高中数学集合总结+题型分类+完美解析

集合【知识清单】1.性质：确定性、互易性、无序性.2.元素和集合的关系：属于“”、不属于“”.3.集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”）.4.集合子集个数=；真子集个数=.5.交集：并集：补集：6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：=1\*GB3①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；=2\*GB3②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.【No.1定义&性质】1.下列命题中正确的个数是（）=1\*GB3①方程的解集为=2\*GB3②集合与的公共元素所组成的集合是=3\*GB3③集合与集合没有公共元素A.0B.1C.2D.3分析：=1\*GB3①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是的值所构成的集合，而是和的值的集合，也就是一个点.答案：A详解：在=1\*GB3①中方程等价于，即。因此解集应为，错误；在=2\*GB3②中，由于集合的元素是，所以当时，.同理，中，错误；在=3\*GB3③中，集合即，而，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选A.2.下列命题中，（1）如果集合是集合的真子集，则集合中至少有一个元素；

（2）如果集合是集合的子集，则集合的元素少于集合的元素；（3）如果集合是集合的子集，则集合的元素不多于集合的元素；（4）如果集合是集合的子集，则集合和不可能相等．错误的命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合是集合的子集，那么中的元素个数要小于或等于中元素的个数；如果集合是集合的真子集，那么中的元素个数要小于中元素的个数.答案：详解：（1）如果集合是集合的真子集，则集合中至少有一个元素，故（1）正确；如果集合是集合的子集，则集合的元素少于或等于集合的元素，故（2）不正确；（3）如果集合是集合的子集，则集合的元素不多于集合的元素，故（3）正确；

（4）如果集合是集合的子集，则集合和可能相等，故（4）不正确．故选．3.设、为两个非空实数集，P中含有0，2，5三个元素，中含有1，2，6三个元素，定义集合中的元素是，其中,，则中元素的个数是（）A.9B.8C.7D.6分析：因为，，所以中的元素是中的元素和中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.答案：B详解：当时，依次取1,2,6，得的值分别为1,2,6；当时，依次取1,2,6，得的值分别3,4,8；当时，依次取1,2,6，得的值分别6,7,11；=1\*GB3①0；=2\*GB3②0；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥；=7\*GB3⑦；=8\*GB3⑧其中正确的是（）=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=8\*GB3⑧B.=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④=5\*GB3⑤C.=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=6\*GB3⑥D.=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=7\*GB3⑦分析：本题需要大家分清，，三个符号的意义和区别：--“属于”，用于表示元素和集合的关系；，--“包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系.答案：A详解：=1\*GB3①错误，应为；=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=8\*GB3⑧正确；=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦应为；2.若为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若（2）若（3）若A．个B．个C．个D．个分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.答案：D详解：（1）；（2）；（3）证明：∵,即，而，∴；同理，∴；----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.2子集、真子集】3.从集合的子集中选出4个不同的子集，须同时满足以下两个条件：=1\*GB3①，都要选出；=2\*GB3②对选出的任意两个子集和，必有或.那么共有种不同的选法.分析：由=1\*GB3①可以知道选出的子集中一定有和，我们要求得只剩两个集合。根据=2\*GB3②（以为例）可以从讨论中有1个或2个元素有几种选法来确定的选法.注意中不可能有3种元素，因为这样中会出现和中的元素，与题意和性质不符.答案：36详解：由题意知，集合必有子集和，只需考虑另外两个集合如果中含有一个元素，有4种选法，相应的，集合中有6中选法，共24种；如果中含有两个元素，有6种选法，相应的，集合中有2中选法，共12种；即总共有36种选择。4.已知集合，那么满足的集合有（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析：本题求的是集合的子集个数答案：详解：根据题意，，则或，则集合，其中有个元素，则其子集有个，满足的集合有4个，故选．5.若集合，，且．则满足条件的集合的个数为（）A．3个B．4个C．7个D．8个分析：集合，，说明同时是两个集合的子集.答案：详解：根据题意，集合，，且．即为的子集，而中有3个元素，共有个子集；即满足条件的的个数为8；故选．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.3集合间的运算】6．设全集,集合，,那么等于________________.分析：首先要注意本题要求的是点集，集合的含义是不含有的直线上的点集，表示的就是；表示.答案：详解：，代表直线上，但是挖掉点，代表直线外，但是包含点；代表直线外，代表直线上，∴.7.已知，，则,则（）A.21B.8C.6D.7分析：从入手得，既是的元素又是的元素，那么代入便可以求出和的值.答案：A详解：由已知得，所以是方程和的根，故将代入得，；.所以.8.已知方程有两个不相等的实根，.设，，，若，试求，的值。分析：对的含义的理解是本题的关键，；详解：由，那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。又因为，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是因此，，.======================================================================题型三、集合含参解决此类型题应注意：=1\*GB3①遇到子集需从和不是两方面讨论，如.=2\*GB3②会解各种类型的不等式.=3\*GB3③如果方程中的最高次项系数含有参数，要记得对参数是否为0进行讨论.【No.1集合vs.集合】1.设，，若,则的值为（）A.1B.2C.3D.4分析：因为，所以中必含元素，中必不含元素.答案：B详解：因为，所以，解得.时，，满足．所以实数的值为2．或代入成立同理代入无解，故舍去.综上2.已知集合，集合（1）若，求的值；（2）若，且，求的取值范围．分析：（1）中得出和中不等式的解相同，那我们算出集合的解集，再由韦达定理求出即可；由可得．

题目中只要看到类似这种子集问题，必然要先讨论B是否为，因为是任何集合的子集，所以也是一种情况必须要讨论.详解：（1）由得，所以集合．

由知，的解集为，所以方程的两根分别为1和3．由韦达定理可知，，解得，，即为所求．

由知，．

①当时，有，解得；

②当时，设函数，其图象的对称轴为，

解得综上①②可知，实数的取值范围是----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.2集合vs.不等式】3.设集合，B=.若，则实数，必满足（）分析：做这种题首先要先会解绝对值不等式，然后再比较端点即可.答案：D详解：

因为，且则有或即或即，选D.4.集合，，(1)若,求实数的取值范围;(2)当时,求的非空真子集个数;(3)当时,没有元素使与同时成立,求实数的取值范围.分析：此问题解决要注意：(1)中的分类讨论；(2)集合的非空真子集的个数=；(3)当时,没有元素使与同时成立能得出与没有交集，当中还要考虑是否为.详解：(1)当即时,满足.当即时,要使成立,需可得.综上所得实数的取值范围.(2)当时,,所以,的非空真子集个数为.(3)∵,且,,又没有元素使与同时成立则①若即,得时满足条件;②若,则要满足条件有:或解之,得.综上有或.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.3集合vs.方程】5.已知集合,满足,求所取的一切值.分析：这类题目给的条件中方程的最高次项系数含有字母,一般需分类讨论.要从和两个方面进行解题.详解：因,当时,,成立.又当时,,要成立,则有或,或.综上所述,或或.6．已知集合．(1)若中有两个元素，求实数的取值范围；(2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围．分析：中元素的个数代表方程的根的个数，不过首先要讨论是否为0.详解：(1)∵中有两个元素，∴方程有两个不等的实数根，∴，即∴，且.(2)当时，；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，，即；若关于的方程无实数根，则，即；故所求的a的取值范围是或.7.已知集合，，若，求实数的取值范围．分析：与第7题类似，第7题是先讨论是否为0，而本题的答案中先讨论的是是否为，在这种类型题中，两种方法兼可.详解：，∵，∴，①当，若，不成立；若，则，或；②当或，若，，成立；若，则，或，经检验，成立；③当，则，无解，不成立．综上：或或．======================================================================题型四、韦恩图像解决此类型题应注意：会用韦恩图表示集合关系与运算1．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？分析：解此类题型最简便的方法就是用韦恩图像法.解析：设单独加数学的同学为x人，参加数学化学的为y人，单独参加化学的为z人．依题意，解得∴同时参加数学化学的同学有8人，答：同时参加数学和化学小组的有8人．2.设全集是实数集，函数的定义域为，，则如图所示阴影部分所表示的集合是（

）A．B．C．D．分析：本题要注意y的定义域：答案：C详解：由题意易得，，而阴影部分表示，选C．3.设全集U=R，，，则右图中阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.分析：由图可知所求为，还要注意解,集合时应遵循指对运算的规则.答案：B详解：，因为是增函数，所以，故，，.阴影部分表示的集合为.======================================================================题型五、创新题型解决此类型题应注意：要充分理解题目中给出的新定义.1.对于集合、，定义：，，

设，，则=

（

）A．B．C．D．分析：创新题型一般都是根据题中所给的出的式子算出结果。那么由题意得，，，.A集合所求的是的值域，B集合所求的是的定义域.答案：C详解：本题考查集合的运算由得；由得，则；由得，，由得.故正确答案为C.2.定义集合与的运算“*”为:.设是偶数集,,则=（）A．B．C．D．分析：整体算上去比较复杂，所以要分开先计算.答案：详解：首先求出，的并集再去掉交集即得.同理可得3.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合，都有；②存在集合，使得；③用表示空集，若，则；④若，则；⑤若，则其中正确的命题个数为（

）A．4B．3C．2D．1分析：已知幂集为子集所组成的集合，表示有限集的元素个数，那么需要根据集合的概念和运算对命题进行分析.答案：B详解：对于命题①，，因此，命题①正确；对于命题②，若集合的元素个数为，则集合的子集共个，若，则，解得，命题②错误；对于命题③，若，由于，，因此，，所以，则，命题③错误；对于命题④，若，对集合的任意子集，即对任意，则，则，因此，命题④正确；对于命题⑤，设，则，则集合的子集个数为，即，集合的子集个数为，即，因此，命题⑤正确，故正确的命题个数为，选B.======================================================================PS：课后练习一、选择题1.下列命题中正确的是（）数0不能构成集合数0构成的集合是0数0构成的集合是数0构成的集合的元素是02..构成集合，则中元素的个数最多是（）A.6B.5C.4D.33.下列表示方法正确的是（）4.集合的所有真子集的个数为（）A.3B.7C.15D.315.已知方程与的解集分别为A与B，且，则（）A.14B.11C.7D.26.若，则的取值集合为（)B.C.D.设全集,，，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为(

)A．B．C．D．9.给定集合,，定义一种新运算：,又已知,，则等于（）B.C.D.10.设P和Q是两个集合，定义集合，如果，，那么等于()A．B．C．D．11.定义，设集合，，，则集合的所有元素之和为（）A.3B.9C.18D.27二、填空题1.下列命题正确的是.(1)空集没有子集.(2)空集是任何一个集合的真子集.(3)任一集合必有两个或两个以上子集.(4)若,那么凡不属于集合的元素,则必不属于.2.用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非负奇数组成的集合；②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；③所有周长等于的三角形组成的集合；④方程的实数根组成的集合．3.用列举法表示集合为4．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．5.集合，，则=.三、解答题1.已知集合,,要使,求满足条件的集合P.2.设集合，，（1）当时，