福建省莆田市七中2024届高一数学第二学期期末监测试题含解析

福建省莆田市七中2024届高一数学第二学期期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．过点且与直线垂直的直线方程是（）A． B． C． D．2．已知中，，，点是的中点，是边上一点，则的最小值是（）A． B． C． D．3．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．4．的值等于（）A． B． C． D．5．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）A． B．C． D．6．直线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（）A． B． C． D．8．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B．C． D．9．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A． B．C． D．10．直线倾斜角的范围是（）A．（0，] B．[0，] C．[0，π） D．[0，π]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.12．已知向量，且，则_______．13．若，且，则的最小值是______.14．已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．15．如图，在边长为的菱形中，，为中点，则______.16．已知等比数列、、、满足，，，则的取值范围为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数f(1)求fx(2)若fx<m+2在x∈0,18．已知数列满足，.（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19．求函数的最大值20．在中，内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.21．在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．（1）求cos∠C的值；（2）求△ABC的面积．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

由已知直线方程求得直线的斜率，再根据两直线垂直，得到所求直线的斜率，最后用点斜式写出所求直线的方程.【题目详解】已知直线的斜率为：因为两直线垂直所以所求直线的斜率为又所求直线过点所以所求直线方程为：即：故选：D【题目点拨】本题主要考查了直线与直线的位置关系及直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2、B【解题分析】

通过建系以及数量积的坐标运算，从而转化为函数的最值问题．【题目详解】根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，．设，则，是边上一点，当时，取得最小值，故选．【题目点拨】本题主要考察解析法在向量中的应用，将平面向量的数量积转化成了函数的最值问题．3、A【解题分析】

当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔m＜（x）min，利用基本不等式可求得（x）min＝6，从而可得实数m的取值范围．【题目详解】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔当x＞0时，不等式m＜x恒成立⇔m＜（x）min，当x＞0时，x26（当且仅当x＝3时取“＝”），因此（x）min＝6，所以m＜6，故选A．【题目点拨】本题考查函数恒成立问题，分离参数m是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．4、C【解题分析】

根据特殊角的三角函数值，得到答案.【题目详解】.故选C项.【题目点拨】本题考查特殊角的三角函数值，属于简单题.5、A【解题分析】

求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【题目详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A．考点：三角函数的性质.6、D【解题分析】

由直线方程得到直线斜率，进而得到其倾斜角.【题目详解】因直线方程为，所以直线的斜率，故其倾斜角为150°.故选D【题目点拨】本题主要考查求直线的倾斜角，熟记定义即可，属于基础题型.7、A【解题分析】

由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解.【题目详解】因为且，根据向量加法的平行四边形运算法则，所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），因为在中，，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，，所以.设的内切圆的半径为，所以所以.所以.所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.故选：A【题目点拨】本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理，余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.8、C【解题分析】

画出长方体,将平移至,则,则即为异面直线与所成角,由余弦定理即可求解.【题目详解】根据题意,画出长方体如下图所示:将平移至,则即为异面直线与所成角,,由余弦定理可得故选:C【题目点拨】本题考查了长方体中异面直线的夹角求法,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.9、B【解题分析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.10、C【解题分析】试题分析：根据直线倾斜角的定义判断即可．解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

设球的半径为r,则,，，所以，故答案为.考点：圆柱，圆锥，球的体积公式.点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为.12、【解题分析】

先由向量共线，求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.【题目详解】因为，且，所以，解得，所以，因此.故答案为【题目点拨】本题主要考查求向量的模，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于基础题型.13、8【解题分析】

利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.【题目详解】因为（即取等号），所以最小值为.【题目点拨】已知，求解（）的最小值的处理方法：利用，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.14、4【解题分析】

由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.【题目详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．故答案为4【题目点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．15、【解题分析】

选取为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可.【题目详解】因为,,，又，.【题目点拨】本题主要考查了向量的加法减法运算，向量的数量积，属于中档题.16、【解题分析】

设等比数列、、、的公比为，由和计算出的取值范围，再由可得出的取值范围.【题目详解】设等比数列、、、的公比为，，，，所以，，，.所以，，故答案为：.【题目点拨】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）kπ-5π12【解题分析】

(1)注意到,f=-(sin2x+3cos2x)+1于是,fx的最小正周期T=由2kπ-π故fx的单调递减区间为kπ-(2)由x∈0,π6于是,当sin2x+π3=32时,要使fx<m+2恒成立,只需fxmax<m+2故m的取值范围是(-1-318、（1）；（2）【解题分析】

（1）由知：，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）bn=|11﹣2n|，设数列{11﹣2n}的前n项和为Tn，则．当n≤5时，Sn=Tn；当n≥6时，Sn=2S5﹣Tn．【题目详解】（1）证明：由知，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.则，.（2），设数列前项和为，则，当时，；当时，；所以.【题目点拨】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、最大值为5【解题分析】

本题首先可以根据同角三角函数关系以及配方将函数化简为，然后根据即可得出函数的最大值．【题目详解】，因为，所以当时，即，函数最大，令，，故最大值为．【题目点拨】本题考查同角三角函数关系以及一元二次函数的相关性质，考查的公式为，考查计算能力，体现了综合性，是中档题．20、（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【解题分析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值为，的值为.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21、（1）（2）【解题分析】

（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cosC的值．（2）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【