成果综合综合

第四复变第四复变函数的本章介绍复变函数的级数概念重点是Taylor级数、Laurent级数及其展1复数列的1复数列的2级数的3典型1.复数列的极n1.复数列的极nanibn(n1,2,L为一串复数，称{n为一复数列简称数设{n}为一数列，aib为一确定的复数若对任意给定0,相应地都能找到一个正数N(nNnn时，n以为极limn此时也称复数列{n}收敛于复数列{nn12,L收敛于liman复数列{nn12,L收敛于limanlimbnb那末对于任意给定的如果limn证能找到一个正整数N,当nN时有(anibn)(aib)a)i(bnb)analimanlimbn即limbn反之limaabblimbn反之limaabb那末当nN时nn22n(anibn)(a(ana)i(bnanabnblimn所下列数列是否收敛如果收敛求出其极限1ni(1)n1下列数列是否收敛如果收敛求出其极限1ni(1)n1i(2) (1)n;nn1n(3)zne.22.复数项级设{2.复数项级设{n{anbnn1,2,L)为一复数列n12LnLnnSnk12Lk则称级n收敛如果部分则称级n收敛如果部分和数{Sn收敛limSnS则称级n发散若部分和数{Sn}不收敛说明：与实数项级数相同,limSn例如,级数zn1 1z例如,级数zn1 1zz2Lzn-(zn1lim lim11z1时,由于n11z1时级数收敛级数n(an级数n(anibn收敛的充要条件是an和bn都收敛Sn12L证(a1a2Lan)i(b1b2Lbnnin根据Sn极限存在的充根据Sn极限存在的充要条件{n}和{n}的极限存在收敛的充要条件是an即和都收敛cn1n1发散n1n1发散因为an解n1收敛2n因为实数项级数an和bn收敛因为实数项级数an和bn收敛的必要条limanlimbn0和n收敛的必要条件所以复数项limnlimn0级数n发散limn判别级数的敛散性时nlimlimelimn判别级数的敛散性时nlimlimeein因例如:收敛n为绝对收敛如果如果收敛,那末n也收敛n成立22bannn2222b如果收敛,那末n也收敛n成立22bannn2222bbaaba,而nnnnnn及都收敛根据实数项级数的绝对收敛性ann及是收敛的也都收敛nnkk,根据实数项级数的绝对收敛性ann及是收敛的也都收敛nnkk,knnlimknkkkkk即.b由,nnnnnnnkb2知,kkkkkkb由,nnnnnnnkb2知,kkkkkkan与bn绝对收敛时n绝对收敛n绝对收an与bn绝对收敛1nin(1例n11nin(1)(cosisin因为(1解nnnn所以 (11nin(1例n11nin(1)(cosisin因为(1解nnnn所以 (11)cosπ(11)sinbnnnnnnliman1lim而i所以数列 (11)en收敛1nnn1i级是否收敛n1i解n1i1(1)n但n13n1i级是否收敛n1i解n1i1(1)n但n13n12121311n(1L)i(1n111虽(1)n因为级数收敛发散n1n原级数仍发.(8i)n级数是否绝对收例n8(8i)n(8i)n级数是否绝对收例n8(8i)nn!解收敛故原级数收敛且为绝对收敛例4级数[1in1因为例4级数[1in1因为也收敛解收敛n2n(1)n但为条件收敛n幂1幂级数的幂1幂级数的2幂级数的敛3幂级数的1.幂级数的概设fn(z1.幂级数的概设fn(z)}D上的复变函数列,fn(z)f1(z)f2(z)Lfn(z)Sn(z)f1(z)f2(z)Lfn(z)Dz0limSn(zDz0limSn(z0S(z0存在，称fnz)z0收敛且Sz0)为它的和z的一个函数SS(z)f1(z)f2(z)Lfn(z)当fn(z)cn1(z当fn(z)cn1(zfn(z) 时或c(za)c(za)c(za)2Lc(za)nnn012ncczcz2L或n012n2.幂级数的敛散znz2.幂级数的敛散znz(0收敛n0z如果在zz,级数必绝对收敛z因为级数czn收敛lim有 n有c zzznqcz,c则0n因为级数czn收敛lim有 n有c zzznqcz,c则0n nzz00czcLcznncn012n故级cnn绝对收敛对于一个幂级数其收敛半径的情况有三种级数1zz2LL对于一个幂级数其收敛半径的情况有三种级数1zz2LLx1则从某个n开始n212,x均收敛 z=0外都发散z=0外都发散1z22z2Lnnznz0时(3)既存在使级数发散的正实数z时,级数收敛;z时,级数发散.如图ycnn的收敛范围ycnn的收敛范围是以原点为中心的圆域R .. xc(zac(za)nnza为中心的圆域一般的结论要对具体级数进行具体分析n,, 2nn收敛半径R均为1,zn,, 2nn收敛半径R均为1,z2n在点z1发散在其它点都收敛nlim方法1（比值法如cnlim方法1（比值法如cnn在复平面内处处收敛RcnnRz0均发散R1(3)0方法2（根值法cnnR方法2（根值法cnnR在复平面内处处收敛cnnRz0均发散R1(3)0的收敛半径pn1因为 nnplim的收敛半径pn1因为 nnplimn1)pn(11)nn1R3.幂级数的性f(z)azn,Rrg(z)bz,Rrnn1n23.幂级数的性f(z)azn,Rrg(z)bz,Rrnn1n2b)znnbf(z)g(z)annnnf(z)g(z)(a)nnzbznn(anb0La0bn)znR(1,r2z其f(z)anznz时f(z)anznz时zzRg(z)rf[g(z)]an[g(z)]n时c(z则n0f(z)cn(zc(z则n0f(z)cn(zzaR在zaRf(z)ncn(za)n1.设C为zaR内的一条(可求长)f(z)dzcn(za)nzccf((z.a1zz2LznL例1求111 1zz2LznL例1求111 1zzL,(z解n1zlimsnlimznzz绝对收敛收敛半径为111zz2LL例(z3nn(1i)n(cosin)zn例(z3nn(1i)n(cosin)znlimn1,R解nn11Rlimcn3n3nn cosin1enn2c1elim故R.ec cosin1enn2c1elim故R.ecnn4cn(1limn2)n;limc(n12R221zcn(zn.1z解1zcn(zn.1z解1z1(za)(b111zbb11g(z)(zzb当1(za)(za)2L(za)nzb当1(za)(za)2L(za)n11zbbbb1111(za)(z故b(b(bz1L(za)n(bbzR时设1z.求级数(nlimlimn2解nn求级数(nlimlimn2解nnzzz(n1)z.n(n1)zn100z1(n.nz1(1(2n1)zn1的收敛半径与和函数52c12R.解cn112,z2z时1(2n1)zn1的收敛半径与和函数52c12R.解cn112,z2z时122nzz1121故(2n.(12z)(111问题的Taylor级数函数的1.问题的引f1.问题的引fxx0Ux0,)内具有直到n1阶的导数，则xUx0有f(x0)f(x0)(xx0)Lf(x)(n)(f) (xx0)Rn(nRnx)是余项，且Rnxoxx0)n(xx0ffxx0Ux0,)内有各阶导数fx)在Ux0)内能展开成Taylor级数Ux0)内，fx的Taylor公式Rnx0(n如果函数fz在区D内解析f(z)在内有任一阶导数f0z),f1(zLfnf0z),f1(zLfn(z),L在(可求长)滑曲线C上连续，fn(z)在C上收敛于f(z)fn(z)Mn且Mn存在Mnf(z)dzfn(z)dzfn(z)dzn1CCn f(z)dz(z)dz]f0kk1Cnf(z)n f(z)dz(z)dz]f0kk1Cnf(z)dzfk(z)dzfk(z)dzk1kn1Cfk(z)fk(z)kn1kn1MkdsLMk(nkn1k2.Taylor级数D内解析z0为Df(z)设d为z02.Taylor级数D内解析z0为Df(z)设d为z0到D的边界上各点的最短距离zd时当f(z)cn(zz0nd.1(n)cf)其中n0Dn0,1,fzD内解析记0fzD内解析记0Dz0为中心的任一圆周它与它的内部全包含D,K.dr.z0K0Df()d1f(z)2πf()d1f(z)2πiKK上zK的内部z所111则z01z(zz0)(zz1L()n00001(zz0)n(zz0)(zz1L()n00001(zz0)nn0(z0f(1Kf(z))n1(zz0n[(0f(1Kf(z))n1(zz0n(0f(1)n1d](zz0n[ 0K由高阶导数公式(n)f)f由高阶导数公式(n)f)f(z)(zz0n00rdf(zDKD)内解析f(K上也连续f(K上有界ff(zDKD)内解析f(K上也连续f(K上有界f()MKnf(f(z1(z(2π0000Mqn1nrzzzzrq是与积分变量无关的量且0qfzz0已被展开成幂f(z)fzz0已被展开成幂f(z)a(z)a(zL01n0200nf(z0)a0 f(z0)a11 f(n))即n0泰勒级数因而解析函数的泰勒级数唯一3.将函数展开成Taylor由Taylor3.将函数展开成Taylor由Taylor展开定理计算1 (n)),n0,1,fn0fzz0展开成幂级数z0的泰勒展开式例如，因为(ez)(n)ezz0的泰勒展开式例如，因为(ez)(n)ezz01,(n0,1,(ez)(L 1zzL因为ez在复平面内处处解析所以级数的收敛半径Rsinz与coszz0的泰勒展开式z2n1(2nsinzsinz与coszz0的泰勒展开式z2n1(2nsinzzLLn,(Rz2nLcosz1Ln,(R(代换等求函数的.sinzz0的Taylor展开式1eizsinz1sinzz0的Taylor展开式1eizsinz1(iz)n(iz)nz2n1(2n(1)n4.典型例 把函例展开成z的幂级4.典型例 把函例展开成z的幂级1z1上有一奇点z由解(1z1内处处解析z的幂级数可展开11zz2L(1)nznz1111z111z12z3z2L(1)n1zln(1zz0例ln(1zz0例泰勒展开式ln(1z在从1向左沿负实轴剪开平面内是解析的,1是它的一个奇点yxz1z的幂级数所以它1[ln(1z)]解11zz2L(1)nznL(1)n1[ln(1z)]解11zz2L(1)nznL(1)n(zCz10z的曲线1zzdz(1)n1z00nz2ln(1z)LnLz即231把函数f(z)例展开成z的幂级3z111解13z221[13z)L1把函数f(z)例展开成z的幂级3z111解13z221[13z)L L]2n22222n2nLz13z323n21,z,n122求arctanz在z0.zarctanz解,101(1)且n(z2)nz求arctanz在z0.zarctanz解,101(1)且n(z2)nz1zz(zarctanzn2n所)100z2n1(1),zn2n求cos2z的幂级因为cos2z1(1cos2z),例解2cos2z1(2z)2(2z)4(2z)6L求cos2z的幂级因为cos2z1(1cos2z),例解2cos2z1(2z)2(2z)4(2z)6L22446621 2Lzcos2z1(1cos2z)2234561 2 2Lze1在z0Taylor级数将例e1解e1在z0Taylor级数将例e1解z因1内进行展开所以收敛半径为z可eze令f(z) 1zf(z) 1z对fz(1z)f(z)zf(z)(1z)f(z)(1z(1z)f(z)(1z)f(z)f(z)(1z)f(z)(2z)f(z)LLf(01,f(00,f(01,f(0)所以fz)的Taylor级数111z21zz23附1)ez1zLznL(z11附1)ez1zLznL(z111zz2LznLzn(z111zz2L(1)nznL(1)nzn,(zz2n1z34)sinzLL,(zn((2n5)cosz1z2nL(1)(zn6)ln(15)cosz1z2nL(1)(zn6)ln(1z)zLn23(1)n(zn7)(1z)1z(1)(1)(2)L(1)L(n1)(zL,5.函数的零定f(5.函数的零定f(z)在区域D内的一点z0处的设解析函值为零，则称z0为解析函数f(z)的零点.若函数f(z)在点z0的某个邻域O(z0内解定f(z0；且除了点z0外，在O(z0)f(z)处处不为零，则称z0为f(z)孤立零点z0,z1f(z)z(z1)3的零点例定如果f(z)定如果f(z)在点z0的邻域内解析，且有f(z)(zz0)(z)m其中(z)在点z0解析，且(z00m则称z0f(z)m级零点，m1不恒为零的解析函数的零点必是孤事实上，设z0为f(z)m级零z0的一个邻域Oz0,1f(z)(zz0)(z)m其中z)在其中z)在点z0解析，且z0从而(z)在点z0必为连续.由例2.1可知存在z0的一个邻域O(z0 )，(z)恒不为零2f(z)在邻域O(z0)（min(1,2)）内z0f(z)的孤立零点.除z0外，再无零点，即:这是解析函数区别于实可微函数的又一特性.例如1xx2例如1xx2f(x)sinx,1x0fx)的零fx)可微，但nfx)的零点，且limxn所以x0是零点xn的极限点，不是孤立的.推论：f(z)在区推论：f(z)在区域D内解析znf(z)在D内的一列零点，且znz0z0Df(z)在D中必恒为零.解析函数的唯一性定理：设f(z)与g(z)在区域D内解析，{zn (n=1,2,…)是Dm≠n时，zmzn z0Dnfzngzn)，则zDf(z)g(z).解析函数的惟一解析函数的惟一性定理说明了解析函数一个非常重要的特性：在区域DDDmf(z在z0解析z0f(z)mmf(z在z0解析z0f(z)m)0,(n0,1,2,Lm)(n)(zff(m)(z00z0f(z)m证f(z)(zz0(z)设(z)在z0的Taylor级数展开为(z)c(z)c(zL01020c0(z0)0,从而f(z)在z0的Taylor级数展c0(z0)0,从而f(z)在z0的Taylor级数展开式)mf(z)c(zc(z(zL001020)0,(n0,1,2,Lm(n)(zf0(m)f)c0 例f(z)z3f(z例f(z)z3f(z)sinzf(1)3z2z13解z1知.f(0)cos1z0f(z的一级零点f(zz5(z21)2.z0是五级零点zi是二级零点§4.4Laurent级1§4.4Laurent级1234问题的级数函数的Laurent级数展典型例1问题的引c(za)c1问题的引c(za)cc(za)c(za)2nn012nfn(z)f1(z)f2(z)Lfn(z)fn(z)的：cn(zz0X(z)x(n)zny(n)x(n)*Y(z)X(z)H(z)cn(zz0n考虑双边幂级cn(zz0n考虑双边幂级cn(zz0ncn(zz0 c(zz 令(zz0nRR令(zz0nRR时,若(1)R1R2(2)R1R2两收敛域有公共部分zR2双边幂级数cn(zz0)n的收敛区域Rz双边幂级数cn(zz0)n的收敛区域RzR10200zR1z0z2Laurent级数展开定f(z在圆环域R1z2Laurent级数展开定f(z在圆环域R1zR2内处处解级f(z在D内可展开f(z)cn(zz0)nf(12πi( (n0,n0CC为圆环域内绕z0ff11df(z)证K111(z0)(z因ff11df(z)证K111(z0)(z因z1zz1000(zz1 0n0(z0n0z0f(112(z0(zf(112(z0(zz0nfn(z)Mn且Mn存在Mnf(z)dzfn(z)dzfn(z)dzn1CCf(1K1z0z11(z0)(z1f(1K1z0z11(z0)(z11zz(z01(zz 0(zzn1nz00f(11 1 Mnf(1nf(11 1 Mnf(1n1d(zz0？1(z0n1)n(z0f(f(11df(z)则12π2cc(f(f(11df(z)则12π2cc(z(zn0n0cn(zz0)ncn与c可用一个式子表示为f(1c(n0,1,znn1C0注f(z)f(z)的Laurent注f(z)f(z)的Laurentbf(z)(zn0bn(n2,3函数的Laurent展开f(1d(n3函数的Laurent展开f(1d(n0,1,cznn12πi0Ccn(zz0)nf(z)1f(z)在z0及z1都不解析z(1而在圆环域0z1及01f(z)在z0及z1都不解析z(1而在圆环域0z1及0z1内都解析0z1内1z11f(z)z(11111zz2LznL,z1f(z)1zz2LznLz(1z11内，在圆01f(z)z11内，在圆01f(z)z(1111(1z)(1z)2L(1z)n11(1z)11(1z)(1z)2(1z)n1f(z)f(z)4典型例fz)ez展成Laurent级数0z内例解1zLze14典型例fz)ez展成Laurent级数0z内例解1zLze121zL2zz2z1z11z1f(z)函在圆环域(z1)(z2)1z1f(z)函在圆环域(z1)(z2)1z3)2z1)0zf(z在这些区域内展成Laurent级数11f(z),解(1(21)0z1内z2z从y111zz2Lzn则ox121111221z 1Ly111zz2Lzn则ox121111221z 1L L2222121zfzL(1z 222413z7z2248y2在1z2内11z由2ox12z1z111111Lz1z1z12y2在1z2内11z由2ox12z1z111111L