2024届湖南省永州市祁阳县高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届湖南省永州市祁阳县高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若||＝2cos15°，||＝4sin15°，的夹角为30°，则等于()A． B． C．2 D．2．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2aA．145 B．114 C．83．某学校的A，B，C三个社团分别有学生人，人，人，若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取人参加某项活动，则从A社团中应抽取的学生人数为（）A．2 B．4 C．5 D．64．设等比数列的公比，前n项和为，则（）A．2 B．4 C． D．5．在正项等比数列中，，为方程的两根，则（）A．9 B．27 C．64 D．816．已知函数，则下列命题正确的是（）①的最大值为2；②的图象关于对称；③在区间上单调递增；④若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则；A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④7．已知是常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）A． B． C． D．8．已知圆，直线，点在直线上．若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是A． B． C． D．9．已知函数f（x），则f[f（2）]＝（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知数列是首项为，公差为的等差数列，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．不等式有解，则实数的取值范围是______.12．已知函数的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则的最小值为________.13．已知，则的取值范围是_______；14．若无穷数列的所有项都是正数，且满足，则______．15．已知函数，下列结论中：函数关于对称；函数关于对称；函数在是增函数，将的图象向右平移可得到的图象．其中正确的结论序号为______．16．若正实数，满足，则的最小值是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知以点为圆心的圆C被直线截得的弦长为．（1）求圆C的标准方程：（2）求过与圆C相切的直线方程：（3）若Q是直线上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点．试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标：若不是，说明理由．18．已知函数，的部分图像如图所示，点，，都在的图象上.（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.19．已知向量a=(sinθ,1)，b(1)若a⊥b，求(2)求|a20．若不等式的解集是.（1）求的值；（2）当为何值时，的解集为．21．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为.（1）求函数的表达式及定义域；（2）求的最大值及此时的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】分析：先根据向量数量积定义化简，再根据二倍角公式求值.详解：因为，所以选B.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.2、B【解题分析】

由Sn=2an-2，可得Sn-1=2an-1-2两式相减可得公比的值，由S1=2a1-2=【题目详解】因为Sn=2a两式相减化简可得an公比q=a由S1=2a∵a则4×2m+n-2=64∴1当且仅当nm=9mn时取等号，此时∵m,n取整数，∴均值不等式等号条件取不到，则1m验证可得，当m=2,n=4时，1m+9【题目点拨】本题主要考查等比数列的定义与通项公式的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.3、B【解题分析】

分层抽样每部分占比一样，通过A，B，C三个社团为，易得A中的人数。【题目详解】A，B，C三个社团人数比为，所以12中A有人，B有人，C有人。故选：B【题目点拨】此题考查分层抽样原理，根据抽样前后每部分占比一样求解即可，属于简单题目。4、D【解题分析】

设首项为，利用等比数列的求和公式与通项公式求解即可.【题目详解】设首项为，因为等比数列的公比，所以，故选：D.【题目点拨】本题主要考查等比数列的求和公式与通项公式，熟练掌握基本公式是解题的关键，属于基础题.5、B【解题分析】

由韦达定理得，再利用等比数列的性质求得结果.【题目详解】由已知得是正项等比数列本题正确选项：【题目点拨】本题考查等比数列的三项之积的求法，关键是对等比数列的性质进行合理运用，属于基础题.6、C【解题分析】

，由此判断①的正误，根据判断②的正误，由求出的单调递增区间，即可判断③的正误，结合的图象判断④的正误.【题目详解】因为，故①正确因为，故②不正确由得所以在区间上单调递增，故③正确若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，结合的图象知，必有此时，另一解为即，，满足，故④正确综上可知：命题正确的是①③④故选：C【题目点拨】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.7、C【解题分析】

将点的坐标代入函数的解析式，得出，求出的表达式，可得出的最小值.【题目详解】由于函数的图象关于点中心对称，则，，则，因此，当时，取得最小值，故选C.【题目点拨】本题考查余弦函数的对称性，考查初相绝对值的最小值，解题时要结合题中条件求出初相的表达式，结合表达式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、B【解题分析】

根据条件若存在圆C上的点Q,使得为坐标原点),等价即可,求出不等式的解集即可得到的范围【题目详解】圆O外有一点P,圆上有一动点Q,在PQ与圆相切时取得最大值.

如果OP变长,那么可以获得的最大值将变小.可以得知,当,且PQ与圆相切时,,

而当时,Q在圆上任意移动,存在恒成立.

因此满足,就能保证一定存在点Q,使得,否则,这样的点Q是不存在的，

点在直线上,,即

,

,

计算得出,,

的取值范围是，

故选B.考点：正弦定理、直线与圆的位置关系.9、B【解题分析】

根据分段函数的表达式求解即可.【题目详解】由题.故选：B【题目点拨】本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型.10、C【解题分析】

本题首先可根据首项为以及公差为求出数列的通项公式，然后根据以及数列的通项公式即可求出答案．【题目详解】因为数列为首项，公差的等差数列，所以，因为所以，，故选C．【题目点拨】本题考查如何判断实数为数列中的哪一项，主要考查等差数列的通项公式的求法，等差数列的通项公式为，考查计算能力，是简单题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由参变量分离法可得知，由二倍角的余弦公式以及二次函数的基本性质求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.【题目详解】不等式有解，等价于存在实数，使得关于的不等式成立，故只需.令，，由二次函数的基本性质可知，当时，该函数取得最小值，即，.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【题目点拨】本题考查不等式有解的问题，涉及二倍角余弦公式以及二次函数基本性质的应用，一般转化为函数的最值来求解，考查计算能力，属于中等题.12、【解题分析】

先利用周期公式求出，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出的表达式，即可求出的最小值．【题目详解】由得，所以，向左平移个单位后，得到，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有，则，故的最小值为．【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及型的函数奇偶性判断条件．一般地为奇函数，则；为偶函数，则；为奇函数，则；为偶函数，则．13、【解题分析】

本题首先可以根据向量的运算得出，然后等式两边同时平方并化简，得出，最后根据即可得出的取值范围．【题目详解】设向量与向量的夹角为，因为，所以，即，因为，所以，即，所以的取值范围是．【题目点拨】本题考查向量的运算以及向量的数量积的相关性质，向量的数量积公式，考查计算能力，是简单题．14、【解题分析】

先由作差法求出数列的通项公式为，即可计算出，然后利用常用数列的极限即可计算出的值.【题目详解】当时，，可得；当时，由，可得，上式下式得，得，也适合，则，.所以，.因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.15、【解题分析】

把化成的型式即可。【题目详解】由题意得所以对称轴为，对，当时，对称中心为，对。的增区间为，对向右平移得。错【题目点拨】本题考查三角函数的性质，三角函数变换，意在考查学生对三角函数的图像与性质的掌握情况。16、【解题分析】

将配凑成，由此化简的表达式，并利用基本不等式求得最小值.【题目详解】由得，所以.当且仅当，即时等号成立.故填：.【题目点拨】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或（3）直线RS恒过定点【解题分析】

（1）由弦长可得,进而求解即可；（2）分别讨论直线的斜率存在与不存在的情况,再利用圆心到直线距离等于半径求解即可；（3）由QR,QS分别切圆C于R,S两点,可知,在以为直径的圆上,设为,则可得到以为直径的圆的方程,与圆联立可得,由求解即可【题目详解】（1）由题,设点到直线的距离为,则,则弦长,解得,所以圆的标准方程为:（2）当切线斜率不存在时,直线方程为,圆心到直线距离为2,故此时相切；当切线斜率存在时,设切线方程为,即,则,解得,则直线方程为,即,综上,切线方程为或（3）直线RS恒过定点,由题,,则,在以为直径的圆上,设为,则以为直径的圆的方程为:,整理可得,与圆:联立可得:,即,令,解得,故无论取何值时,直线恒过定点【题目点拨】本题考查圆的方程,考查已知圆外一点求切线方程,考查直线恒过定点问题18、（1）；（2）【解题分析】

（1）由三角函数图像，求出即可；（2）求出函数的值域，再列不等式组求解即可.【题目详解】解：（1）由的图象可知，则，因为，，所以，故.因为在函数的图象上，所以，所以，即，因为，所以.因为点在函数的图象上，所以，解得，故.（2）因为，所以，所以，则.因为，所以，所以，解得.故的取值范围为.【题目点拨】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.19、(1)-π4【解题分析】

（1）两向量垂直，坐标关系满足x1x2+y1y2=0，由已知可得关于sin【题目详解】（1）∵a⊥b，∴sinθ+cosθ=0（2）|a+b|=(1+sinθ)2+【题目点拨】本题考查向量的坐标运算，两向量垂直，求两向量之和的模的最大值，当计算到最大值为3+22时，由平方和公式还可以继续化简，即3+220、（1）；(2)【解题分析】

（1）由不等式的解集是，利用根与系数关系列式求出的值；（2）代入得值后，由不等式对应的方程的判别式小于等于0，列式求解的取值范围．【题目详解】（1）由题意知，1﹣＜0，且﹣1和1是方程的两根，∴，解得＝1．（2），即为，若此不等式的解集为，则2﹣4×1×1≤0，∴﹣6≤≤6，所