2024届广东省江门市新会区梁启超纪念中学数学高一第二学期期末调研试题含解析

2024届广东省江门市新会区梁启超纪念中学数学高一第二学期期末调研试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量=(3，4)，=(2，1)，则向量与夹角的余弦值为()A． B． C． D．2．某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（）A．41 B．42 C．43 D．443．向量，若，则的值是（）A． B． C． D．4．“”是“、、”成等比数列的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要5．已知，，那么等于（）A． B． C． D．6．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．87．函数的单调增区间是()A． B．C． D．8．设函数是上的偶函数，且在上单调递减．若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．9．下列三角方程的解集错误的是（）A．方程的解集是B．方程的解集是C．方程的解集是D．方程（是锐角）的解集是10．如图所示：在正方体中，设直线与平面所成角为，二面角的大小为，则为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．读程序，完成下列题目：程序如图：（1）若执行程序时，没有执行语句，则输入的的范围是_______；（2）若执行结果，输入的的值可能是___．12．设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是______．(1)若，，，则；(2)若，，，则；(3)若，，，，则；(4)若，，,则．13．已知，则______；的最小值为______.14．若数列满足，且，则___________.15．设，用，表示所有形如的正整数集合，其中且，为集合中的所有元素之和，则的通项公式为_______16．已知函数，（常数、），若当且仅当时，函数取得最大值1，则实数的数值为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，三棱柱的侧面是边长为的菱形，，且.(1)求证:；(2)若，当二面角为直二面角时，求三棱锥的体积.18．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付元，没有奖金；第二种，每天的底薪元，另有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多元；第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的倍.（1）工作天，记三种付费方式薪酬总金额依次为、、，写出、、关于的表达式；（2）该学生在暑假期间共工作天，他会选择哪种付酬方式？19．设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,（Ⅰ）求B的大小;（Ⅱ）若,求的取值范围.20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，.（1）若，且，求向量；（2）若向量与向量共线，常数，求的值域.21．设的内角为所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由向量的夹角公式计算．【题目详解】由已知，，．∴．故选A．【题目点拨】本题考查平面向量的数量积，掌握数量积公式是解题基础．2、A【解题分析】

由系统抽样．先确定分组间隔，然后编号成等差数列来求所抽取号码．【题目详解】由题知分组间隔为以，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为.故选：A.【题目点拨】本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念与方法是解题基础．3、C【解题分析】

由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．【题目详解】向量=（-4，5），=（λ，1），则-=（-4-λ，4），又（-）∥，所以-4-λ-4λ=0，解得λ=-．故选C．【题目点拨】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．4、B【解题分析】

利用充分必要条件直接推理即可【题目详解】若“、、”成等比数列，则；成立反之，若“”，如果a=b=G=0则、、”不成等比数列，故选B．【题目点拨】本题考查充分必要条件的判定，熟记等比数列的性质是关键，是基础题5、B【解题分析】

首先求出题中，，之间的关系，然后利用正切的和角公式求解即可.【题目详解】由题知，，所以.故选：B.【题目点拨】本题考查了正切的和角公式，属于基础题.6、A【解题分析】，选A.7、D【解题分析】

化简函数可得y＝2sin（2x），把“2x”作为一个整体，再根据正弦函数的单调增区间，求出x的范围，即是所求函数的增区间．【题目详解】，由2kπ≤2x2kπ得，kπx≤kπ（k∈z），∴函数的单调增区间是[kπ，kπ]（k∈z），故选D．【题目点拨】本题考查了正弦函数的单调性应用，一般的做法是利用整体思想，根据正弦函数（余弦函数）的性质进行求解．8、B【解题分析】

根据偶函数的定义可变形，再直接比较的大小关系，即可利用函数的单调性得出，，的大小关系．【题目详解】因为函数是上的偶函数，所以，而，函数在上单调递减，所以．故选：B．【题目点拨】本题主要考查函数的性质的应用，涉及奇偶性，指数函数，对数函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，属于基础题．9、B【解题分析】

根据余弦函数的性质可判断B是错误的.【题目详解】因为，故无解，故B错.对于A，的解集为，故A正确.对于C，的解集是，故C正确.对于D，，.因为为锐角，，所以或或，所以或或，故D正确.故选：B.【题目点拨】本题考查三角方程的解，注意对于三角方程，我们需掌握有解的条件和其通解公式，而给定范围上的解，需结合整体的范围来讨论，本题属于基础题.10、A【解题分析】

连结BC1，交B1C于O，连结A1O，则∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出结果．【题目详解】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，∵BO＝A1B，∴θ1＝30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，∵BB1＝BC，且BB1⊥BC，∴θ2＝45°．故选A．【题目点拨】本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解题分析】

（1）不执行语句，说明不满足条件，，从而得；（2）执行程序，有当时，，只有，．【题目详解】（1）不执行语句，说明不满足条件，，故有.（2）当时，，只有，．故答案为：（1）（2）；【题目点拨】本题主要考察程序语言，考查对简单程序语言的阅读理解，属于基础题．12、(1)【解题分析】

利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定．【题目详解】(1)，，，则，正确(2)若，，，则，错误(3)若，则不成立，错误(4)若，，,则，错误【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定定理判定，考查了空间想象能力，属于中档题.13、50【解题分析】

由分段函数的表达式，代入计算即可；先求出的表达式，结合分段函数的性质，求最小值即可.【题目详解】由，可得，，所以；由的表达式，可得，当时，，此时，当时，，由二次函数的性质可知，，综上，的最小值为0.故答案为：5；0.【题目点拨】本题考查求函数值，考查分段函数的性质，考查函数最值的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.14、【解题分析】

对已知等式左右取倒数可整理得到，进而得到为等差数列；利用等差数列通项公式可求得，进而得到的通项公式，从而求得结果.【题目详解】，即数列是以为首项，为公差的等差数列故答案为：【题目点拨】本题考查利用递推公式求解数列通项公式的问题，关键是明确对于形式的递推关系式，采用倒数法来进行推导.15、【解题分析】

把集合中每个数都表示为2的0到的指数幂相加的形式，并确定，，，，每个数都出现次，于是利用等比数列求和公式计算，可求出数列的通项公式．【题目详解】由题意可知，，，，是0，1，2，，的一个排列，且集合中共有个数，若把集合中每个数表示为的形式，则，，，，每个数都出现次，因此，，故答案为：．【题目点拨】本题以数列新定义为问题背景，考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题．16、-1【解题分析】

先将函数转化成同名三角函数，再结合二次函数性质进行求解即可【题目详解】令，，对称轴为；当时，时函数值最大，，解得；当时，对称轴为，函数在时取到最大值，与题设矛盾；当时，时函数值最大，，解得；故的数值为：-1故答案为：-1【题目点拨】本题考查换元法在三角函数中的应用，分类讨论求解函数最值，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）利用直线与平面垂直的判定，结合三角形全等判定，得到，再次结合三角形全等，即可．（2）法一：建立坐标系，分别计算的法向量，结合两向量夹角为直角，计算出的值，然后结合，即可．法二：设出OA=x,用x分别表示AB,BD,AD，结合，建立方程，计算x，结合，即可．【题目详解】（1）连结，交于点，连结，因为侧面是菱形，所以，又因为，，所以平面，而平面，所以，因为，所以，而，所以，.（2）因为，，所以，（法一）以为坐标原点，所以直线为轴，所以直线为轴，所以直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，所以，，，设平面的法向量，所以令，则，，取，设平面的法向量，所以令，则，，取，依题意得，解得.所以.（法二）过作，连结，由（1）知，所以且，所以是二面角的平面角，依题意得，，所以，设，则，，又由，，所以由，解得，所以.【题目点拨】本道题考查了直线与平面垂直判定，考查了利用空间向量解决二面角问题，难度较难．18、（1），，；（2）第三种，理由见解析.【解题分析】

（1）三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，可知数列为常数数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等差数列和等比数列求和公式可计算出、、关于的表达式；（2）利用（1）中的结论，计算出、、的值，比较大小后可得出结论.【题目详解】（1）设三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，它们的前项和分别为、、，第一种付酬方式每天所付金额组成数列为常数列，且，所以；第二种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以；第三种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，当时，，，，则.因此，该学生在暑假期间共工作天，选第三种付酬方式较好.【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列的应用，涉及等差数列和等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19、（1）（2）【解题分析】

（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得sinB的值，可得B的值（Ⅱ）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c关于A的三角函数，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+c的最值．【题目详解】解（Ⅰ）锐角又，，由正弦定理得，∴．

∴的取值范围为【题目点拨】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题．20、（1）或；（2）当时的值域为.时的值域为.【解题分析】分析：（1）由已知表示出向量，再根据，且，建立方程组求出，即可求得向量；（2）由已知表示出向量，结合向量与向量共线，常数，建立的表达式，代入，对分类讨论，综合三角函数和二次函数的图象与性质，即可求出值域.详解：（1），∵，且，∴，，解得，时，；时，.∴向量或.（2），∵向量与向量共线，常数，∴，∴.①当即时，当时，取得最大值，时，取得最小值，此时函数的值域为.②当即时，当时，取得最大值，时，取得最小值，此时函数的值域为.综上所述，当时的值域为.时的值域为.点睛：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直和共线的定理、模的计算、三角