用余弦定理、正弦定理解三角形+第2课时 高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.6.1.3用余弦定理、正弦定理解三角形

第2课时新授课有这样一个问题:遥不可及的月球离地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？1.能够运用余弦定理、正弦定理解决与长度、高度、距离有关的实际问题.例1

自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°(指车厢AC与水平线之间的夹角)，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长(精确到0.01m)．分析：（1）什么是最大仰角？

（2）题目中涉及一个怎样的三角形？B由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC

＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40×cos66°20′

≈3.571，解：如图，在△ABC中，AB＝1.95m，AC＝1.40m，∠BAC＝66°20′，B∴BC≈1.89(m)，因此顶杆BC长约1.89m.运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤归纳总结（1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与未知量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.例2

如图，C，D两点相距12m，与烟囱底部A在同一水平线上，利用高为1.5m测角仪器，测得烟囱在点C1，D1的仰角分别是α＝45°，β＝60°.计算烟囱的高AB(精确到0.01m).解：如图，C1D1＝CD＝12，在△BC1D1中，∠BD1C1＝180°－β＝120°，∠C1BD1＝β－α＝15°，由正弦定理得(m)，∴AB＝A1B＋AA1≈28.392+1.5＝29.892≈29.89(m)，因此烟囱的高约为29.89m.例2

如图，C，D两点相距12m，与烟囱底部A在同一水平线上，利用高为1.5m测角仪器，测得烟囱在点C1，D1的仰角分别是α＝45°，β＝60°.计算烟囱的高AB(精确到0.01m).在△BC1A1中，(m)，例3

如图，直线a表示海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方20km处和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，检测点A，C分别在8s和20s后相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.（1）设PA＝xkm，用x分别表示PB，PC，并求x的值;（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离.(精确到0.01km)解：（1）依题意有PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km)，在△PAB中，AB＝20km，因此PB＝(x－12)km，PC＝(18＋x)km.同理：在△PAC中，解得：（2）如图，过点P作a的垂线，垂足为D，D在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝因此静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km.1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝