用空间向量研究直线、平面的位置关系+第1课时 高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时1.能用向量语言描述点、直线和平面2.掌握平面法向量的求法平面向量空间向量代数运算推广建系问题：空间向量解决了哪些几何问题？距离问题夹角问题平行、垂直问题点、线、面是空间的基本图形，点、线段、平面图形是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量研究立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、线、面.知识点：空间中点、直线和平面的向量表示几何中点线面向量中？？？

在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用

来表示，我们把

称为点P的位置向量.思考1：如何用向量表示空间中的一个点？定点OPp向量的坐标起点的坐标终点的坐标

a是直线l的方向向量，在直线l上取设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知：思考2：如何用向量表示空间中的直线？P几何中向量中aAB一个点一个方向+点P在直线l上充要条件存在实数t，使得即点方向向量+进一步地，取定空间中的任意一点O，PaAB可以得到：P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①或②O①②式称为空间直线l的向量表示.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.α思考3：两条相交直线确定一个平面，一个定点和两个定方向能确定一个平面？PabBCAO点A与向量a,b不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.充要条件存在实数x,y，使得点P位于平面ABC内空间平面ABC的向量表达式α思考4：一个定点和一个定方向能确定一个平面？直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.可以表示为集合平面α过点A，且l⊥α⇒α是唯一的空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定lAPa如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量b,b与a有什么关系？分析:(1)平面BCC1B1与y轴垂直,其法向量可以直接写出;(2)平面MCA1可以看成由

中的两个向量所确定,运用法向量与它们的垂直关系,可转化为数量积运算求得法向量.例1:已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.（1）求平面BCC1B1的一个法向量．（2）求平面MCA1的一个法向量．解：(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.例1:已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.（1）求平面BCC1B1的一个法向量．（2）求平面MCA1的一个法向量．所以设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.所以（2）求平面MCA1的一个法向量．(2)因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点，所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此归纳总结求解平面法向量的一般步骤：（1）根据立体几何中线面垂直的判定定理得到法向量；（2）根据向量运算的坐标表示得到两个三元