2024届北京西城44中数学高一下期末学业质量监测试题含解析

2024届北京西城44中数学高一下期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．把函数，图象上所有的点向右平行移动个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为（）A． B．C． D．2．在中，，，分别是角，，的对边，且满足，那么的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形3．的周期为（）A． B． C． D．4．如果圆上总存在点到原点的距离为，则实数的取值范围为()A． B． C． D．5．已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）.A． B． C． D．6．的三内角所对的边分别为，若，则角的大小是（）A． B． C． D．7．圆上的一点到直线的最大距离为（）A． B． C． D．8．在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，9．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．问它的体积是多少?”这个问题的答案是（）A．立方丈 B．立方丈C．立方丈 D．立方丈10．若向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.12．下列结论中：①②函数的图像关于点对称③函数的图像的一条对称轴为④其中正确的结论序号为______．13．某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的关系如下:x012y5221通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程:；但现在丢失了一个数据，该数据应为____________.14．已知，，若，则______15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．16．已知无穷等比数列的所有项的和为，则首项的取值范围为_____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的定义域为R（1）求的取值范围；（2）若函数的最小值为，解关于的不等式。18．已知函数在上的最大值为3.（1）求的值及函数的单调递增区间;（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.19．己知函数．（1）若，，求；（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.（1）求：（2）求的面积.21．数学的发展推动着科技的进步,正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用,华为的5G技术领先世界.目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由H公司及G公司提供技术支持据市场调研预测,5C商用初期,该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品分别占比及假设两家公司的技术更新周期一致,且随着技术优势的体现每次技术更新后,上一周期采用G公司技术的产品中有20%转而采用H公司技术,采用H公司技术的仅有5%转而采用G公司技术设第n次技术更新后,该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品占比分别为及,不考虑其它因素的影响.(1)用表示,并求实数使是等比数列;(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上?若能,至少需要经过几次技术更新;若不能,说明理由？(参考数据:)

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为的形式，然后再利用三角函数的图像变换即可求解.【题目详解】函数，函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度可得，在将横坐标伸长到原来的2倍，可得.故选：C【题目点拨】本题考查了二倍角的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的图像平移伸缩变换，需熟记公式，属于基础题.2、C【解题分析】

由正弦定理，可得,.，或，或，即或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故选C.考点：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.3、D【解题分析】

根据正弦型函数最小正周期的结论即可得到结果.【题目详解】函数的最小正周期故选：【题目点拨】本题考查正弦型函数周期的求解问题，关键是明确正弦型函数的最小正周期.4、B【解题分析】

将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案.【题目详解】，圆心为半径为1圆心到原点的距离为：如果圆上总存在点到原点的距离为即圆心到原点的距离即故答案选B【题目点拨】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键.5、A【解题分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．6、C【解题分析】

将进行整理，反凑余弦定理，即可得到角.【题目详解】因为即故可得又故.故选：C.【题目点拨】本题考查余弦定理的变形，属基础题.7、D【解题分析】

先求出圆心到直线距离，再加上圆的半径，就是圆上一点到直线的最大距离．【题目详解】圆心（2,1）到直线的距离是，所以圆上一点到直线的最大距离为，故选D．【题目点拨】本题主要考查圆上一点到直线距离最值的求法，以及点到直线的距离公式．8、D【解题分析】

根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的解的个数，于此可得出正确选项.【题目详解】对于A选项，，，此时，无解；对于B选项，，，此时，有两解；对于C选项，，则为最大角，由于，此时，无解；对于D选项，，且，此时，有且只有一解.故选D.【题目点拨】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.9、A【解题分析】过点分别作平面和平面垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱，两边是两个一样的四棱锥，所以立方丈，故选A.10、A【解题分析】

由已知可得||，根据数量积公式求解即可．【题目详解】||．故选A．【题目点拨】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】如图，取中点，中点，连接，由题可知，边长均为1，则，中，，则，得，所以二面角的平面角即，在中，，则，所以．点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．12、①③④【解题分析】

由两角和的正切公式的变形，化简可得所求值，可判断①正确；由正切函数的对称中心可判断②错误；由余弦函数的对称轴特点可判断③正确；由同角三角函数基本关系式和辅助角公式、二倍角公式和诱导公式，化简可得所求值，可判断④正确．【题目详解】①，故①正确；②函数的对称中心为，，则图象不关于点对称，故②错误；③函数，由为最小值，可得图象的一条对称轴为，故③正确；④，故④正确．【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象和性质应用以及三角函数的恒等变换，意在考查学生的化简运算能力．13、4【解题分析】

根据回归直线经过数据的中心点可求.【题目详解】设丢失的数据为，则，，把代入回归方程可得，故答案为：4.【题目点拨】本题主要考查回归直线的特征，明确回归直线一定经过样本数据的中心点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14、【解题分析】

根据向量垂直的坐标表示列出等式，求出，再利用二倍角公式、平方关系即可求出．【题目详解】由得，，解得，．【题目点拨】本题主要考查了向量垂直的坐标表示以及二倍角公式、平方关系的应用．15、（-4，2）【解题分析】试题分析：因为当且仅当时取等号，所以考点：基本不等式求最值16、【解题分析】

设等比数列的公比为，根据题意得出或，根据无穷等比数列的和得出与所满足的关系式，由此可求出实数的取值范围.【题目详解】设等比数列的公比为，根据题意得出或，由于无穷等比数列的所有项的和为，则，.当时，则，此时，；当时，则，此时，.因此，首项的取值范围是.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用无穷等比数列的和求首项的取值范围，解题的关键就是结合题意得出首项和公比的关系式，利用不等式的性质或函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由的定义域为可知，，恒成立，即可求出的范围.（2）结合的范围，运用配方法，即可求出的值，进而求解不等式.【题目详解】（1）由已知可得对，恒成立，当时，恒成立。当时，则有，解得，综上可知，的取值范围是[0，1]（2）由（1）可知的取值范围是[0，1]显然，当时，，不符合.所以，，，由题意得，，，可化为，解得，不等式的解集为。【题目点拨】主要考查了一元二次不等式在上恒成立求参数范围，配方法以及一元二次不等式求解问题，属于中档题.对任意实数恒成立的条件是；而任意实数恒成立的条件是.18、（1）,函数的单调递增区间为；（2）.【解题分析】

（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间;（2）由（1）结合已知，可以求出角的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.【题目详解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函数的单调递增区间为（2）由已知，∴由得，因此所以因为为锐角三角形，所以，解得因此，那么【题目点拨】本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.19、（1）；（1），1.【解题分析】

（1）由题得，再求出x的值；（1）先化简得到，再利用三角函数的性质求函数的最大值及此时x的值.【题目详解】（1）令，则，因为，所以．（1），当，即时，的最大值为1．【题目点拨】本题主要考查解简单的三角方程，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）由已知可先求，然后结合正弦定理可求的值；（2）利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【题目详解】（1），，，，由正弦定理，可得：.（2），．【题目点拨】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21、（1），；（2）见解析【解题分析】

(1)根据题意经过次技术更新后，通过整理得到，构造是等比数列，求出，得证；(2)由（1）可求出通项，令，通过相关计算即可求出n的最小值，从而得到答案.【题目详解】（1）由题意，可设5商用