中考数学十三个专题训练

中考数学十三个专题训练专题一函数的图象与性质1．(2024攀枝花)如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－eq\f(1,2)，且经过点(－2，0)，下列说法错误的是()图1A．bc＜0B．a＝bC．当x1＞x2≥－eq\f(1,2)时，y1＞y2D．不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是－2＜x＜eq\f(3,2)2．已知反比例函数y＝eq\f(ab,x)的图象如图2所示，则二次函数y＝ax2－2x和一次函数y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是()3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋2(a≠0)与y＝－ax2－2x(a≠0)的图象可能是()4．(2024遂宁)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图3所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a＋b＞m(am＋b)(m≠1)；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有()A．2个 B．3个 C．4个 D．5个图3图45．如图4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为(1，n)，与x轴的一个交点B(3，0)，与y轴的交点在(0，－3)和(0，－2)之间．下列结论中：①eq\f(ab,c)＞0；②－2＜b＜－eq\f(5,3)；③(a＋c)2－b2＝0；④2c－a＜2n.则正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．46AF＝BG＝CH.设线段DE的长为x(cm)，四边形EFGH的面积为y(cm2)，则能够反映y与x之间函数关系的大致图象是()专题二反比例函数的综合1．(2024温州)如图1，点A，B在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连接AE.若OE＝1，OC＝eq\f(2,3)OD，AC＝AE，则k的值为()A．2 B．eq\f(3\r(2),2) C．eq\f(9,4) D．2eq\r(2)2．(2024淄博)如图2，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M.已知AD∶OB＝2∶3，△AMD的面积为4.若反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象恰好经过点M，则k的值为()A．eq\f(27,5) B．eq\f(54,5) C．eq\f(58,5) D．123．(2024巴中)如图3，平行于y轴的直线与函数y1＝eq\f(k,x)(x＞0)和y2＝eq\f(2,x)(x＞0)的图象分别交于A，B两点，OA交双曲线y2＝eq\f(2,x)于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝__________.4．(2024黄石)如图4，A，B两点在反比例函数y＝－eq\f(3,x)(x＜0)的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是__________.5．以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点A.若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为__________.6．(2024内江改编)如图6，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝eq\f(k1,x)和y＝eq\f(k2,x)的图象上，若∠BCD＝60°，则eq\f(k1,k2)的值为__________.7．如图7，矩形OABC的顶点B在双曲线y＝eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)上，A，C两点分别在x轴、y轴的正半轴上，将矩形OABC绕点A顺时针旋转90°，得到矩形FADE，边DE，EF分别交此双曲线于M，N两点，连接MN，若OC＝2OA，△EMN的面积为1，则k＝__________.8．1)，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象经过点C，则k的值为__________.专题三多结论问题1．(2024黔西南州)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的结论是()A．①② B．①③ C．②③ D．①②③图1图22．延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE＋∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3.下列结论：①DE＝eq\f(1,2)BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2eq\r(5).其中正确结论的个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图3，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

图3图44．如图4，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0，x＞0)的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM，ON，MN.下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON的面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为(0，eq\r(2)＋1).其中正确的有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．(2024抚顺)如图5，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm，则下列四个结论：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE＋∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为(2eq\r(3)＋2)cm2.其中正确的是__________.(填写全部正确结论的序号)图5图66．(2024雅安)如图6，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N，交AB于点E，连接FN，EM.有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形；②DN2＝MC·NC；③△DNF为等边三角形；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的序号为__________.专题四几何图形的有关计算一、与三角形、四边形有关的计算类型1与三角形有关的计算1．(2024连云港)如图1，△ABC中，BD⊥AB，BD，AC相交于点D，AD＝eq\f(4,7)AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是()A．eq\f(3\r(3),14) B．eq\f(9\r(3),14) C．eq\f(3\r(3),7) D．eq\f(6\r(3),7)2．(2024绍兴)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝eq\f(1,4)，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则eq\f(CE,AD)的值为()A．eq\f(3,2) B．eq\r(3) C．eq\f(\r(15),2) D．23．如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，点E在边BC上，CE＝2BE，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为__________.4．(2024山西)如图4，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6eq\r(2)，则AB的长为__________.类型2与四边形有关的计算5．(2024哈尔滨)如图5，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥OB，垂足为F.若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为__________.图5图6图76．(2024海南)如图6，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EF.若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为()A．2 B．3 C．4 D．57．(2024河池)如图7，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是()A．2eq\r(2) B．eq\f(3\r(2),2) C．eq\f(4\r(2),3) D．eq\f(5\r(2),4)类型3与几何变换有关的计算8．如图8，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于__________.图8图99．AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是()A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.610．(2024广西)如图10，在矩形纸片ABCD中，AD∶AB＝eq\r(2)∶1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则eq\f(EF,AG)的值为()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(2,3) C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(5),3)11．(2024河南)如图11，▱OABC的顶点O(0，0)，A(1，2)，点C在x轴的正的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为()A．(2eq\r(3)，0) B．(2eq\r(5)，0)C．(2eq\r(3)＋1，0) D．(2eq\r(5)＋1，0)12．(2024自贡改编)如图12，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM∶MD＝1∶2.将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是__________.

13．将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N，M，则线段A′M的长为__________.14．(2024南京)如图14，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E.若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为__________.15．(2024盐城)如图15，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E，F分别是边BC，CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝__________时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．二、阴影部分面积的计算1．(2024德州)如图1，在矩形ABCD中，AB＝2eq\r(3)，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为()A．6eq\r(3)－eq\f(8π,3)B．4eq\r(3)－eq\f(2π,3)C．6eq\r(3)－eq\f(2π,3)D．6eq\r(6)－eq\f(8π,3)图1图2图32．(2024包头)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq\r(5)，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为()A．8－π B．4－π C．2－eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,4)

3．(2024自贡)如图3，直线y＝－2x＋2与坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝－x＋3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域(阴影部分)面积的最大值是()A．eq\f(2π,3) B．eq\f(π,2) C．eq\f(11π,16) D．eq\f(21π,32)4．(2024嘉峪关)如图4，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为__________dm2.图4图5图65．如图5，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝eq\f(1,2)AD，则图中阴影部分的面积为__________.6．如图6，一张扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为__________.7．如图7，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为__________.8．AB＝1，则图中阴影部分的面积为__________.9．(2024十堰)如图9，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心，BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是__________.专题五规律探究1．(2024十堰)将从1开头的连续奇数按如图1所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是()A．2025 B．2023 C．2021 D．20192．(2024玉林)观看下列树枝分杈的规律图(如图2)，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y9－Y4＝()A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×243．将相同的长方形卡片按如图3所示的方式摆放，每个长方形卡片的长为b，宽为a.依此类推，则当摆放9个长方形卡片时，实线部分的长为__________.(结果用含a，b的代数式表示)4．(2024扬州)将黑色圆点按如图4所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中全部能被3整除的数按从小到大的挨次重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为__________.5．如图5，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开头置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向放射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°.若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与AB边的碰撞次数是__________.6．(2024阜新)如图6，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在(0，2)，将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是()A．2020π B．1010π＋2020C．2021π D．1011π＋20207．(2024黔西南州)如图7，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，AB＝1，作正方形A1B1C1D1，使顶点A1，B1分别在OA，OB上，边C1D1在AB上；类似地，在Rt△OA1B1中，作正方形A2B2C2D2；在Rt△OA2B2中，作正方形A3B3C3D3……依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是__________.8．(2024齐齐哈尔改编)如图8，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为(1，1)，连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1，B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2，A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3，B2……依据如此规律进行下去，则OPn(n为正整数)的长为__________.专题六最值问题1．为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE＋EB的最小值是()A．eq\f(5\r(3),2) B．eq\f(5,2) C．eq\r(5) D．eq\r(3)图1图2图32．(2024攀枝花)如图2，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()A．2 B．eq\f(5,2) C．3 D．eq\r(10)3．(2024凉山州)如图3，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为eq\r(3)，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为__________.4．如图4，在矩形ABCD中，AB＝2eq\r(2)，AD＝4，点E是AB的中点，点F是直线BD上的一动点，将△BEF沿EF所在直线翻折，得到△B′EF，则B′C长度的最小值是__________.5．(2024聊城)如图5，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴、y轴上，B，D两点坐标分别为B(－4，6)，D(0，4)，线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________.(拓展)6.如图6，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点D是BC边上的一动点，则2AD＋DC的最小值是__________.7．(2024东营)如图7，抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝－eq\f(1,2)x＋2过B，C两点，连接AC.图7(1)求抛物线的解析式；(2)求证：△AOC∽△ACB；(3)点M(3，2)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD＋PM的最小值．

专题七方程(组)、不等式(组)、函数的实际应用1．课外活动中一些同学分组参与活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来削减2组，问这些同学共有多少人？2．(2024德阳)今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，便利更多的游客在园区内休息，景区管理委员会打算向某公司选购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．(1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区方案共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何支配购买方案最节省费用？最低费用是多少元？3．“一方有难，八方支援”．某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严峻的地区．具体运输状况如下：第一批其次批A种型号货车的辆数(单位：辆)12B种型号货车的辆数(单位：辆)35累计运输物资的吨数(单位：吨)2850备注：第一批、其次批每辆货车均满载(1)求A，B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？(2)该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？

4.(2024毕节)某中学方案暑假期间支配2名老师带领部分同学参与红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优待条件是：老师、同学都按八折收费；乙旅行社的优待条件是：两位老师全额收费，同学都按七五折收费．(1)设参与这次红色旅游的老师同学共有x名，y甲，y乙(单位：元)分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；(2)该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？5．(2024日照)某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原方案以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现打算降价销售．已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图1所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？图1

6．(2024鞍山)2024年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售．文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，打算实行适当的降价措施，经调查发觉：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件(销售单价不低于进价)，若设这款文化衫的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(件)．(1)求每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？

专题八与三角形、四边形有关的计算1.(2024长沙)如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．图12．过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F.(1)求证：∠ABF＝eq\f(1,2)∠BCD；(2)求证：△BCF是等腰三角形．图23．连接BE，DF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝__________°时，四边形BFDE是菱形．图34．(2024大庆)如图4，在▱ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点(靠近点A)，点F为线段CD的三等分点(靠近点C)，且CE⊥AB.将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG.(1)证明：四边形AECF为矩形；(2)求四边形AECG的面积．图45．如图5，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(b，b)，C(0，c)，其中a，b，c满足eq\r(a－4)＋(2b－a－c)2＋|b－c|＝0，点E，D分别为x轴和y轴上的动点，∠DBE＝45°.(1)若D为线段OC的中点，求点E的坐标；(2)当点E运动到x轴负半轴上，点D运动到y轴正半轴上时，摸索究CD，DE和AE之间的关系．图5备用图专题九阅读理解1．对于实数a，b，c，d，我们定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，例如：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(13,24))＝1×4－2×3＝－2.若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(23－x,1x))＞0，则x的取值范围是()A．x＞1B．x＜－1C．x＞3D．x＜－32．(2024巴中)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发觉了黄金分割，即：如图1，点P是线段AB上一点(AP＞BP)，若满足eq\f(BP,AP)＝eq\f(AP,AB)，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是()图1A．(20－x)2＝20x B．x2＝20(20－x)C．x(20－x)＝202 D．以上都不对3．(2024贺州)如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性(如x必定存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即转变元素的挨次，集合不变).若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N.已知集合A＝{1，0，a}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，|a|，\f(b,a)))，若A＝B，则b－a的值是()A．－1 B．0 C．1 D．24．(2024潍坊)记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{－1，1，2}＝－1，则函数y＝min{2x－1，x，4－x}的图象大致为()5．(2024资阳)如图2是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD.连接EG并延长交BC于点M.若AB＝eq\r(13)，EF＝1，则GM的长为()A．eq\f(2\r(2),5) B．eq\f(2\r(2),3) C．eq\f(3\r(2),4) D．eq\f(4\r(2),5)6．(2024兴安盟)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图3①所示的算筹图用我们现在所生疏的方程组表示出来，就是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝17，,x＋4y＝23，))类似的，图3②所示的算筹图用方程组表示出来，就是__________.7．(2024江西)上表(如图4所示)在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你依据杨辉三角的规律补全表中第四行空缺的数字是__________.8．定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，假如这两个三角形相像(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相像对角线”．(1)如图5①，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相像对角线”；(2)连接EG.若△EFG的面积为2eq\r(3)，求FH的长．①②图59．(2024东营)已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．(1)【猜想验证】如图6①，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是__________.(2)【探究证明】如图6②，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否照旧成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(3)【拓展延长】如图6③，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否照旧成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC，BD，OC之间的数量关系．①②③图6

专题十圆的综合题一、与圆的性质有关的综合1．如图1，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AB长为半径的⊙A交BC于点D，过点D的切线交AC于点E.(1)求证：ED＝EC；(2)若∠C＝30°，AB＝6，求ED的长．图12．(改编)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，经过点A的(1)求证：AD平分∠BAC；(2)求证：AD2＝AB·AF；(3)若BE＝8，sinB＝eq\f(5,13)，求AD的长．图2

3.(原创)如图3，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连接DE，点F是eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))的中点，连接AF，DF，DF交AB于点G.(1)求证：DB＝DE；(2)若DE＝4，cosF＝eq\f(2,3)，求eq\f(FG,AG)的值．图34．(2024广州)如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝eq\f(1,2)x＋4分别与x轴、y轴相交于A，B两点，点P(x，y)为直线l在其次象限上的点．(1)求A，B两点的坐标；(2)设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．图4

二、与切线的判定有关的综合1．(原创)如图1，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD＝45°，点O是AB上一点，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过点D，E.(1)求证：直线CD与⊙O相切；(2)若AB＝4，求AC的长．(思考：若第(2)问改为“若AB＝4，求⊙O的半径．”又该如何解答？)图12．如图2，在平面直角坐标系中，⊙P经过y轴上一点C，与x轴分别相交于A，B两点，连接BP并延长，分别交⊙P，y轴于点D，E，连接DC并延长交x轴于点F.若点F的坐标为(－1，0)，点D的坐标为(1，6).(1)求证：CD＝CF；(2)求证：⊙P与y轴相切；(3)若eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))上有一动点M，连接BM，过点A作AN⊥BM于点N，连接DN，求DN的最小值．图2

专题十一函数探究1．若一个函数的自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)（x≤－1），,|x－1|（x＞－1）))的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．(1)列表：x…－3－eq\f(5,2)－2－eq\f(3,2)－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)2eq\f(5,2)3…y…meq\f(4,5)1eq\f(4,3)2eq\f(3,2)1eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)n…其中，m＝__________，n＝__________.(2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1，请画出函数的图象．图1(3)争辩函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A(－6，y1)，B(－eq\f(7,2)，y2)，C(x1，eq\f(3,2))，D(x2，6)在函数图象上，则y1__________y2，x1__________x2；(填“＞”,“＝”或“＜”)②当函数值y＝1时，求自变量x的值．(4)若直线y＝x＋b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围为__________.

2．某学具制作小组在制作直角三角形和矩形学具时，运用数形结合思想探究两种学具的边长和面积或周长之间的数量关系．已知制作的矩形学具的一组邻边长为x，y，周长为6，由矩形的周长计算公式，可得2(x＋y)＝6，从而得到y与x的函数关系式是y＝－x＋3.制作的直角三角eq\f(1,2)xy＝2，从而得到y与x的函数关系式是y＝eq\f(4,x)，其反比例函数图象如图2所示．(1)在图2中的直角坐标系中直接画出y＝－x＋3的图象；(2)把直线y＝－x＋3向上平移a(a＞0)个单位长度后与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求此时a的值和公共点坐标．图2

3.如图3，Q是AB与弦AB所围成的图形的内部肯定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交AB于点C，连接AC.已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.小腾依据学习函数的阅历，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整．(1)依据下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请补充完整；x/cm0123456y1/cm5.624.673.76________2.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11(2)如图4，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，并画出函数y1的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为__________cm.图3图4

4．(2024长春)《九章算术》中记载，浮箭漏(图5)消灭于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位渐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下试验探究：【试验观看】试验小组通过观看，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x(小时)02468箭尺读数y(厘米)618304254【探究发觉】(1)①建立平面直角坐标系，如图6，横轴表示供水时间x(小时)，纵轴表示箭尺读数y(厘米)，描出以表格中数据为坐标的各点；②观看上述各点的分布规律，推断它们是否在同一条直线上，假如在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，假如不在同一条直线上，说明理由．图5图6【结论应用】(2)应用上述发觉的规律估算：①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？②假如本次试验记录的开头时间是上午800，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？(箭尺最大读数为100厘米)

专题十二几何类比拓展探究一、由图形变化引起的探究1．(1)如图1①，菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD∶GC∶EB的结果．(2)将图1①中的菱形AEGH绕点A旋转肯定角度，如图1②，求HD∶GC∶EB的结果．(3)把图1②中的菱形都换成矩形，如图1③，且AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，此时HD∶GC∶EB的结果与(2)中的结果相比有变化吗？若有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，请说明理由．①②③图12．(2024达州改编)某数学爱好小组在数学课外活动中，对多边形内两条相互垂直的线段做了如下探究：【观看与猜想】(1)如图2①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为__________；(2)如图2②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是边AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为__________；【类比探究】(3)如图2③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE·AB＝CF·AD；(4)在(3)的条件下，若AD＝4，AB＝5，BC＝8，当AD∶DF＝2时，直接写出AE的长．①②③备用图图2

二、由几何变换引起的探究1．(2024襄阳)在△ABC中，∠ACB＝90°，eq\f(AC,BC)＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE.(1)特例发觉如图1①，当m＝1，AE落在直线AC上时．①求证：∠DAC＝∠EBC；②填空：eq\f(CD,CE)的值为__________.(2)类比探究如图1②，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H.探究eq\f(CG,CE)的值(用含m的式子表示)，并写出探究过程．(3)拓展运用在(2)的条件下，当m＝eq\f(\r(2),2)，EB·EH＝6，求CG的长．①②图1

2.(2024日照)问题背景：如图2①，在矩形ABCD中，AB＝2eq\r(3)，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F.试验探究：(1)在一次数学活动中，小王同学将图2①中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2②所示，得到结论：①eq\f(AE,DF)＝__________；②直线AE与DF所夹锐角的度数为__________.(2)小王同学连续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图2③所示位置．请问探究(1)中的结论是否仍旧成立？并说明理由．拓展延长：在以上探究中，当△BEF旋转至D，E，F三点共线时，则△ADE的面积为__________.①②③备用图图2

三、由动点引起的探究1．(2024锦州)在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE.(1)如图1①，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE.(2)如图1②，当tanα＝eq\f(3,4)时．①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由．②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE＋EH的最小值；若不存在，请说明理由．①②备用图图1

专题十三函数背景综合题一、反比例函数综合题1．(2024鞍山)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在其次象限交于C，D(－6，2)两点，DE∥OC交x轴于点E，若eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,3).(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求四边形OCDE的面积．图12．PA⊥y轴连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点P的坐标为(6，3).①求点C，D的坐标；②求△PCD的面积．(2)在(1)的条件下，当PG平分∠CPD时，求点G的坐标．(3)如图3，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC，MD.当∠CMD＝90°时，求证：MG＝eq\f(1,2)CD.图2图3二、二次函数综合题(1)——与线段、角度有关的问题1．(2024桂林)如图1，已知抛物线y＝a(x－3)(x＋6)过点A(－1，5)和点B(－5，m)，与x轴的正半轴交于点C.(1)求a，m的值和点C的坐标．(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当eq\f(PB,PA)＝时，求点P的坐标．(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．图12．(2024泰安)如图2，二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P为其次象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D.(1)求二次函数的表达式．(2)连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．(3)请推断：是否有最大值，如有，恳求出有最大值时点P的坐标；如没有，请说明理由．图2三、二次函数综合题(2)——与面积有关的问题1．(2024雅安改编)如图1，已知二次函数y＝x2＋2bx－3b.(1)当该二次函数的图象经过点A(1，0)时，求该二次函数的表达式；(2)在(1)的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A动身在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B动身，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值．图12．(2024连云港)如图2，抛物线y＝mx2＋(m2＋3)x－(6m＋9)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知B(3，0).(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；(2)P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．图2四、二次函数综合题(3)——与相像、全等有关的问题1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝－eq\f(1,2)x2＋bx的图象过点A(4，0)，顶点为B，连接AB，BO.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D在线段BO上，OD＝2DB，点F在边OA上，点E在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，请直接写出全部点E的坐标．图12．(2024济宁)如A的抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D(0，3)，抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F.(1)求抛物线的解析式．(2)求证：OE⊥AB.(3)P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相像？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．图2五、二次函数综合题(4)——与特殊图形有关的问题1．如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式．(2)若点M为抛物线上一点，当△MBC是以BC为底的等腰三角形时，求点M的坐标．(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图12．(2024朝阳)如图2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3).(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．图2备用图答案专题一函数的图象与性质1．D2.C3.D4.A5.B6.A专题二反比例函数的综合1．B2.B3.84.65.－246.－eq\f(1,3)7.128.eq\f(9,4)专题三多结论问题1．D2.D3.C4.B5.①②④6.①②④专题四几何图形的有关计算一、与三角形、四边形有关的计算1．A2.D3.9eq\r(2)4.4eq\r(13)5.3eq\r(3)6.B7.B8.4或89．A10.A11.B12.eq\f(6\r(5),5)13.eq\f(8,5)14.eq\f(9,8)15.eq\f(7,8)或eq\f(4,3)二、阴影部分面积的计算1．A2.D3.A4.2π5.356.9eq\r(3)－3π7.2eq\r(3)8.eq\r(2)9.3π－6专题五规律探究1．B2.B3.2a＋18b4.12755.6746.D7.eq\f(1,3n)8.n2＋n专题六最值问题1．B2.A3.34.2eq\r(2)5.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，0))6.67．(1)解：把x＝0代入y＝－eq\f(1,2)x＋2，得y＝2，即C(0，2).把y＝0代入y＝－eq\f(1,2)x＋2，得x＝4，即B(4，0).把B(4，0)，C(0，2)分别代入y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－8＋4b＋c＝0，,c＝2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(3,2)，,c＝2.))∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2.(2)证明：令－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2＝0.解得x1＝－1，x2＝4.由(1)知点B的坐标为(4，0).∴点A的坐标为(－1，0).∴AO＝1，AB＝5.在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，∴AC＝eq\r(5).∴eq\f(AO,AC)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).∵eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(AO,AC)＝eq\f(AC,AB).又∠OAC＝∠CAB，∴△AOC∽△ACB.(3)解：设点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－\f(1,2)x2＋\f(3,2)x＋2))，则点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－\f(1,2)x＋2)).∴DE＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋2))＝－eq\f(1,2)(x－2)2＋2.∵－eq\f(1,2)＜0，∴当x＝2时，线段DE的长度最大．此时，点D的坐标为(2，3).∵C(0，2)，M(3，2)，∴点C和点M关于对称轴x＝eq\f(3,2)对称．如答图1，连接CD交对称轴于点P，此时PD＋PM最小，且最小值为CD的长，连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为(2，2).答图1∴CD＝eq\r(CF2＋DF2)＝eq\r(5).∴PD＋PM的最小值为eq\r(5).专题七方程(组)、不等式(组)、函数的实际应用1．解：设这些同学共有x人．依据题意，得eq\f(x,6)－eq\f(x,8)＝2.解得x＝48.答：这些同学共有48人．2．解：(1)设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元．依据题意，得eq\f(8000,x)＝eq\f(4800,0.75x)＋10.解得x＝160.经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意．∴0.75x＝120.答：弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元．(2)设购进弧形椅m张，则购进条形椅(300－m)张．依据题意，得5m＋3(300－m)≥1200.解得m≥150.设购买休闲椅所需的费用为W元．则W＝160m＋120(300－m)＝40m＋36000.∵40＞0，∴W随m的增大而增大．∴当m＝150时，W有最小值，W最小＝40×150＋36000＝42000.∴300－m＝300－150＝150.答：购进150张弧形椅、150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元．3．解：(1)设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资．依据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝28，,2x＋5y＝50.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝6.))答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．(2)设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．依据题意，得10×3＋6m≥62.4.解得m≥5.4.∵m为正整数，∴m的最小值为6.答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．4．解：(1)y甲＝0.8×1000x＝800x，y乙＝2×1000＋0.75×1000(x－2)＝750x＋500.(2)①y甲＜y乙，即800x＜750x＋500.解得x＜10.②y甲＝y乙，即800x＝750x＋500.解得x＝10.③y甲＞y乙，即800x＞750x＋500.解得x＞10.答：当老师、同学总人数超过10人时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少；当老师、同学总人数为10人时，选择甲、乙两家旅行社支付的旅游费用相同；当老师、同学总人数少于10人时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少．5．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.将点(1，110)，(3，130)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(110＝k＋b，,130＝3k＋b.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝10，,b＝100.))∴y与x之间的函数关系式为y＝10x＋100.(2)由题意，得(10x＋100)(55－x－35)＝1760.即x2－10x－24＝0.解得x1＝12，x2＝－2(舍去)．∴55－x＝43.答：这种消毒液每桶实际售价43元．6．解：(1)依据题意，得y＝20＋2(70－x)＝－2x＋160.∴每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y＝－2x＋160(x≥30).(2)设销售这款文化衫每天所获得的利润为w元．依据题意，得w＝(x－30－2)y＝(x－32)(－2x＋160)＝－2x2＋224x－5120＝－2(x－56)2＋1152.∵－2＜0，∴当x＝56时，w取得最大值，且最大值为1152.答：当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．专题八与三角形、四边形有关的计算1．(1)证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.∴∠B＝∠ACB.(2)解：在Rt△ADB中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(52－42)＝3，∴CD＝BD＝3.由(1)知AB＝AC，∴CE＝AC＝AB＝5.∴BE＝2BD＋CE＝2×3＋5＝11，DE＝CD＋CE＝3＋5＝8.在Rt△ADE中，AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)，∴C△ABE＝AB＋BE＋AE＝5＋11＋4eq\r(5)＝16＋4eq\r(5)，S△ABE＝eq\f(1,2)BE·AD＝eq\f(1,2)×11×4＝22.2．证明：(1)如答图1，过点C作CG⊥AB于点G.答图1∴∠DCG＋∠CDG＝90°.∵BC＝DC，∴∠BCG＝∠DCG＝eq\f(1,2)∠BCD.∵BF⊥CD于点E，∴∠ABF＋∠CDG＝90°.∴∠ABF＝∠DCG＝eq\f(1,2)∠BCD.(2)∵∠A＝45°，CG⊥AB，∴∠ACG＝45°.∵∠ACB＝∠ACG＋∠BCG，∠BFC＝∠A＋∠ABF，∴∠ACB＝45°＋∠BCG，∠BFC＝45°＋∠ABF.∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，∴∠ACB＝∠BFC.∴BC＝BF.∴△BCF是等腰三角形．3．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD.∴∠1＝∠DCF.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,∠1＝∠DCF，,AB＝CD，))∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)解：10.【提示】∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.∵AE＝CF，AD＝BC，∴BF＝DE.∴四边形BFDE是平行四边形．∵∠1＝30°，∠2＝20°，∴∠ABD＝∠1－∠2＝10°.若四边形BFDE是菱形，则EB＝ED.∴∠DBE＝∠2＝20°.∴∠ABE＝∠DBE－∠ABD＝10°.4．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵点E为线段AB的三等分点(靠近点A)，∴AE＝eq\f(1,3)AB.∵点F为线段CD的三等分点(靠近点C)，∴CF＝eq\f(1,3)CD.∴AE＝CF.又AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．∵CE⊥AB，∴四边形AECF为矩形．(2)解：∵AB＝3，∴AE＝CF＝1，BE＝2.∵将△BCE沿CE对折得到△B′CE，∴B′E＝BE＝2.∴AB′＝1.∵DG＝DC＝3，∴∠DGC＝∠DCG.∵BB′∥CD，∴∠DCG＝∠B′.∴∠B′＝∠DGC＝∠AGB′.∴AG＝AB′＝1.∴B′C＝BC＝AD＝4.∵AB′∥CD，∴eq\f(B′G,CG)＝eq\f(AG,DG).∴eq\f(B′G,4－B′G)＝eq\f(1,3).∴B′G＝1.∴AB′＝AG＝B′G.∴△AGB′是等边三角形．在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝2，∴EC＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).∴S四边形AECG＝S△EB′C－S△AB′G＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)－eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(7\r(3),4).5．解：(1)∵eq\r(a－4)＋(2b－a－c)2＋|b－c|＝0，∴a＝4，b＝4，c＝4.∴A(4，0)，B(4，4)，C(0，4).∴OA＝OC＝BC＝AB＝4.∴四边形OABC是正方形．∵D为线段OC的中点，∴CD＝DO＝2.如答图2，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，则△BCD≌△BAH.答图2∴BD＝BH，∠CBD＝∠ABH，AH＝CD＝2.∵∠DBE＝45°，∴∠CBD＋∠EBA＝45°.∴∠HBE＝∠ABH＋∠EBA＝45°＝∠DBE.在△DBE和△HBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝BH，,∠DBE＝∠HBE，,BE＝BE，))∴△DBE≌△HBE(SAS).∴DE＝EH.∵OH＝OA＋AH＝4＋2＝6，∴DE＝EH＝6－OE.在Rt△DOE中，DE2＝OD2＋OE2，即(6－OE)2＝22＋OE2.∴OE＝eq\f(8,3).∴点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，0)).(2)如答图3，点E在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAF，则△BCD≌△BAF，∠DBF＝90°.答图3∴BD＝BF，∠CBD＝∠FBA，CD＝AF.∵∠DBE＝45°，∴∠FBE＝∠DBF－∠DBE＝45°.在△DBE和△FBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝BF，,∠DBE＝∠FBE，,BE＝BE，,))∴△DBE≌△FBE(SAS).∴DE＝EF.∴AE＝AF＋EF＝CD＋DE.专题九阅读理解1．A2.A3.C4.B5.D6.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝12，,4x＋3y＝26))7.38．(1)证明：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝40°.∴∠A＋∠ADB＝140°.∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°.∴∠A＝∠BDC.∴△ABD∽△DBC.∴BD是四边形ABCD的“相像对角线”．(2)解：如答图1，过点E作EQ⊥FG于点Q.答图1∵FH是四边形EFGH的“相像对角线”，∴△EFH与△HFG相像．又∠EFH＝∠HFG，∴△FEH∽△FHG.∴eq\f(FE,FH)＝eq\f(FH,FG).∴FH2＝FE·FG.∵∠EFH＝∠HFG＝30°，∴∠EFQ＝60°.∴EQ＝FE·sin60°＝eq\f(\r(3),2)FE.∵△EFG的面积为2eq\r(3)，∴eq\f(1,2)FG·EQ＝2eq\r(3).∴eq\f(1,2)FG×eq\f(\r(3),2)FE＝2eq\r(3).∴FG·FE＝8.∴FH2＝FE·FG＝8.∴FH＝2eq\r(2).9．解：(1)OC＝OD.(2)数量关系照旧成立．证明：如答图2，过点O作直线EF∥CD，交BD于点F，交AC的延长线于点E.答图2∵EF∥CD，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠DCE＝∠CEO＝∠CDF＝90°.∴四边形CEFD为矩形．∴∠OFD＝90°，CE＝DF.由(1)知OE＝OF.在△COE与△DOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝DF，,∠CEO＝∠DFO，,OE＝OF，))∴△COE≌△DOF(SAS).∴OC＝OD.(3)①数量关系照旧成立．证明：如答图3，延长CO交DB的延长线于点M.答图3∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD.∴∠ACO＝∠M.∵点O为AB的中点，∴AO＝BO.又∠AOC＝∠BOM，∴△AOC≌△BOM(AAS).∴OC＝OM.∵∠CDM＝90°，∴OC＝OD.②AC＋BD＝eq\r(3)OC.专题十圆的综合题一、与圆的性质有关的综合1．(1)证明：如答图1，连接AD.答图1∵DE是⊙A的切线，∴AD⊥DE.∴∠ADE＝90°.∴∠ADB＋∠EDC＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°.∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB.∴∠EDC＝∠C.∴ED＝EC.(2)解：∵∠C＝30°，∴∠B＝60°.∵AB＝AD＝6，∴△ABD为等边三角形．∴∠BAD＝60°.∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD＝30°.∴ED＝AD·tan∠DAE＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3).2．(1)证明：如答图2，连接OD.答图2∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵BC是⊙O的切线，∴∠ODB＝90°＝∠C.∴OD∥AC.∴∠ODA＝∠CAD.∴∠OAD＝∠CAD.∴AD平分∠BAC.(2)证明：如答图3，连接DF，EF.答图3∵AE是⊙O的直径，∴∠AFE＝90°＝∠C.∴EF∥BC.∴∠B＝∠AEF.∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF.由(1)知∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF.∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AD,AF).∴AD2＝AB·AF.(3)解：由(1)知∠ODB＝90°.设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R.∵BE＝8，∴OB＝BE＋OE＝8＋R.在Rt△BDO中，sinB＝eq\f(OD,OB)＝eq\f(5,13)，∴eq\f(R,8＋R)＝eq\f(5,13).∴R＝5.∴AE＝2OE＝10，AB＝BE＋2OE＝18.由(2)知∠AEF＝∠B，∠AFE＝90°，∴sin∠AEF＝sinB＝eq\f(5,13).在Rt△AFE中，sin∠AEF＝eq\f(AF,AE)＝eq\f(5,13)，∴AF＝AE·sin∠AEF＝10×eq\f(5,13)＝eq\f(50,13).由(2)知AD2＝AB·AF，∴AD＝eq\r(18×\f(50,13))＝eq\f(30\r(13),13).3．(1)证明：如答图4，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.又AB＝AC，∴DB＝DC，∠B＝∠C.由题意知，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠B＝∠CED.∴∠C＝∠CED.∴DC＝DE.∴DB＝DE.答图4(2)解：如答图4，连接OF.∵∠B＝∠DFA，cos∠DFA＝eq\f(2,3)，∴cosB＝eq\f(2,3).在Rt△ABD中，DB＝DE＝4，cosB＝eq\f(2,3)，∴AB＝eq\f(DB,cosB)＝6.∴DA＝eq\r(AB2－DB2)＝2eq\r(5)，OA＝OF＝eq\f(1,2)AB＝3.∵点F是eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的中点，∴eq\o\ac(FA,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(BF,\s\up10(︵)).∴∠AOF＝∠BOF＝90°.∴FA＝eq\r(OA2＋OF2)＝3eq\r(2).∵eq\o\ac(AF,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(BF,\s\up10(︵))，∴∠ADF＝∠FAG.又∠AFD＝∠GFA，∴△AFD∽△GFA.∴eq\f(AF,GF)＝eq\f(AD,GA).∴eq\f(FG,AG)＝eq\f(FA,DA)＝eq\f(3\r(2),2\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).4．解：(1)在直线y＝eq\f(1,2)x＋4中，令y＝0，得0＝eq\f(1,2)x＋4.解得x＝－8；令x＝0，得y＝4.∴A(－8，0)，B(0，4).(2)∵点P(x，y)为直线l在其次象限上的点，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x＋4))(－8<x<0).∴S＝eq\f(1,2)OA·yP＝eq\f(1,2)×8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋4))＝2x＋16(－8＜x＜0).∴S关于x的函数解析式为S＝2x＋16，x的取值范围为－8＜x＜0.(3)∵A(－8，0)，B(0，4)，∴OA＝8，OB＝4.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).∵PQ是⊙C的直径，∴∠POQ＝90°＝∠BOA.又∠Q＝∠BAO，∴△BAO∽△PQO.∴eq\f(OA,OB)＝eq\f(OQ,OP)＝2.∴OQ＝2OP.∴S△POQ＝eq\f(1,2)OP·OQ＝eq\f(1,2)OP·2OP＝OP2.∴当S△POQ最小时，OP最小．∵点P在线段AB上运动，∴当OP⊥AB时，OP最小，此时S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB＝eq\f(1,2)AB·OP.∴OP＝eq\f(OA·OB,AB)＝eq\f(8×4,4\r(5))＝eq\f(8\r(5),5).又△BAO∽△PQO，∴eq\f(OP,OB)＝eq\f(PQ,BA)，即eq\f(\f(8\r(5),5),4)＝eq\f(PQ,4\r(5)).∴PQ＝8.∴当△POQ的面积最小时，⊙C的半径为4.二、与切线的判定有关的综合1．(1)证明：如答图1，连接OD.答图1∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA＝45°.∴∠AOD＝180°－∠BAD－∠ODA＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠CDO＝∠AOD＝90°.∴OD⊥CD.∵OD为⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切．(2)解：∵∠AOD＝90°，∴∠AED＝eq\f(1,2)∠AOD＝45°.∴∠CED＝135°.∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠CDA＝180°.∴∠CDA＝135°.∴∠CED＝∠CDA.又∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD.∴eq\f(CE,CD)＝eq\f(CD,CA).∴CD2＝CE·AC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE＝eq\f(1,2)AC，AB＝CD＝4.∴42＝eq\f(1,2)AC2.∴AC＝4eq\r(2).(思考：如答图2，连接OE.答图2∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝DE.∵∠BOD＝90°，∴OE＝eq\f(1,2)BD＝DE.又OD＝OE，∴OD＝OE＝DE.∴△ODE是等边三角形．∴∠ODE＝60°.设⊙O的半径为r.在Rt△BOD中，∠ODB＝60°，∴OB＝OD·tan60°＝eq\r(3)r.∴AB＝OA＋OB＝r＋eq\r(3)r＝4.∴r＝2eq\r(3)－2.∴⊙O的半径为2eq\r(3)－2.)2．(1)证明：如答图3，过点D作DH⊥y轴于点H.∴∠DHC＝90°