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文档简介

1.2.2

空间中的平面与空间向量

第2课时新授课1.理解三垂线定理及其逆定理，会用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题.问题：过平面外一点，能做几条直线与平面垂直？有且只有一条.αA′Al

已知空间中的平面α以及点A，过A作α的垂线l，设l与α相交于点A',则A'就是点A在平面α内的射影(也称为投影).知识点一：三垂线定理及其逆定理

空间中，图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影.

思考：已知AB是平面α的一条斜线且B为斜足（即AB不垂直于α，且AB∩α=B)，设其中A'是A在平面α内的射影，而l是平面α内的一条直线，如图所示.判断下列命题是否成立，并用空间向量证明：(1)当l⊥A′B时，l⊥AB；(2)当l⊥AB时，l⊥A′B.

(2)当l⊥AB时，l⊥A′B.

三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.归纳总结

例1

如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体，求证：A1D⊥BD1.证明连接AD1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴AB⊥面ADD1A1，∴BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1.又∵ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，∴根据三垂线定理可知A1D⊥BD1.

例2如图所示的三棱锥O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为△CAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB.证明∵CO⊥OA，CO⊥OB，OA∩OB=O，∴CO⊥面OAB.∵CD在平面OAB内的射影为OD，又∵CD⊥AB，∴根据三垂线定理的逆定理可知OD⊥AB.归纳总结应用三垂线定理或其逆定理解题的思路：确定平面及平面垂线确定平面的斜线及斜线的射影在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直一定平面二找垂线三证垂直

如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD.证明∵PA⊥正方形ABCD所在平面，则PC，PO在平面ABCD内的射影为AC，AO，又AC⊥BD，AO⊥BD，由三垂线定理得，

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