2024届三门峡市重点中学数学高一第二学期期末统考试题含解析

2024届三门峡市重点中学数学高一第二学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若，则a>bC．若a3>b3且ab<0，则D．若a2>b2且ab>0，则2．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为（）A．5 B．10 C．15 D．203．在一个平面上，机器人到与点的距离为8的地方绕点顺时针而行，它在行进过程中到经过点与的直线的最近距离为（）A． B． C． D．4．高一某班男生36人，女生24人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若抽出的女生为12人，则的值为（）A．18 B．20 C．30 D．365．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．34 B．42 C．54 D．726．设是等差数列的前项和，若，则（）A． B． C． D．7．已知正实数满足，则的最大值为（）A．2 B． C．3 D．8．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（）A． B．3 C．1 D．9．化简的结果是（）A． B． C． D．10．同时抛掷两个骰子，则向上的点数之和是的概率是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．过点且与直线l：垂直的直线方程为______.（请用一般式表示）12．已知，则的值为_____________13．若，且，则的最小值为_______.14．三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.15．已知数列满足，则__________.16．已知，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某企业生产的某种产品，生产总成本（元）与产量（吨）（）函数关系为，且函数是上的连续函数（1）求的值；（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？18．已知.（1）若三点共线，求实数的值；（2）证明：对任意实数，恒有成立.19．已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.20．已知函数（）的一段图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若，求函数的值域.21．已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；（3）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证．【题目详解】A．若a＞b，则ac2＞bc2（错），若c=0，则A不成立；B．若，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立；C．若a3＞b3且ab＜0，则（对），若a3＞b3且ab＜0，则D．若a2＞b2且ab＞0，则（错），若，则D不成立．故选：C．【题目点拨】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.2、B【解题分析】

利用分层抽样的定义和方法求解即可.【题目详解】设应抽取的女生人数为，则，解得．故选B【题目点拨】本题主要考查分层抽样的定义及方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3、A【解题分析】

由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离．【题目详解】解：机器人到与点距离为8的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变，机器人的运行轨迹方程为，如图所示；与，直线的方程为，即为，则圆心到直线的距离为，最近距离为．故选．【题目点拨】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题．4、C【解题分析】

根据分层抽样等比例抽样的特点，进行计算即可.【题目详解】根据题意，可得，解得.故选：C.【题目点拨】本题考查分层抽样的等比例抽取的性质，属基础题.5、C【解题分析】

还原几何体得四棱锥E﹣ABCD，由图中数据利用椎体的体积公式求解即可.【题目详解】依三视图知该几何体为四棱锥E﹣ABCD，如图，ABCD是直角梯形，是棱长为6的正方体的一部分，梯形的面积为：12几何体的体积为：13故选：C．【题目点拨】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能力．6、D【解题分析】

根据等差数列片断和的性质得出、、、成等差数列，并将和都用表示，可得出的值．【题目详解】根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则也成等差数列；又，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故选D．【题目点拨】本题考查等差数列片断和的性质，再利用片断和的性质时，要注意下标之间的倍数关系，结合性质进行求解，考查运算求解能力，属于中等题．7、B【解题分析】

由，然后由基本不等式可得最大值．【题目详解】，当且仅当，即时，等号成立．∴所求最大值为．故选：B.【题目点拨】本题考查用基本不等式求最值，注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．8、A【解题分析】

根据图像，将表示成的线性和形式，由此求得的值，进而求得的值.【题目详解】根据图像可知，所以，故选A.【题目点拨】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9、D【解题分析】

直接利用同角三角函数基本关系式以及二倍角公式化简求值即可．【题目详解】．故选．【题目点拨】本题主要考查应用同角三角函数基本关系式和二倍角公式对三角函数的化简求值．10、C【解题分析】

由题意可知，基本事件总数为，然后列举出事件“同时抛掷两个骰子，向上的点数之和是”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【题目详解】同时抛掷两个骰子，共有个基本事件，事件“同时抛掷两个骰子，向上的点数之和是”所包含的基本事件有：、、、、，共个基本事件.因此，所求事件的概率为.故选：C.【题目点拨】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

与直线垂直的直线方程可设为，再将点的坐标代入运算即可得解.【题目详解】解：与直线l：垂直的直线方程可设为，又该直线过点，则，则，即点且与直线l：垂直的直线方程为，故答案为：.【题目点拨】本题考查了与已知直线垂直的直线方程的求法，属基础题.12、【解题分析】

利用和差化积公式将两式化简，然后两式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．【题目详解】由得，，，两式相除得，，则．【题目点拨】本题主要考查和差化积公式以及二倍角公式的应用．13、【解题分析】

将变换为，展开利用均值不等式得到答案.【题目详解】若，且，则时等号成立.故答案为【题目点拨】本题考查了均值不等式，“1”的代换是解题的关键.14、【解题分析】

如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以，，，设异面直线的夹角为，所以.15、【解题分析】

数列为以为首项，1为公差的等差数列。【题目详解】因为所以又所以数列为以为首项，1为公差的等差数列。所以所以故填【题目点拨】本题考查等差数列，属于基础题。16、【解题分析】三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)当产量吨，平均生产成本最低.【解题分析】

（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点．【题目详解】（1）设，由函数是上的连续函数.即，代入得（2）设平均生产成本为，则当中，，函数连续且在单调递减，单调递增即当，元当，，由，当且仅当取等号，即当，元综上所述，当产量吨，平均生产成本最低.【题目点拨】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题.18、(1)-3；(2)证明见解析.【解题分析】分析：（1）由题意可得，结合三点共线的充分必要条件可得.（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得，则恒有成立.详解：（1），∵三点共线，∴，∴.（2），∴，∴恒有成立.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、（1）；（2）证明见解析，；（3）或.【解题分析】

（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得，再由等比数列的定义、通项公式可得结果；（2）对等式两边除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得，由数列的错位相减法求和，可得，化简,即，对任意的成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围．【题目详解】(1)，可得，即；时,,又，相减可得,即，则；(2)证明：，可得，可得是首项和公差均为1的等差数列，可得,即；(3)，前n项和为，，相减可得，可得，,即为，即,对任意的成立，由，可得为递减数列，即n=1时取得最大值1−2=−1，可得，即或.【题目点拨】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）由函数的一段图象求得、、和的值即可；（2）由，求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求得的最大和最小值即可．【题目详解】解：（1）由函数的一段图象知，，，，解得，又时，，，，解得，；，函数的解析式为；（2）当时，，令，解得，此时取得最大值为2；令，解得，此时取得最小值为；函数的值域为．【题目点拨】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，属于基础题．21、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离公式得直线的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为，结合直线