数列是等差数列，首项是q=15,公差是"=电一4=453—15=-（2，所以

2247?472

%=15_§（〃_1）=_§〃+可，所以4,%+[<0可化为（一§4+亍）（_§4+]5）<0,解得k=23,故选

C.

6.B

【解析】

【分析】

根据题干中的等式结合R=4+乃可求得。、小G,可得出合适的选项.

【详解】

„.GMm2〃)一r㈤GmGM

对于AB选项,R=%+G,由———=marr?=Mco-n可得彳=,,

R-co~R~钎诉'

所以，R=/；+4=T£),所以，JG(7"),A错B对;

对于c选项，由。=归丝㈤可得G=Q),C错;

vR3M+机

GMr./;

对于D选项，由钎西，钎即可露T/'

m

所以，“7M得/；=R,D错.

M+tn

尺=4+弓

故选：B.

7.C

【解析】

【分析】

根据“四位同学的话只有两句是对的“，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成

立，如果与条件相符，则假设成立，从而解决问题.

【详解】

若甲当选，则都说假话，不合题意；

若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意；

若丁当选，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意；

故当选是丙.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是推理的应用，主要考查逻辑思维和推理能力，解决此类问题的基本方法是假设法，属

于基础题.

8.D

【解析】

【分析】

直接求出所以零点，然后求和即可.

【详解】

令cos-(x-1)=0,则々x-l)=工+br,%eZ,得x=』+3k«eZ,因为xef-3,5],所以x=」,3,

L3J32222

所以所有零点之和为=

故选：D

9.A

【解析】

【分析】

优先排B元素，然后根据4、C、。顺序确定用除法可得.

【详解】

先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共父=120,由于4、C、。顺序确定，所以不同

的排法共有力黑=100.

故选：A

10.A

【解析】

【分析】

利用向量的线性运算，结合数量积3.而=-2,可求得|丽卜一^―,确定其取值范围，再根

11cosZAOP

据I函+而I平方后的式子，即可求得答案.

【详解】

因为丽=丽-砺，所以亦存=丽•（而-砺）=砺•丽-加=-2,

所以丽.丽=2,即阿•画cosNAOP=2,则同二（二op.

因为点P是圆。内部一点，所以|。耳=----—＜2,所以《＜cosZAOP41,

11cosZAOP2

2

则回+9『=而+2OAOP+OP=8+.2；40Pz9,

当且仅当cosNAOP=l时，等号成立，故|丽+丽|的最小值是3,

故选：A.

11.C

【解析】

【分析】

由题意得到/（X）是周期函数，且周期为8,且“X）关于X=4对称，转化为不等式/（无）+4（6＞0

在（0,4］上有且只有1个整数解，根据。＜0时，得到/（x）＞-a在（0,4］上有一个整数解，结合对数运

算及性质，列出不等式，即可求解.

【详解】

由题意，函数”X)为偶函数，所以〃4+x)=〃4-x)=/(x-4),

所以J'(8+x)=〃x),所以〃x)是周期函数，且周期为8,且“X)关于x=4对称,

又由在［-200,200］上含有50个周期，且在每个周期内都是对称图形，

关于x的不等式/(x)+4(x)>。在［-200,200］上有且只有100个整数解，

所以关于x不等式r(x)+4(x)>0在(0,4］上有且只有1个整数解，

当x«0,4］时，/(》)=手，则/(工)=上等(》>0),令广(*)=0,解得x=e,

所以当X«0,e)时,尸(力>0,“X)为增函数，

当xe(e,4］时，r(x)<0,为减函数,

因为当xf0时，“X)—,且/⑴=0,62)=等=〃4),〃3)=*〃4)=殍>0,所

以当x=A(=2,3,4)时，可得〃x)>0,

当“20时，r(x)+4(x)>0在(0,4］上有且只有3个整数解，不合题意；

所以avO,

由r(x)+4(*)>。，可得"力<0或f(x)>-a,

因为f(x)=(,当xe(0,4］时,令,f(x)=O,可得x=l,

当XG(1,4］时,/(x)>0,且f(x)在(O,e)为增函数，

所以/(X)<0在(0,4］上无整数解，所以〃x)>f在(0,4J上有一个整数解,

In4In2221n2In2

因为——=----=-----=——，

4442

所以/'⑴>-。在(0,4］上有一个整数解，这个整数解只能为1=3,

..工七In3口、ln2&力/口In3,In2

从而有一〃<—S.~a>——解得——<a<——

3x32

即实数a的取值范围是［Jn3,-；ln2

故选：C

12.C

【解析】

【分析】

3

延长CG交A3于。，由重心性质和直角三角形特点可求得CZ)=Gc,由cosZBZ)C=-cosNADC,

利用余弦定理可构造等量关系得到标+从=5/,由此确定C为锐角，则可假设A为钝角，得到

b2+c2<a2,a2+c2>b2,a>b,由此可构造不等式组求得夕的取值范围，在AABC利用余弦定理可

a

得cosC=K?+2l利用2的范围，结合C为锐角可求得cosC的取值范围.

5\ba)a

【详解】

延长CG交A3于。，如下图所示:

■：C为^ABC的重心，.。为AB中点且8=3DG,

133

AG_LBG,DG=—AB,CD=—AB——c；

222

522

Cbi22

AD2+CD2-AC22'~'5c-2b

在AAOC中cosZADC-

2ADCD

2

BD、CD2-BC25c2-2a2

在△BDC中,cosNBDC=

2BDCD3c2

,/ABDC+ZADC-7i,cosZ.BDC=-cosZADC,

即5c2=-51一2"2,整理可得：/+/=5°2>C2,；c为锐角;

3c23c2

设A为钝角，贝4+/>/?2,a>b,

a2+b2

a2>b2+

5。丫2

解得:B<3

a2+b2

b2<a2+

5

\-a>b>090<—<x--------f

a3

a2+b2-c22a2+b22ab23

由余弦定理得：cosC=>—x3+土“厂3'

2ab5ab5ba5

又C为锐角，，曰<cosC<l,即cosC的取值范围为［乎,1).

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，解题关键是能够由两角互补得到余弦值

互为相反数，由余弦定理得到这+加=5c"确定C为锐角，从而得到三边之间的不等关系，求得

a

的范围.

13.0

【解析】

【分析】

根据复数模的计算方法即可求解.

【详解】

zi=2-i,|zi|=|2-i|=>|z||i|=>/5=>|z|=>/5.

另解：zi=2-i=i>z=-^-^-=-l-2i=>|z|=>/5.

故答案为：非.

14.27

【解析】

【分析】

设公比为4,利用已知条件求出炉,然后根据通项公式可求得答案

【详解】

设公比为夕，插入的三个数分别为%，%，/，

因为q=l,%=9,所以/=9,得/=3,

所以外,巴,见=qq,=a\(/丫=33=27,

故答案为：27

15.[2,+oo)

【解析】

【分析】

伽一，3|,_\bx+ay\

分别求得尸到两条渐近线的距离分别为根据题意列出方程，结合双曲

4=+b2''y!a2+b2

线的方程及基本不等式得到/«e，即可求解.

4

【详解】

V-2V2

由题意，双曲线C:=-2=l,可得其渐近线方程为法土缈=0,

ab

设P*,y),可得点p到两条渐近线的距离分别为4=

yja2+h2十及

因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1,

帆一肛||/?x+ay|\b2x2-«2y2|

可得4d2=

J/+/y/a2+h2+"2

又由《一耳=1,可得从/一“2,2=/〃，所以坐\=i,

aba+b-

&\ia2+b2=a2b2<^h]BPc2<—,所以c、N2,当且仅当a=b时等号成立,

44

所以双曲线的半焦距c的取值范围[2,+a>).

故答案为：⑵+8).

【解析】

【分析】

分析出当平面与ACJ.平面AC。时，三棱锥与-48的体积最大，取AO的中点。，分析出点。为

三棱锥4-ACD的外接球的球心，求出球的半径，计算出截面圆半径为最小值，结合圆的面积公

式可得结果.

【详解】

如下图所示，连接瓦M,则与/_LAC,

Bi

则加2。。，故的二臂=冷去

设二面角片-AC-。的平面角为a,设三棱锥与-AC。的高为〃，则力=gMsina=#sina,

,,_1c,1cV2.〈队

5—ACD=SAACD.力=§SjCD,—Sina<-S^ACD

当且仅当a=90时，等号成立，即当平面用AC，平面ACO时，三棱锥片-AC。的体积最大,

•:AC=6AB=BC=\,XABC=90,故A4?C为等腰直角三角形，且ZACB=45。，

在梯形A8C£>中，ZABC=ZBAD=90,则BC〃A£>,所以，ZCAD=ZACB=45,

在AAC£>中，AC=&，AD=2,ZC4D-45",

由余弦定理可得C£>=jACZ+AZ^—ZAC.ADcosdS。=及，故AC?+8?=A。?，,C£>_LAC,

因为平面瓦AC1平面AC。，平面4ACn平面ACD=AC,CDVAC,CDu平面AC。，\CD>

平面及AC,

u平面B.AC,则AB1±CD,

因为A81_LB|C,B[CcCD=C,二J"平面,

•.•81力匚平面8。。，所以，AB|_LBQ,

记AZ）中点为。，由。用=04=OC=0。得。为三棱锥B.-ACD的外接球的球心,

且球的半径为OC=；A£>=1,

设QM与过点M的平面所成的角为，，设点。到截面的距离为"，则”=0Msin6=，?sine,

2

故截面圆的半径为r=Vi二7=1-冬in®邛，

当且仅当。=90时，过点M的平面截三棱锥外接球O所得截面面积最小，

所以截面圆面积的最小值为%=£.

7[

故答案为：

【点睛】

方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题

求解，其解题思维流程如下：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点

的距离相等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及

体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

17.(1)对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为72.93(亿元)；

(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小.

【解析】

【分析】

(1)根据模型和相关系数公式计算比较即可，然后将x=17代入较好的模型即可预测直接收益；

(2)根据回归方程过样本中心点(7J)求出4,再令x=20算出预测的直接收益，即可算出投入20亿

元时的总收益，与(1)中的投入17亿元的直接收益比较即可.

(1)

对于模型①，对应的亍=15+22+27+40+48+54+60=38,

7

77

故对应的2(%一寸==1750,

、7913

故对应的相关指数/?；=1-后■=0.955,

对于模型②，同理对应的相关指数电=1-1^=0.988,

故模型②拟合精度更高、更可靠.

故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为5，=21.3xJ万-14.4土72.93(亿元).

另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型②拟合精度

更高、更可靠.

(2)

当x>170寸，

匚丁出“-21+22+23+24+252-68.5+68+67.5+66+655

后五组的x=-----------------=23,y=--------------------=67,

由最小二乘法可得a=67-(-0.7)x23=83.1,

故当投入20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小为：

-0.7x20+83.1+5=74.1>72.93,

故投入17亿元比投入20亿元时收益小.

18.(1)证明见解析，a„=-^(neN*)

774-2v7

031(2〃+3)

⑵S'=15(〃+l)(〃+2)

【解析】

【分析】

(1)由“见…”“=2-2%,4见…%T=2-2《I两式相除可得数列｛4｝的递推公式，然后由递推公

式变形可证，再由［占］是等差数列可得数列｛勺｝的通项公式；

(2)由裂项相消法可得.

(1)

2

当〃=1时，4=2-2〃］,得4=1,

当〃22时，有…q=2-2。“，4%…=2—2a,

相除得

整理为：丁’-=7^一=7^一一1(“22),

1-4-1-4,「a”

即11-—-'一=1(«>2),

1-41一《I

・••］」一［为等差数列，公差d=l,首项为」=3；

所以9-=3+(〃-1)=〃+2,整理为：4=土N(〃eN*).

l-a„M+2V'

⑵

1111

b“=

〃(九+1)〃(〃+2)2\n〃+2

111111111---1-

s”=3—।-----------1-----------F…H-----------------------1-------------------

32435n-\〃+ln〃+2212n+1〃+2

c31(2〃+3)

=

升74-2(〃.+l—)(〃—+2)

19.(1)证明见解析

(2)1

【解析】

【分析】

(1)由线面平行的判定与性质定理证明

(2)建立空间直角坐标系，由空间向量求解

(1)

证明：YE、产分别为PB、PC的中点，.8C〃E/,

又面EfA,BCU面EFA,二8C〃面EE4,

又：8Cu面ABC,面EE4c面45C=/,8C〃/,

(2)

以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C垂直于面A8C的直线为z轴,

建立空间直角坐标系，

1

则4(020),8(4,0,0),P(0,l,V3)Jo⑥设M(g2,0),

P月=1,一1,-6),前=(2,0,0),黑=3

°'~2'TJ

设平面AEF的一个法向量为”=(x,y,z)

2x=0

有则平面AEF的一个法向量为日=(0,1,6)

——y+——z=0n

22

时。s例林荫前弱卷

户而=(〃］」,-⑹,

而万后端京

乃\m\1

■:a+B=—，*,•coscc=sinP,―/.•=—^=-/H=i1

2J*+4V5

即存在M满足题意，此时M"|=l

22

20.（1）—+^-=1

95

⑵存在，A---

【解析】

【分析】

（1）由题意将点（0,石）、（2,|）的坐标代入椭圆方程可求出的值，从而可求得椭圆方程，

（2）由题意设直线/的方程为x=my+2,点PQ，x）,。（七,必），将直线方程代入椭圆方程中消

%

去x,整理后利用根与系数的关系，-力=3=邛3=坐二2，由于P，。在椭圆上，所以可得

k2丫2%（石+3）

工2—3

白=一坐±2,代入上式结合前面的式子化简可得结果

X2-39y2

（1）

/b=y/5，Q=3

因为椭圆r过点倒,6）、［《J,则有.色+亘J解得，=

所以椭圆r的标准方程为三+汇=1.

95

⑵

设存在常数;I,使得占+/1履=0.由题意可设直线/的方程为尢=冲+2,点P（x「yJ,。伍,必），

x=my+2,

又由得(5病+9)y?+20my-25=0,A=900(w2+l)>0,

20m25

S.y+y=~

l25m2+9W+9

兀二%=3+3乂(与-3)

h%%(%+3)

%—3

又因为互+支=1即孝^5(电+3)

95X?-99%

所以一丸=-_爷__-=-....安------

5（Xj+3）（/+3）5。孙+5）（冲2+5）

_________-9y-_________

即一2=5[病y%+5制y+%)+25]

1

5tn2\---—j+5m\-5x产5

I5m2+915m~+9

即/l=1,所以存在常数使得勺+〃2=0

21.(1)(2=1,b=1

（2）①证明见解析，②成立，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，再根据导数的几何意义及切点即在切线上又再曲线上，解出方程，解之即可;

（2）①，由（1）求得函数的解析式及导数，利用导数求出函数/（x）的单调区间，从而可求得函

数/（x）的最值，再根据方程/（》）=加有两个实数根占,莅，可得函数/（x）的最值机的关系，即可得

证；

②，分别求出当直线过（T0）,&j（/））时和直线过（0,0）,■，〃天））时割线方程，从而得

■一天〉/一天结合①即可得出结论.

(1)

解：/'(x)=(x+b+l)e*-a,

因为函数在(T/(-l))处的切线方程为(e-l)x+e)，+e-l=O,

所以=/(-l)=(^-l)^-«Uo,

.,.<7=1,。=1或a=Lb=2-e(舍)，

e

所以a=l,b=l；

(2)

①证明：由⑴可知f(x)=(x+l乂r(x)=(x+2)e'-l,

令g(x)=/'(x)=(x+2)e、—l,

则g〈x)=(x+3)e",令g'(x)=O,得x=-3,

所以函数g(x)在(9,-3)上递减，在(-3,抬)上递增，

所以g(x)向=g(-3),

即raL=r(—3)=—屋―i<o,

又xf+oo,r(x)->+co,x<-3,r(x)<o,

且r(o)=i>o,r(-i)=i-i<o,

e

.,.HxnG(-l,O),使得r(x°)=0,即(/+2)e*-l=0,即e"=-^,

当x<Xo时，r(x)<0,当X>x0时，r(x)>0，

所以函数/(x)在(Y»,%)上递减，在(%,木»)上递增，

所以〃x)mM=〃Xo)=(Xo+D(eJ)=(Xo+l)*7-11

=(%+1)=[(X()+2)T]=/।C)।12

-(/+2)-(%+2)-[(。)/+2上

1,0),/.4-2G(1,2),

令/?(X)=X+_,X£(1,2),

则”(x)=1--j>0,xe(l,2),

所以函数〃(x)在(1,2)上递增,

故

所以-(xo+2)+-l--2

工0+Z

即八%“>三,

.、1

..m>——；

2

②解：成立，理由如下:

当直线过(TO),(毛,〃/))时割线方程为尸一户?(x+l)=a,

得▼毛廿

当直线过(0,0),(荀,/(七))时割线方程为),=-()+?』,

%(%+2)

得寸”9

(%+1)

..J_&l>7+1=-----------------F1>2m+1

X