2023-2024学年人教版九年级上册期末考试数学模拟试卷A

人教版2023-2024学年九年级上册期末考试数学模拟试卷A一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）如图，由黑白棋子摆成的图案为中心对称的是（）A． B． C． D．2．（3分）一元二次方程3x2＝8x化成一般形式后，其中二次项系数和一次项系数分别是（）A．3，8 B．3，0 C．3，﹣8 D．﹣3，﹣83．（3分）将抛物线y＝x2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（）A．y＝x2﹣1 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2﹣24．（3分）某个细胞经过两轮分裂后，共分裂出n个细胞，设每轮分裂中一个细胞可以分裂x个新的细胞，则下列方程符合题意的是（）A．1+x+x2＝n B．（1+x）2＝n C．x2＝n D．x（x+1）＝n5．（3分）七巧板是我们民间流传最广的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中6号部分的面积是正方形面积的（）A．14 B．16 C．18 6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（n，y1）、B（n+1，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）更多优质滋源请家威杏MXSJ6637．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0两个实数根，则α﹣β﹣αβ的值．8．（3分）如图，点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，过点A作x轴，y轴的垂足分别为点B，C，若AB＝1.5，AC＝4，则k的值为9．（3分）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是⊙O上一点（P与C，D不重合），则∠CPD的度数是．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，将△ABC绕着点C逆时针旋转到△DEC位置时，点B恰好落在DE边上，则在旋转过程中，点B运动到点E的路径长为．11．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AB的中点，过点C的切线交OB的延长线于点E，当BE=43-23212．（3分）如图，抛物线y＝a（x﹣9）（x+12）（a＜0）与x轴交于点A，B，与y轴交点C，在y轴上取点E，使OE＝OA，以OB，OE为边作矩形OBDE，边DE与抛物线的交点为F，连接BF，作△BDF的外接圆⊙M，若⊙M与y轴相切，则a的值为．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．（6分）解方程：（1）x2+2x﹣1＝0；（2）9（x﹣2）2＝4（2x+5）214．（6分）为迎接中国共产党成立100周年，让更多人了解红色文化艺术，凝聚和弘扬红色文化，某市举办一百周年红色文旅美术展活动，小唯与小亮都想去观展，但只有一张门票，于是两人想通过摸卡片的方式来决定谁去观展，规则如下：现有两组卡片，第一组卡片上写有A，B，C，第二组卡片上写有A，B，B，C，这两组卡片上除字母外其余均相同．（1）若随机抽取一张，则卡片上写有B的事件为（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）；（2）若小唯从第一组随机取出一张，小亮从第二组随机取出一张，若取出的卡片上的字母都为B，则小唯去观展，请利用列表或画树状图的方法，求小唯去观展的概率．15．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．∠BAC＝45°．请用无刻度的直尺按要求画图．（1）如图①，请在图①中画出弦CD，使得CD＝BC；（2）如图②，AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点A，C，M在同一条直线上．在图中画出△ABM的边BM上的中线AD．16．（6分）已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（t≤7）．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．（1）由题可知，∠AOF＝；（2）如图①，若射线OC旋转时间为t秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；（3）射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤7），若∠BOD=12∠EOB，请你借助图②或备用图进行分析后，求出17．（6分）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10＝0，求m的值．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．（8分）如图，经过原点的直线y1与双曲线y2=kx（k为常数，k≠0）交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，（1）求k的值；（2）当y1＞y2时，请你直接写出x的取值范围．19．（8分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长．20．（8分）如图，在Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点F，连接DB、CE．（1）若ADED=DF（2）若∠ADE＝∠ABC，求证：△ADB∽△AEC．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）“中国加油！”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩400个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？22．（9分）阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB是一条定线段，且∠APB＝90°，则所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边AB为直径的⊙O（直径两端点A、B除外）（1）已知：如图2，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，连接AE，BF相交于点P．①当点E从点B运动到点C的过程中，∠APB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出∠APB的度数．②求点P运动的路经长是多少．（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP，请直接写出E、F运动过程中，CP的最小值．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），经过点B的直线l：y＝﹣ax+a与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线的对称轴为；（2）点E是直线l下方抛物线上的一点，当a＝1时．求△BCE面积的最大值；（3）设P为抛物线对称轴上一点，点Q在抛物线上，若以点B、D、P、Q为顶点的四边形为矩形，求a的值．人教版2023-2024学年九年级上册期末考试数学模拟试卷A参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）如图，由黑白棋子摆成的图案为中心对称的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：选项B，C，D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：A．2．（3分）一元二次方程3x2＝8x化成一般形式后，其中二次项系数和一次项系数分别是（）A．3，8 B．3，0 C．3，﹣8 D．﹣3，﹣8【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：一元二次方程3x2＝8x的一般形式3x2﹣8x＝0，其中二次项系数3，一次项系数﹣8，常数项是0，故选：C．3．（3分）将抛物线y＝x2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（）A．y＝x2﹣1 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2﹣2+1，即y＝x2﹣1．故选：A．4．（3分）某个细胞经过两轮分裂后，共分裂出n个细胞，设每轮分裂中一个细胞可以分裂x个新的细胞，则下列方程符合题意的是（）A．1+x+x2＝n B．（1+x）2＝n C．x2＝n D．x（x+1）＝n【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】第一轮分裂成x个细胞，第二轮分裂成x•x＝x2个细胞，结合题意可得答案．【解答】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x个细胞，那么可列方程为x2＝n，故选：C．5．（3分）七巧板是我们民间流传最广的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中6号部分的面积是正方形面积的（）A．14 B．16 C．18 【考点】七巧板．【分析】根据正方形的性质和勾股定理计算即可．【解答】解：6号部分的平行四边形是由两个小等腰直角三角形构成，设正方形的边长为2，则正方形的对角线长为：22+2所以小等腰直角三角形的直角边长为224=所以6号部分的平行四边形的面积是14×2因为正方形的面积为4，所以图中6号部分的面积是正方形面积的12故选：C．6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（n，y1）、B（n+1，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．【分析】分四种情况讨论即可得到结论．【解答】解：当n＞﹣3时，y1＞y2；当n+1＜﹣3时，y1＜y2；当n+12=-3时，y1＝当n＜﹣3＜n+1时，无法比较．故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0两个实数根，则α﹣β﹣αβ的值5或﹣1．【考点】根与系数的关系．【分析】解方程x2+x﹣2＝0得到α和β的值，代入α﹣β﹣αβ，计算求值即可．【解答】解：解方程x2+x﹣2＝0得：x1＝1，x2＝﹣2，若α＝1，β＝﹣2，则α﹣β﹣αβ＝1﹣（﹣2）﹣1×（﹣2）＝1+2+2＝5，若α＝﹣2，β＝1，则α﹣β﹣αβ＝﹣2﹣1﹣（﹣2）×1＝﹣3+2＝﹣1，即α﹣β﹣αβ的值为5或﹣1．故答案为：5或﹣18．（3分）如图，点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，过点A作x轴，y轴的垂足分别为点B，C，若AB＝1.5，AC＝4，则k的值为﹣6【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|＝AB•AC，再根据图象在第二象限可确定k＜0，进而得到解析式．【解答】解：∵S矩形ABOC＝AB•AC＝1.5×4＝6，∴|k|＝6，∵图象在第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣6，故答案为﹣6．9．（3分）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是⊙O上一点（P与C，D不重合），则∠CPD的度数是30°或150°．【考点】正多边形和圆；圆周角定理．【分析】构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．【解答】解：连接OC，OD，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD=360°6当点P不在CD上时，∠CPD=12∠COD＝当点P在CD上时，∠CPD＝180°-12∠COD＝180°﹣30°＝故答案为：30°或150°．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，将△ABC绕着点C逆时针旋转到△DEC位置时，点B恰好落在DE边上，则在旋转过程中，点B运动到点E的路径长为π3【考点】旋转的性质．【分析】首先证明△BCE是等边三角形，再根据弧长公式计算即可；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，∴BC=12AB＝1，∠ABC＝∵CB＝CE，∠E＝∠ABC＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∴点B运动到点E的路径长为60⋅π⋅1180故答案为π311．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AB的中点，过点C的切线交OB的延长线于点E，当BE=43-232【考点】切线的性质；扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理．【分析】由∠AOB＝90°，点C是AB的中点可得∠COE＝45°，由CE与圆O相切得△OCE为等腰直角三角形，根据BE的长度求得OC的长，用S△OCE﹣S扇形OCB，即得阴影部分面积．【解答】解：∵∠AOB＝90°，点C是AB的中点，∴∠COE＝45°，∵CE与圆O相切，∴△OCE为等腰直角三角形，设OC＝CE＝x，则OB＝x，OE=2x∵OE﹣OB＝BE，BE=4∴2x﹣x=4解得：x=2∴阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形OCB=1故答案为：4-π912．（3分）如图，抛物线y＝a（x﹣9）（x+12）（a＜0）与x轴交于点A，B，与y轴交点C，在y轴上取点E，使OE＝OA，以OB，OE为边作矩形OBDE，边DE与抛物线的交点为F，连接BF，作△BDF的外接圆⊙M，若⊙M与y轴相切，则a的值为-320【考点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；矩形的性质．【分析】由抛物线与坐标轴的交点可求得A（﹣12，0），B（9，0），设⊙M与y轴的切点为G，与x轴的交点为N，连接MG、FN，交点为H，根据切线的性质得到MG⊥OC，则四边形OEFN为矩形，根据垂径定理得到NH＝HF＝6，过点M作MK⊥OB，在Rt△MKB中，设MB＝x，则62+（9﹣x）2＝x2，解得半径长可求出ON，EF，将点F的坐标代入抛物线解析式即可求a的值．【解答】解：由题意抛物线y＝a（x﹣9）（x+12）（a＜0）与x轴交于点A，B，令y＝0，a（x﹣9）（x+12）＝0，解得x1＝9，x2＝﹣12，∴A（﹣12，0），B（9，0），如图，若⊙M与y轴的切点为G，与x轴的交点为N，连接MG、FN，交点为H，四边形OBDE为矩形，BF为直径，则四边形OEFN为矩形，∵⊙M与y轴相切，∴MG⊥OE，过点M作MK⊥OB，则四边形MHNK为矩形，∵OE＝OA＝12，∴由垂径定理得，NH＝HF＝6，在Rt△MKB中，设MB＝x，则MK＝HN＝6，BK＝9﹣x，由勾股定理MK2+BK2＝BM2可得，62+（9﹣x）2＝x2，解得，x=13∴BN=BF∴EF＝ON＝OB﹣BN＝9﹣5＝4，∴F点的坐标为（4，12），把F点的坐标为（4，12）代入抛物线解析式得，12＝a（4﹣9）（4+12），∴a=-三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．（6分）解方程：（1）x2+2x﹣1＝0；（2）9（x﹣2）2＝4（2x+5）2【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得．【解答】解：（1）x2+2x﹣1＝0∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，∴△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，则x=-2±222=-即x1＝﹣1+2，x2＝﹣1-（2）∵9（x﹣2）2＝4（2x+5）2，∴3（x﹣2）＝2（2x+5）或3（x﹣2）＝﹣2（2x+5），解得：x1＝﹣16或x2=-14．（6分）为迎接中国共产党成立100周年，让更多人了解红色文化艺术，凝聚和弘扬红色文化，某市举办一百周年红色文旅美术展活动，小唯与小亮都想去观展，但只有一张门票，于是两人想通过摸卡片的方式来决定谁去观展，规则如下：现有两组卡片，第一组卡片上写有A，B，C，第二组卡片上写有A，B，B，C，这两组卡片上除字母外其余均相同．（1）若随机抽取一张，则卡片上写有B的事件为随机事件（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）；（2）若小唯从第一组随机取出一张，小亮从第二组随机取出一张，若取出的卡片上的字母都为B，则小唯去观展，请利用列表或画树状图的方法，求小唯去观展的概率．【考点】列表法与树状图法；随机事件．【分析】（1）根据随机事件的概念解答即可；（2）首先根据题意列出表格或树状图，然后由表格或树状图即可求得所有等可能的结果与从每组卡片中各抽取一张，两张都是B的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）第一组卡片上写有A，B，C，第二组卡片上写有A，B，B，C，这两组卡片上除字母外其余均相同，则随机抽取一张，则卡片上写有B的事件为随机事件．故答案为：随机事件；（2）画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，从每组卡片中各抽取一张，都抽到B的有2种情况，∴小唯去观展的概率为21215．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．∠BAC＝45°．请用无刻度的直尺按要求画图．（1）如图①，请在图①中画出弦CD，使得CD＝BC；（2）如图②，AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点A，C，M在同一条直线上．在图中画出△ABM的边BM上的中线AD．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；切线的性质．【分析】（1）利用连接BO并延长交圆于点D，连接CD，则CD＝BC．CD即为所求作的图形；（2）连接OM交BC于点P，连接AP并延长交BM于点D，则AD就是边BM上的中线．AD即为所求作的图形．【解答】解：（1）如图①所示，DC即为所求；（2）如图②：AD即为所求．16．（6分）已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（t≤7）．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．（1）由题可知，∠AOF＝20°；（2）如图①，若射线OC旋转时间为t秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；（3）射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤7），若∠BOD=12∠EOB，请你借助图②或备用图进行分析后，求出【考点】角的计算；列代数式；角平分线的定义．【分析】（1）直接由角平分线的定义可以求得∠AOF的度数；（2）先用含有t的式子表示∠COD的度数，然后表示出∠AOC的度数，进而由角平分线的定义求得∠AOE的度数，最后由∠AOF的度数求得∠EOF的度数；（3）分情况讨论，①射线OB在∠AOD内部时，②射线OB在∠COD的内部时，然后作出图形，按照（2）中的步骤求解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝40°，OF平分∠AOD，∴∠AOF＝20°，故答案为：20°．（2）由题意得，∠COD＝（20t）°，∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝（40+20t）°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠AOC=12（40+20t∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝（20+10t）°﹣20°＝（10t）°．（3）①如图②，当射线OB在∠AOD内部，即0＜t＜4时，∠AOB＝（10t）°，∠BOD＝（40﹣10t）°，由（2）得，∠AOE＝（20+10t）°＞∠AOB，∴∠EOB＝∠AOE﹣∠AOB＝（20+10t）°﹣（10t）°＝20°，∵∠BOD=12∠∴40﹣10t=12∴t＝3，符合题意，∴∠AOB＝30°，∠AOC＝∠AOD+∠COD＝40°+20°×3＝100°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝100°﹣30°＝70°，∵∠AOF＝20°，∴∠BOF＝∠AOB﹣∠AOF＝30°﹣20°＝10°，∴∠BOF∠COB②如图③，当射线OB不在∠AOD内部，即4≤t≤7时，∠AOB＝（10t）°，∠BOD＝（10t﹣40）°，由①得，∠EOB＝20°，∵∠BOD=12∠∴10t﹣40=12解得：t＝5，符合题意，∴∠AOB＝50°，∠AOC＝∠AOD+∠COD＝40°+20°×5＝140°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝140°﹣50°＝90°，∵∠AOF＝20°，∴∠BOF＝∠AOB﹣∠AOF＝50°﹣20°＝30°，∴∠BOF∠COB综上所述，∠BOF∠COB的值为17或17．（6分）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10＝0，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣3、x1x2＝m﹣1，结合2（x1+x2）+x1x2+10＝0可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：（1）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，∴Δ＝32﹣4（m﹣1）＝13﹣4m≥0，解得：m≤13（2）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1．∵2（x1+x2）+x1x2+10＝0，即﹣6+（m﹣1）+10＝0，∴m＝﹣3．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．（8分）如图，经过原点的直线y1与双曲线y2=kx（k为常数，k≠0）交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，（1）求k的值；（2）当y1＞y2时，请你直接写出x的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A（1，2）代入可求出k的值；（2）由对称得出点B坐标，再根据图象直接得出y1＞y2时，x的取值范围．【解答】解：（1）将点A（1，2）代入双曲线y2=kx得k＝答：k的值为2；（2）由函数图象的对称性可知，点A与点B关于原点对称，∴点B（﹣1，﹣2）由图象可得：当﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，答：x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1．19．（8分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长．【考点】切线的判定与性质；正方形的性质．【分析】分析题意，分两种情况分别求解，如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x，在Rt△PBM中，PM2＝BM2+PB2，建立关于x的方程，求解后即可得出BP的长度；如图2中，当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．易得PM＝PK＝CD＝2BM，在Rt△PBM中，由勾股定理求出BP的长度．【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．∵M是AB的中点，AB＝8，∴AM＝BM＝4．∵在Rt△PBM中，PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如图2，当⊙P与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB=82-综上所述，BP的长为3或43．20．（8分）如图，在Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点F，连接DB、CE．（1）若ADED=DF（2）若∠ADE＝∠ABC，求证：△ADB∽△AEC．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）根据相似三角形的判定可得△ADE∽△FDA，再根据相似三角形的性质即可得结论；（2）根据题意可得△ADE∽△ABC，得ADAB=AEAC，由∠EAC＝∠DAB，即可得△【解答】解：（1）∵ADED=DFDA，∠∴△ADE∽△FDA，∴∠AFD＝∠DAE＝90°．∴∠AFD的度数为90°；（2）∵∠ADE＝∠ABC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ADB∽△AEC．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）“中国加油！”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩400个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；（2）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：y＝400﹣20x；∴y与x之间的函数关系式为y＝400﹣20x（0≤x≤20，且x为整数），（2）w＝（10+x）（400﹣20x）＝﹣20x2+200x+4000＝﹣20（x﹣5）2+4500，∵a＝﹣20＜0，开口向下，∴当x＝5时，w最大，又∵x为整数，∴当x＝5，w最大，最大值为4500．答：当增加5条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为4500个．22．（9分）阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB是一条定线段，且∠APB＝90°，则所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边AB为直径的⊙O（直径两端点A、B除外）（1）已知：如图2，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，连接AE，BF相交于点P．①当点E从点B运动到点C的过程中，∠APB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出∠APB的度数．②求点P运动的路经长是多少．（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP，请直接写出E、F运动过程中，CP的最小值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）①当点E从点B运动到点C的过程中，∠APB的大小不会发生变化，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可；②利用题干中的结论和圆的弧长公式解答即可；（2）通过分析得到当点P运动的轨迹的圆心与P，C两点在一条直线上时，CP取得最小值，利用勾股定理解答即可得出结论．【解答】解：（1）①当点E从点B运动到点C的过程中，∠APB的大小不会发生变化，理由：∵四边形ABCD是边长为8的正方形，∴AB＝BC＝8，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，∴BE＝CF．在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCD=90°∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF．∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠ABP+∠BAE＝90°，即∠APB＝90°，∴当点E从点B运动到点C的过程中，∠APB的大小不会发生变化，∠APB的度数总等于90°；②∵∠APB＝90°，AB是一条定线段，AB＝8，∴所有满足条件